A desigualdade do valor médio é um importante resultado da Análise Vetorial, pois dele seguem resultados muito relevantes, como, e.g., continuidade e diferenciabilidade de funções vetoriais, o Teorema de Schwarz, diferenciabilidade uniforme de funções de classe
, fornecendo uma estimativa para a distância entre os valores das imagens de dois pontos em seu domínio.
Seja
uma função contínua definida em um aberto,
de
. Sejam
e
tal que
. Denotem-se por:
Se:
é contínua em
é diferenciável em
então vale:
Considere a função auxiliar
. Basta mostrarmos que:
Mostraremos que
Com efeito, considere o conjunto:
É fácil ver que
, pois obviamente
Ademais,
é um intervalo, pois dado
, para qualquer
temos que:
ou seja,
Ademais, pela continuidade de
pode-se verificar que
é fechado, i.e., que
Afirmamos que
. Com efeito, suponha, ab absurdo que
. Então, para qualquer
dado acima existe um
tal que
. Ademais, como
é diferenciável em
, segue que tomando
suficientemente pequeno, vale:
com
Como supusemos
, também temos:
Assim, tem-se que
de modo que
, o que é absurdo, pois
.
Logo,
, e vale a desigualdade:
Assim,
e vale que:
Q.E.D.