Mostrar código-fonte de Equação Tolman-Oppenheimer-Volkoff

Em [[astrofísica]], a '''equação Tolman-Oppenheimer-Volkoff''' delimita a estrutura de um corpo de material isotrópico simétrico esfericamente o qual esteja em equilíbrio gravitacional, como modelado pela [[relatividade geral]]. A equação pode ser expressa como<ref name="ov">[http://prola.aps.org/abstract/PR/v55/i4/p374_1 On Massive Neutron Cores], J. R. Oppenheimer and G. M. Volkoff, ''Physical Review'' '''55''', #374 (February 15, [[1939]]), pp. 374–381. {{en}}</ref>

:{|cellpadding="{{{cellpadding|5}}}" style="border:{{{border|2}}}px solid {{{border colour|#FF0000}}};background: {{{background colour|#F5FFFA}}}; text-align: center;"
|{{{titulo|'''Equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff'''}}}
{{{equação|<math>\frac{dP}{dr}=-\frac{G m}{r^2}\rho\left(1+\frac{P}{\rho c^2}\right)\left(1+\frac{4\pi r^3P}{mc^2}\right)\left(1-\frac{2Gm}{rc^2}\right)^{-1}</math>}}}
|}

Aqui, r é uma coordenada radial, e ρ(r<sub>0</sub>) e P(r<sub>0</sub>) são a densidade e a pressão, respectivamente, do material em r=r<sub>0</sub>. M(r<sub>0</sub>) é a massa total dentro do raio r=r<sub>0</sub>, como medido por observador distante de um campo gravitacional. Satisfaz-se M(0)=0 e<ref name="ov" />

:<math>\frac{dM(r)}{dr}=4 \pi \rho(r) r^2.</math>

A equação é derivada por resolução das [[equações de campo de Einstein|equações de Einstein]] para um tempo-invariante geral, numa métrica esfericamente simétrica. Para uma solução a equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff, esta métrica irá tomar a forma<ref name="ov" />

:<math>ds^2=e^{\nu(r)} c^2 dt^2 - (1-2GM(r)/rc^2)^{-1} dr^2 - r^2(d\theta^2 + sin^2 \theta d\phi^2),</math>

Onde ν(r) é determinado pela delimitação<ref name="ov" />

:<math>\frac{d\nu(r)}{dr}=-\frac{2}{P(r)+\rho(r)c^2} \frac{dP(r)}{dr}.</math>

Quando suplementada com uma [[equação de estado]], F(ρ, P)=0, a qual relaciona densidade à pressão, a equação Tolman-Oppenheimer-Volkoff determina completamente a estrutura de um corpo de material isotrópico simétrico esfericamente em equilíbrio. Se termos de ordem 1/c² são negligenciados, a equação Tolman-Oppenheimer-Volkoff tenderá à [[hidrostática|equação hidrostática]] Newtoniana, usada para encontrar a estrutura de um corpo de material isotrópico simétrico esfericamente em equilíbrio quando correções da relatividade geral não são importantes.

Se a equação é usada para modelar uma esfera de material limitada no vácuo, a condição de pressão-zero P(r)=0 e a condição e<sup>ν(r)</sup>=1-2GM(r)/rc² devem ser impostas ao limite. A segunda condição de limitação é imposta quando a métrica na limitação é contínua com a única solução estática esfericamente simétrica às [[equações de campo de Einstein|equações de vácuo de campo]], a [[métrica de Schwarzschild]]

:<math>ds^2=(1-2GM_0/rc^2) c^2 dt^2 - (1-2GM_0/rc^2)^{-1} dr^2 - r^2(d\theta^2 + sin^2 \theta d\phi^2).</math>

Aqui, M<sub>0</sub> é a massa total do objeto, novamente, quando medido por um observador distante num campo gravitacional. Se a limitação é em r=r<sub>B</sub>, a continuidade da métrica e a definição de M(r) requerem que

:<math>M_0=M(r_B)=\int_0^{r_B} 4\pi \rho(r) r^2\, dr.</math>

Calculando a massa por integração da densidade do objeto pelo seu volume, por outro lado, resultará no maior valor

:<math>M_1=\int_0^{r_B} \frac{4\pi \rho(r) r^2}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}} \, dr.</math>

A diferença entre estas duas grandezas,

:<math>\delta M=\int_0^{r_B} 4\pi \rho(r) r^2((1-2GM(r)/rc^2)^{-1/2}-1)\, dr,</math>

será a energia gravitacional obrigatória do objeto dividido por c².

