Funções ortogonais

Em matemática, duas funções $f$ e $g$ são chamadas de ortogonais se o seu produto interno $\langle f,g\rangle$ é zero para f ≠ g.

Escolha do produto interno

A forma como o produto interno de duas funções é definido pode variar dependendo do contexto. No entanto, uma definição típica de um produto interno para funções é

$$\langle f,g\rangle =\int f(x)^{*}g(x)\,dx$$

com um intervalo de integração apropriado. Aqui, o asterisco indica o conjugado complexo de f.

Para uma outra perspectiva sobre este produto interno, suponha que sejam criados vetores de aproximação ${\vec {f}}$ e ${\vec {g}}$ cujas entradas são os valores das funções f e g, em uma amostragem feita em pontos igualmente espaçados. Então este produto interno entre f e g pode ser entendido em linhas gerais como o produto interno entre os vetores de aproximação ${\vec {f}}$ e ${\vec {g}},$ no limite quando o número de pontos da amostra tende a infinito. Então, grosseiramente, duas funções são ortogonais se os vetores de aproximação forem perpendiculares (sob o produto interno usual).

Em equações diferenciais

As soluções de equações diferenciais com condições de contorno frequentemente podem ser escritas como uma soma com pesos de soluções (funções) ortogonais (conhecidas como autofunções), levando à série generalizada de Fourier.

Exemplos

Exemplos de conjuntos de funções ortogonais:

• Senos e cossenos
• Funções de Bessel
• Polinômios de Hermite
• Polinômios de Laguerre
• Polinômios de Legendre
• Harmônicos esféricos
• Funções de Walsh
• Polinômios de Zernike
• Polinômios de Tchebychev

Ver também

• Espaço de Hilbert
• Análise harmônica
• Polinômios ortogonais
• Bases ortogonais
• Autofunção
• Autovalores e autovetores

Ligações externas

• Orthogonal Functions, no MathWorld.