Símbolo de Levi-Civita
Em matemática e em particular em cálculo tensorial , define-se símbolo de Levi-Civita , também chamado de símbolo de permutação , como se segue:
ϵ
i
j
k
=
{
+
1
se
(
i
,
j
,
k
)
é
(
1
,
2
,
3
)
,
(
2
,
3
,
1
)
ou
(
3
,
1
,
2
)
−
1
se
(
i
,
j
,
k
)
é
(
3
,
2
,
1
)
,
(
1
,
3
,
2
)
ou
(
2
,
1
,
3
)
0
de outra maneira:
i
=
j
ou
j
=
k
ou
k
=
i
{\displaystyle \epsilon _{ijk}=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{se }}(i,j,k){\mbox{ é }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ ou }}(3,1,2)\\-1&{\mbox{se }}(i,j,k){\mbox{ é }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ ou }}(2,1,3)\\0&{\mbox{de outra maneira: }}i=j{\mbox{ ou }}j=k{\mbox{ ou }}k=i\end{matrix}}\right.}
nomeado assim por Tullio Levi-Civita . Utiliza-se em muitas áreas das matemática e em física . Por exemplo, em álgebra linear , o produto vectorial de dois vectores pode ser escrito como:
a
×
b
=
|
e
1
e
2
e
3
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
|
=
∑
i
=
1
3
(
∑
j
,
k
=
1
3
ϵ
i
j
k
a
j
b
k
)
e
i
{\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\right)\mathbf {e} _{i}}
ou mais simplesmente:
a
×
b
=
c
,
c
i
=
∑
j
,
k
=
1
3
ϵ
i
j
k
a
j
b
k
{\displaystyle \mathbf {a\times b} =\mathbf {c} ,\ c_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}}
esta última expressão pode ser mais simplificada usando a notação de Einstein , convenção na qual se pode omitir o símbolo de soma. O tensor cujas componentes são dadas pelo símbolo de Levi-Civita (um tensor covariante de categoria 3) por vezes se chama o tensor de permutação .
O símbolo de Levi-Civita pode se generalizar a dimensiones mais elevadas:
ϵ
i
j
k
l
…
=
{
+
1
se
(
i
,
j
,
k
,
l
,
…
)
é uma permutação par de
(
1
,
2
,
3
,
4
,
…
)
−
1
se
(
i
,
j
,
k
,
l
,
…
)
é uma permutação ímpar de
(
1
,
2
,
3
,
4
,
…
)
0
se dois índices são iguais
{\displaystyle \epsilon _{ijkl\dots }=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{se }}(i,j,k,l,\dots ){\mbox{ é uma permutação par de }}(1,2,3,4,\dots )\\-1&{\mbox{se }}(i,j,k,l,\dots ){\mbox{ é uma permutação ímpar de }}(1,2,3,4,\dots )\\0&{\mbox{se dois índices são iguais}}\end{matrix}}\right.}
Ver permutação par ou grupo simétrico para uma definição de 'permutação par' e de 'permutação ímpar'.
O símbolo de Levi-Civita relaciona-se com o delta de Kronecker . Em três dimensões, a relação é dada pelas seguintes equações:
ε
i
j
k
ε
l
m
n
=
det
|
δ
i
l
δ
i
m
δ
i
n
δ
j
l
δ
j
m
δ
j
n
δ
k
l
δ
k
m
δ
k
n
|
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}=\det {\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix}}}
=
δ
i
l
(
δ
j
m
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
m
)
+
δ
i
m
(
δ
j
n
δ
k
l
−
δ
j
l
δ
k
n
)
+
δ
i
n
(
δ
j
l
δ
k
m
−
δ
j
m
δ
k
l
)
{\displaystyle =\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)+\delta _{im}\left(\delta _{jn}\delta _{kl}-\delta _{jl}\delta _{kn}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right)\,}
Uma consequência importante da relação acima é dada pela equação abaixo:
∑
i
=
1
3
ε
i
j
k
ε
i
m
n
=
∑
i
=
1
3
(
det
|
1
δ
i
m
δ
i
n
δ
j
i
δ
j
m
δ
j
n
δ
k
i
δ
k
m
δ
k
n
|
)
=
∑
i
=
1
3
(
δ
j
m
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
m
+
δ
i
m
(
δ
j
n
δ
k
i
−
δ
j
i
δ
k
n
)
+
δ
i
n
(
δ
j
i
δ
k
m
−
δ
j
m
δ
k
i
)
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\sum _{i=1}^{3}\left(\det {\begin{vmatrix}1&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{ji}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{ki}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix}}\right)=\sum _{i=1}^{3}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}+\delta _{im}\left(\delta _{jn}\delta _{ki}-\delta _{ji}\delta _{kn}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{ji}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{ki}\right)\right)}
Como
δ
i
m
{\displaystyle \delta _{im}}
e
δ
i
n
{\displaystyle \delta _{in}}
são diferentes de zero somente para
i
=
m
{\displaystyle i=m}
e
i
=
n
{\displaystyle i=n}
, respectivamente, o resultado da soma é:
∑
i
=
1
3
ε
i
j
k
ε
i
m
n
=
3
(
δ
j
m
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
m
)
+
(
δ
j
n
δ
k
i
−
δ
j
i
δ
k
n
)
+
(
δ
j
i
δ
k
m
−
δ
j
m
δ
k
i
)
=
δ
j
m
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
m
{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=3\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)+\left(\delta _{jn}\delta _{ki}-\delta _{ji}\delta _{kn}\right)+\left(\delta _{ji}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{ki}\right)=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}}
A relação acima é muito utilizada em cálculo vetorial[ 1] .
