Na teoria dos números, um primo equilibrado é um número primo com intervalos entre primos de igual tamanho acima e abaixo, de modo que é igual à média aritmética dos primos mais próximos acima e abaixo. Ou colocando algebricamente, dado um número primo
, onde n é o índice no conjunto ordenado de números primos,
![{\displaystyle p_{n}={{p_{n-1}+p_{n+1}} \over 2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5245c7eae92d277615516335880fca0305008d15)
Os primeiros primos equilibrados são
5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103...
Por exemplo, 53 é o décimo sexto primo. Os primos décimo quinto e décimo sétimo, 47 e 59, somam 106, cuja metade é 53. Sendo assim, 53 é um número primo equilibrado.
Quando 1 era considerado um número primo, 2 teria sido considerado o primeiro primo equilibrado pois
![{\displaystyle 2={1+3 \over 2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae1bd351286ac743ea00166bfcce7a89044fd4b1)
É conjecturado que há infinitamente muitos primos equilibrados.
Três primos consecutivos em progressão aritmética são às vezes chamados de CPAP-3. Um primo equilibrado é, por definição, o segundo primo em um CPAP-3. Desde 2014, o maior e mais conhecido CPAP-3 tem 10546 dígitos e foi encontrado por David Broadhurst. Ele é:[1]
![{\displaystyle p_{n}=1213266377\times 2^{35000}+2429,\quad p_{n-1}=p_{n}-2430,\quad p_{n+1}=p_{n}+2430.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eda4e363df85bfcc59d7681de94bec262a3114c)
O valor de n (a sua posição na sequência de todos os números primos) não é conhecido.
Os primos equilibrados podem ser generalizados a primos equilibrado de ordem n. Um primo equilibrado de ordem n é um número primo que é igual à média aritmética dos n números primos mais próximos acima e abaixo. Algebricamente, dado um número primo
, onde k é o índice no conjunto ordenado de números primos,
![{\displaystyle p_{k}={\sum _{i=1}^{n}({p_{k-i}+p_{k+i})} \over 2n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac0ac50e21fd43e6f1c23e4db78c1ffad5b517f)
Assim, um primo equilibrado comum é um primo equilibrado de primeira ordem. As sequências de primos equilibrados de ordens 2, 3 e 4 são dadas pelas sequências A082077, A082078 e A082079 na OEIS respectivamente.
Referências
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Por fórmula |
- Fermat
![{\displaystyle (2^{2^{n}}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93eb116c31324099b69d936d520e6ef3fcda921d)
- Mersenne
![{\displaystyle (2^{p}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5e3ddbb373726b17a26e34126deb55b166ff87)
- Duplo de Mersenne
![{\displaystyle (2^{2^{p}-1}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1835aef839f9ef44f748cf67674c0a166bdbfd71)
- Wagstaff
![{\displaystyle {\frac {(2^{p}+1)}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b13cbecae516f39a0998209d053c401033088d)
- Proth
![{\displaystyle (k\cdot 2^{n}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a850b678bdf0a7ceb6c90577df3495fc1de474)
- Factorial
![{\displaystyle (n!\pm 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d4d60dd075b15589cb182b42f152d2e587065d)
- Primorial
![{\displaystyle (p_{n}\#\pm 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1df4e8d29b9b8264895c9151398c1d001b89ad)
- Euclides
![{\displaystyle (p_{n}\#+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de51224ceb61b6f827fb670418610979303be5d)
- Pitagórico
![{\displaystyle (4n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d18b0f0a91a43ccc00ddfa91b35eed27fec64c1)
- Pierpont
![{\displaystyle (2^{u}\cdot 3^{v}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854cb663ae04c0df2df501c45d7530801b114af3)
- Solinas
![{\displaystyle (2^{a}\pm 2^{b}\pm 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f809f55e5abbe8d8b94dbb73ba1670a639935b0e)
- Cullen
![{\displaystyle (n\cdot 2^{n}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e9e6b97738ef48e8096a5942bce7ced58b3a49)
- Woodall
![{\displaystyle (n\cdot 2^{n}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf9e31860bad845dd75f9cf41cf058cdb88b5cc)
- Cubano
![{\displaystyle {\frac {(x^{3}-y^{3})}{(x-y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2e1aac9d468b948ad331e322f944695e3f0d28)
- Carol
![{\displaystyle {(2^{n}-1)}^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ec427e1adf93b03b27ab1550bf348a593ac8b4)
- Kynea
![{\displaystyle {(2^{n}+1)}^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d38f86286d8b9c9dc6ceb821972d02d1c4e91a)
- Leyland
![{\displaystyle (x^{y}+y^{x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d67405b47972b5c1d3c5befde643e0ddf53563e)
- Thabit
![{\displaystyle (3\cdot 2^{n}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4459f9d79b1127316dc202da3465bbf76b67d36f)
- Mills (chão
)
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Por sequência de inteiros | |
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Por propriedade | |
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Dependentes de bases | |
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Padrões |
- Gémeos
![{\displaystyle (p,p+2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e1ec03d48e4042e402393086457ebfec09afc4)
- Tripla
![{\displaystyle (p,p+2~ou~p+4,p+6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4627bdddefde6d58ea32e73a6b47e22f3ef57522)
- Quádrupla
![{\displaystyle (p,p+2,p+6,p+8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e6d4d2753696bd3114c75a4a70f3985cdcafe1)
- Tuplo
- Primos primos
![{\displaystyle (p,p+4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9ff8c80c8d3af43a6529aee1c3844a26bfe26c)
- Sexy
![{\displaystyle (p,p+6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/605f75125b6e36d8b882393e85225236b1a7171a)
- Chen
- Sophie Germain
![{\displaystyle (p,2p+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563a6a04da136c0b990202365d35e21337936490)
- Cadeia de Cunningham
![{\displaystyle (p,2p\pm 1,\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db06a6b86bc0a433c31df298769dbddd3b31a1ba)
- Seguro
![{\displaystyle (p,{\frac {(p-1)}{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c1bbe273d7e6db1a2054eba84dc790cd07ad30)
- Progressão aritmética
![{\displaystyle (p+a\cdot n,n=0,1,\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd39ae6bb92fd213322a52fa76afde457fd06fd9)
- Equilibrado (consecutivos
![{\displaystyle p-n,p,p+n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7552e9db33203a780ff20262082dcefacf132099)
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