Teorema de Egorov

Em matemática, o teorema de Egorov é um dos principais teoremas da teoria da medida. Recebe o nome em honra ao físico e geômetra russo Dmitri Egorov.

O teorema estabelece um relação entre convergência quase-sempre e convergência uniforme em um espaço de medida finita.

Enunciado

Seja $\mu \,$ uma medida positiva, $E\,$ um conjunto mensurável de medida finita e $f_{n}:E\to \mathbb {R} \,$ uma seqüência de funções reais convergindo quase-sempre para um função $f\,$, então para todo $\delta >0\,$ existe um conjunto mensurável $F\subseteq E\,$ tal que $\mu (E\backslash F)\leq \delta \,$ e $f_{n}\to f\,$ uniformemente em $F\,$.

Demonstração

Defina os subconjuntos $E_{k,n}\,$ de $E\,$:

$E_{k,n}=\bigcap _{i\geq n}\left\{x\in E:|f_{i}(x)-f(x)|\leq {\frac {1}{k}}\right\}$

Como $\forall k\geq 1$, $E_{k,1}\subseteq E_{k,2}\subseteq \ldots E_{k,n}\subseteq \ldots$:

$\mu \left(\bigcup _{n\geq 1}E_{k,n}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu (E_{k,n})$.

Ainda, como as funções $f_{n}\,$ convergem $\mu \,$-quase-sempre para $f\,$, temos que, para todo $k\geq 1\,$:

$\mu \left(\bigcup _{n\geq 1}E_{k,n}\right)=\mu (E)\,$.

Fixe $\delta >0\,$. Dado que $\mu (E)<\infty \,$, existe para cada $k\geq 1\,$ um inteiro $n_{k}\,$ positivo tal que

$\mu (E_{k,n_{k}})\geq \mu (E)-2^{-k}\delta \,$.

Definindo:

$F=\bigcap _{k\geq 1}E_{k,n_{k}}$

tem-se:

$\mu (E\backslash F)=\mu \left(E\backslash \bigcap _{k\geq 1}E_{k,n_{k}}\right)\leq \sum _{k=1}^{\infty }\delta 2^{-k}=\delta$

Para mostrar que $f_{n}\,$ de fato converge uniformemente para $f\,$ em $F\,$, escolha $\varepsilon >0\,$, e $k\,$ inteiro positivo tal que ${\frac {1}{k}}<\varepsilon \,$, escolha $n=n_{k}\,$ e o resultado segue pois $F\subseteq E_{k,n_{k}}\,$

Bibliografia

• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (28 de novembro de 2009). Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (em inglês). [S.l.]: Princeton University Press