Teorema de Lindelöf

Na matemática, o teorema de Lindelöf é um resultado da análise complexa, do matemático finlandês Ernst Leonard Lindelöf. Onde ele afirma que uma função holomorfa na meia-tira, no plano complexo que é delimitada no limite da fita, e não cresce "muito rápido" na direção ilimitada, deve permanecer limitada em toda a fita. O resultado é útil no estudo da função zeta de Riemann, e é um caso especial do Princípio de Phragmén–Lindelöf.

Demonstração do teorema

Deixe Ω ser um meia-tira no plano complexo:

$\Omega =\{z\in \mathbb {C} |x_{1}\leq \mathrm {Re} (z)\leq x_{2}{\text{ and }}\mathrm {Im} (z)\geq y_{0}\}\subsetneq \mathbb {C} .\,$

Suponha que ƒ seja uma  função holomorfa (i.e. analítico) em Ω e que existem constantes M, A e B tais que

$|f(z)|\leq M{\text{ for all }}z\in \partial \Omega \,$

e

${\frac {|f(x+iy)|}{y^{A}}}\leq B{\text{ for all }}x+iy\in \Omega .\,$

Então f é limitada por M em todos Ω:

$|f(z)|\leq M{\text{ for all }}z\in \Omega .\,$

Prova

Fixar um ponto $\xi =\sigma +i\tau$ no interior de $\Omega$. Escolha $\lambda >-y_{0}$, um número inteiro $N>A$ e $y_{1}>\tau$ grande o suficiente tal que ${\frac {By_{1}^{A}}{(y_{1}+\lambda )^{N}}}\leq {\frac {M}{(y_{0}+\lambda )^{N}}}$. Aplicando o princípio do módulo máximo para a função $g(z)={\frac {f(z)}{(z+i\lambda )^{N}}}$ e a área retangular que $\{z\in \mathbb {C} |x_{1}\leq \mathrm {Re} (z)\leq x_{2}{\text{ and }}y_{0}\leq \mathrm {Im} (z)\leq y_{1}\}$ onde podemos obter $|g(\xi )|\leq {\frac {M}{(y_{0}+\lambda )^{N}}}$, isto é, $|f(\xi )|\leq M\left({\frac {|\xi +\lambda |}{y_{0}+\lambda }}\right)^{N}$. Deixando $\lambda \rightarrow +\infty$ rendimentos $|f(\xi )|\leq M$ conforme necessário.

Referências

• Harold Edwards (2001). Riemann's Zeta Function. New York, NY: Dover. ISBN 0-486-41740-9