Métrica induzida

Em matemática e física teórica, a métrica induzida é o tensor métrico definido em uma subvariedade que é calculada a partir do tensor métrico em uma maior variedade em que a subvariedade está incorporada. Ela pode ser calculada utilizando a seguinte fórmula (escrita usando a convenção somatória de Einstein):

$g_{ab}=\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }g_{\mu \nu }(X^{\alpha })\$

Nessa fórmula $a,b\$ descrevem os índices de coordenadas $\xi ^{a}\$ da subvariedade enquanto as funções $X^{\mu }(\xi ^{a})\$ codificam a incorporação na variedade hiperdimensional cujos índices tangentes são denotadas $\mu ,\nu \$.

Curva em um toro

Tome

${\begin{aligned}\Pi \colon {\mathcal {C}}&\to \mathbb {R} ^{3}\\\tau &\mapsto \left\{\quad {\begin{matrix}x^{1}=(a+b\cos(n\cdot \tau ))\cos(m\cdot \tau )\\x^{2}=(a+b\cos(n\cdot \tau ))\sin(m\cdot \tau )\\x^{3}=b\sin(n\cdot \tau )\end{matrix}}\right.\end{aligned}}$

sendo um mapa do domínio da curva ${\mathcal {C}}$ com parâmetro $\tau$ para a variável euclidiana $\mathbb {R} ^{3}$. Aqui $a,b,m,n\in \mathbb {R}$ são constantes.