A fórmula de Leibniz, em referência a Gottfried Wilhelm Leibniz, é uma fórmula usada para encontrar a derivada de uma integral da forma:
em que
,
e
são
funções dependentes de
. Adicionalmente,
e
devem ser funções
deriváveis em
com derivadas contínuas, enquanto
e sua derivada parcial em relação a
também devem ser
funções contínuas em
e
.
Nessas condições a fórmula é expressa como:
em que na última integral faz-se uso de uma
derivada parcial em
com respeito a
.
Escrevendo o lado direito da fórmula na notação de Lagrange tem-se:
No caso especial em que
e
são funções constantes (não dependem de
),
e
, obtemos a relação:
Outro caso especial é dado quando
e
, sendo útil na demonstração da
fórmula de Cauchy para integrações repetidas utilizando o
princípio de indução finita:
Para computar a integral de Dirichlet
, considere a seguinte função
tal que, é o valor procurado e sabe-se que
integrando por partes duas vezes
portanto
integrando de 0 a infinito de ambos os lados
Para computar a Integral Gaussiana , reescreve a integral
.
Sabendo que, se for uma função par (prova no final),
e como é par, a integral Gaussina pode ser escrita como
.
Faça a seguinte notação. Considere a seguinte função
fazendo
integrando de 0 a infito de ambos os lados
Antes de provar que, para uma par, Considere a afirmação:
Se for par, então é ímpar, tal que . Prova:
Defina .
fazendo