Uso na dedução de relações do cálculo vetorial [ editar | editar código-fonte ]
A relação entre o produto de símbolo de Levi-Civita e o produto de deltas de Kronecker permite deduzir com facilidade diversas relações de operações entre vetores e operadores vetoriais.
Por exemplo a fórmula abaixo, informalmente conhecida por “BAC-CAB”, pode ser derivada de uma maneira simples e direta utilizando o formalismo acima.
A
×
(
B
×
C
)
=
B
(
A
.
C
)
−
C
(
A
.
B
)
{\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} (\mathbf {A} .\mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} .\mathbf {B} )}
Seja
D
=
B
×
C
{\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {B} \times \mathbf {C} }
. Sua componente i, como visto acima, pode ser representada por
D
i
=
ε
i
j
k
B
j
C
k
{\displaystyle D_{i}=\varepsilon _{ijk}B_{j}C_{k}}
, onde índices repetidos seguem a convenção de Einstein, ou seja, indicam a existência de um somatório no respectivo índice. No caso como há dois índices repetidos há dois somatórios implícitos (em
j
{\displaystyle j}
e
k
{\displaystyle k}
).
Da mesma forma
A
×
(
B
×
C
)
=
A
×
D
=
ε
m
n
i
A
n
D
i
{\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {A} \times \mathbf {D} =\varepsilon _{mni}A_{n}D_{i}}
, onde o símbolo de Levi-Civita foi definido com os índices
m
n
i
{\displaystyle mni}
para distinguí-lo daquele contido em D com índices
i
j
k
{\displaystyle ijk}
e tomando o ultimo índice igual a
i
{\displaystyle i}
(
m
n
i
)
{\displaystyle \left(mni\right)}
pois trata-se da componente
D
i
{\displaystyle D_{i}}
, pelo menos motivo o índice
n
{\displaystyle n}
em
m
n
i
{\displaystyle mni}
refere-se à componente
A
n
{\displaystyle A_{n}}
.
Expressando
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
em termos de
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
e
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
, a expressão torna-se:
A
×
(
B
×
C
)
=
ε
m
n
i
A
n
ε
i
j
k
B
j
C
k
{\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\varepsilon _{mni}A_{n}\varepsilon _{ijk}B_{j}C_{k}}
A vantagem de utilizar esse formalismo se deve ao fato de poder utilizar grandezas escalares ao invés de vetoriais o que facilita a sua manipulação. Como todos os termos são escalares pode-se comutá-los:
A
×
(
B
×
C
)
=
ε
m
n
i
ε
i
j
k
A
n
B
j
C
k
{\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\varepsilon _{mni}\varepsilon _{ijk}A_{n}B_{j}C_{k}}
Utilizando a relação
ε
i
j
k
ε
m
n
i
=
δ
j
m
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
m
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{mni}={\delta _{jm}}{\delta _{kn}}-{\delta _{jn}}{\delta _{km}}}
, descrita acima, a expressão pode ser rescrita como:
A
×
(
B
×
C
)
=
(
δ
j
m
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
m
)
A
n
B
j
C
k
=
δ
j
m
δ
k
n
A
n
B
j
C
k
−
δ
j
n
δ
k
m
A
n
B
j
C
k
{\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km})A_{n}B_{j}C_{k}=\delta _{jm}\delta _{kn}A_{n}B_{j}C_{k}-\delta _{jn}\delta _{km}A_{n}B_{j}C_{k}}
O termo
δ
j
m
δ
k
n
A
n
B
j
C
k
{\displaystyle \delta _{jm}\delta _{kn}A_{n}B_{j}C_{k}}
só é não nulo se, simultaneamente,
j
=
m
{\displaystyle j=m}
e
k
=
n
{\displaystyle k=n}
, ou seja, resta apenas o termo
A
n
B
m
C
n
{\displaystyle A_{n}B_{m}C_{n}}
. Analogamente o termo
δ
j
n
δ
k
m
A
n
B
j
C
k
{\displaystyle \delta _{jn}\delta _{km}A_{n}B_{j}C_{k}}
só é não nulo se, simultaneamente,
j
=
n
{\displaystyle j=n}
e
k
=
m
{\displaystyle k=m}
, restando apenas o termo
A
n
B
n
C
m
{\displaystyle A_{n}B_{n}C_{m}}
. Esse resultado é devido à propriedade da delta de Kronecker.
Usando a comutatividade e associatividade de escalares, tem-se a componente m da relação:
[
A
×
(
B
×
C
)
]
m
=
B
m
(
A
n
C
n
)
−
C
m
(
A
n
B
n
)
{\displaystyle \left[\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\right]_{m}=B_{m}(A_{n}C_{n})-C_{m}(A_{n}B_{n})}
Os termos em parênteses tem índices repetidos e portanto implicam um somatório, em particular, trata-se do produto escalar de dois vetores. Finalmente, expressando o resultado em termos de vetores novamente:
A
×
(
B
×
C
)
=
B
(
A
⋅
C
)
−
C
(
A
⋅
B
)
{\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )}
Referências