Classe tracial

Em matemática, sobretudo na análise funcional, os operadores classe tracial são uma família de operadores compactos para os quais é possível definir um traço.

Definição

Seja $H\,$ um espaço de Hilbert separável e $\{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }\,$ uma família ortonormal densa em $H\,$. Um operador $A:H\to H\,$ é dito ser de classe tracial se a série converge:

$\sum _{k=1}^{\infty }\|Ae_{k}\|\,$

O traço de $A\,$, é então, definido como:

${\hbox{tr}}(A)=\sum _{k=1}^{\infty }\langle Ae_{k},e_{k}\rangle \,$

Esta série é absolutamente convergente pois:

$\left|\langle Ae_{k},e_{k}\rangle \right|\leq \|Ae_{k}\|\cdot \|e_{k}\|=\|Ae_{k}\|\,$

Propriedades

• Todo operador classe tracial é também um operador compacto.
• O traço independe da escolha da base.