Em matemática, o produto exterior, também conhecido como produto cunha, é uma antissimetrização (alternação) do produto tensorial. O produto exterior é uma multiplicação associativa e distributiva de funções multilineares antissimétrica que seja anticomutativo para as funções com número ímpar de variáveis e comutativo de outra maneira. A teoria sistemática inicia na construção da potência exterior para um espaço vetorial.
Se
são números naturais maiores que zero, um
-embaralhemento é uma permutação
tal que as restrições de
a cada bloco
,
, são crescentes, isto é,
. É claro que
. Considere o subgrupo
consistindo daquelas permutações que estabilizam os conjuntos
. Claramente,
. O conjunto de
-embaralhementos será denotado por
(shuffles). Temos uma associação de
em
, o espaço de classes
dada pela restrição da sobrejeção canônica. Trata-se de uma bijeção. Em outras palavras,
é uma transversal para
em
. Em particular,
tem
elementos.
Note que podemos considerar
. Feita essa identificação, temos uma bijeção
dada por
. Note que de fato a imagem está contida em
. Essa associação é injetiva. Por comparação de número de elementos, é uma bijeção.
Fixe um espaço vetorial sobre um corpo qualquer (até mesmo de característica positiva). Recorde que uma
-forma alternada em
é uma função multilinear alternada
. Multilinear significa linearidade em cada argumento; dizer que é uma função alternada é o mesmo que dizer que é nula a imagem de qualquer
-tupla em que ocorre um par consecutivo de entradas iguais. Equivalentemente, temos a
Proposição. Uma função
-linear é alternada se, e somente se, é nula a imagem de qualquer
-tupla em que ocorram pelo menos duas entradas iguais.
Uma direção é óbvia. Devemos mostrar que se for nula a imagem de qualquer
-tupla em que ocorra um par consecutivo de entradas iguais, então será nula a imagem de qualquer
-tupla em que ocorram pelo menos duas entradas iguais. Seja
uma forma
-linear que satisfaz a hipótese. Se
, definimos a função multilinear
como
. Se
é uma transposição intercalando dois índices consecutivos, da hipótese segue que
. Vejamos por quê: faça
, fixe
e defina
. Temos que
; já que
é multilinear,
é bilinear, logo
, donde
. Isso mostra que
. Note agora que
. Então se
e
, segue que
. Agora usamos o seguinte fato da teoria básica dos grupos simétricos:
é gerado por transposições que intercalam elementos consecutivos[1]. Com isso, temos que
para toda permutação
. Com uma transposição, deixamos adjacentes quaisquer dois índices; logo
, finalizando a prova.
Podemos agora definir:
(Produto exterior). Se
é uma
-forma alternada e
é uma
-forma alternada, então definimos a
-forma
por
.
Vejamos por que
é uma
-forma alternada: sejam
,
,
, com
. Devemos provar que
. Particionaremos
em quatro partes (disjuntas):
.
.
A soma sobre
e a soma sobre
se anulam, tendo em vista a alternância de
e de
. Os conjuntos
e
estão em bijeção. Um vez que os índices são consecutivos, se
, então
e vice-versa. Logo podemos tomar a bijeção
. Segue daí que
é alternante.
O produto exterior é associativo; isso é consequência da bijeção mencionada na seção anterior,
.
Para elementos do dual de
,
, por indução temos
.
Como consequência, temos a seguinte
Proposição. Se
é base para
, então denotando por
a base dual correspondente, o conjunto dos
, com
, é base para o espaço das
-formas alternantes de
. Em particular, esse espaço tem dimensão
.
De fato, dada uma
-forma alternante
, temos, de maneira única,
.
Fixado um vetor
, podemos definir a contração de uma forma
-linear
por
. Trata-se da forma
-linear
definida por
.
É evidente que
será alternada se
o for.
Proposição. Sejam
e
formas alternadas, com
uma
-forma. Vale a igualdade
.
Prova. Seja
uma
-forma alternada. Temos a seguinte bipartição:
, onde
.
Note que
está em bijeção com
via
, onde
para
. Estenda
a todo o conjunto
fixando
. Temos
, logo
[2]. Analogamente,
está em bijeção com
via
, onde
. Note:
, donde
. (Para provar que são de fato bijeções, basta provar que são injetivas, pois
. Mas é óbvio que são injetivas). A proposição segue.
Proposição. Temos também
.
Já que
é uma bijeção
, onde
é definida por
. É fácil identificar os pares de inversão de
; há
deles, portanto
.
Para corpos de característica zero, temos a transformação linear
que vai do espaço das formas
-lineares no espaço das
-formas alternantes sobre
. Definimos
.
Se
é uma forma
-linear, definimos a forma
-linear
por
.
Se
é
-forma alternante e
é
-forma alternante, definimos
.
Proposição. Temos
.
É consequência imediata do fato de que
é transversal para
em
.
A teoria algébrica remonta a Hermann Grassmann. Seu método de construir as estruturas algébricas utilizou geradores e relações e não é manifestamente independente de uma base.
Referências
- ↑ Comece provando que transposições geram
. Basta mostrar que um ciclo pode ser expresso como um produto de transposições. Note então que
; use indução.
- ↑ A sutileza com relação ao domínio de definição dos homomorfismos à esquerda e à direita do sinal de igualdade não é importante, uma vez que as inclusões canônicas, via estabilizadores,
são compatíveis com os respectivos homomorfismos
.
- Bishop, R.; Goldberg, S.I. (1980), Tensor analysis on manifolds, Dover, ISBN 0-486-64039-6