== Histórico ==
[[Richard Chace Tolman|Tolman]] analisou métricas esfericamente simétricas em 1934 e 1939.<ref>[http://www.pnas.org/cgi/reprint/20/3/169 Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models], Richard C. Tolman, ''Proceedings of the National Academy of Sciences'' '''20''', #3 ([[15 de março]] de [[1934]]), pp. 169–176. {{en}}</ref><ref>[http://prola.aps.org/abstract/PR/v55/i4/p364_1 Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid], Richard C. Tolman, ''Physical Review'' '''55''', #374 ([[15 de fevereiro]] de [[1939]]), pp. 364–373. {{en}}</ref> A forma da equação dada aqui foi deduzida por [[Robert Oppenheimer|Oppenheimer]] e [[George Michael Volkoff|Volkoff]] seu artigo de 1939, "On Massive Neutron Cores".<ref name="ov" />  Neste artigo, a equação de um [[gás Fermi]] degenerado de nêutrons era usada para calcular corpos acima do limite superior de ~0,7 [[massa solar|massas solares]] para a massa gravitacional de uma [[estrela de nêutron]]. Desde que esta equação de estado não é realística para uma estrela de nêutrons, esta massa limitante igualmente é incorreta. Modernas estimativas para este limite situam-se na faixa de 1.5 a 3.0 massas solares.<ref>[http://adsabs.harvard.edu/abs/1996A&A…305..871B The maximum mass of a neutron star], I. Bombaci, ''Astronomy and Astrophysics'' '''305''' (January 1996), pp. 871–877. {{en}}</ref>

== Tratamentos recentes ==

O equilíbrio termodinâmico de um fluido perfeito ou sistema esfericamente simétrico contendo um buraco negro de massa M tem sido investigado pelos significados da equação Tolman-Oppenheimer-Volkoff, sendo que uma singular família de soluções da TOV foram apresentadas. A r>>2M estas soluções podem ser usadas para representar um fluido perfeito (''i.e.'', "gás de fótons") de temperatura T<sub>BN</sub>=(8πM)-1 em equilíbrio como um [[métrica de Schwarzschild|buraco negro de Schwarzschild]]. Nestes casos, a energia é positiva a todo r>0. Em tal estudo é apresentado que um ponto de massa negativa situa-se a r=0.<ref>[http://prola.aps.org/abstract/PRD/v29/i4/p628_1 W. H. Zurek, Don N. Page; Black-hole thermodynamics and singular solutions of the Tolman-Oppenheimer-Volkoff equation; Phys. Rev. D 29, 628 - 631 (1984) - '''prola.aps.org''']</ref>

Para determinadas formas da equação de estado existe um [[invariante]] com respeito ao espaço variável '''''r''''' na teorização de Tolman-Oppenheimer-Volkoff da estrutura estelar. A forma deste invariante tem sido obtida e alguns de seus significados físicos têm sido discutidos.<ref>[http://www.iop.org/EJ/abstract/0264-9381/15/1/014 Existence of a space invariant in the Tolman-Oppenheimer-Volkoff theory; R S Kaushal 1998 Class. Quantum Grav. 15 197-201   doi:10.1088/0264-9381/15/1/014 - '''www.iop.org''']{{Ligação inativa|data=maio de 2019 }}</ref>

Se investiga a possibilidade de objetos compactos  poderem ser os aceleradores de raios cósmicos de alta energia. Isto inclui a generalização da equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff para esta classe de objetos. Para tal, são assumidas uma [[equação politrópica de estado]] para o fluido e, para simplificar, uma relação linear entre a [[densidade de carga]] e a [[densidade de energia]] do fluido. Foram obtidos limites superiores para a carga que tais objetos podem adquirir e a estabilidade destas configurações de equilíbrio.<ref>[http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-97332007000400023&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt Beatriz B. Siffert; J.R.T. de Mello Neto; Maurício O. Calvão; Compact charged stars; Braz. J. Phys. v.37 n.2b São Paulo jul. 2007; ISSN 0103-9733 - '''www.scielo.br''']</ref>

Estuda-se soluções estáticas das equações de Tolman-Oppenheimer-Volkoff de objetos esfericamente simétricos (estrelas) que existam em um espaço preenchido com o [[gás de Chaplygin]].<ref>V. Gorini, ''et al.''; ''[http://prd.aps.org/abstract/PRD/v78/i6/e064064 Tolman-Oppenheimer-Volkoff equations in the presence of the Chaplygin gas: Stars and wormholelike solutions]''; Phys. Rev. D 78, 064064 (2008) {{en}}</ref>

== Ver também ==
* [[Hidrostática|Equação Hidrostática]]
* [[Limite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff]]
* [[equações de campo de Einstein|Soluções das equações de campo de Einstein]]
* [[Fluido estático esfericamente simétrico perfeito]]

{{referências}}

== Ligações externas ==
* {{link|en|2=http://laplace.physics.ubc.ca/~scn/fluad/tov/|3=TOV (Tolman Oppenheimer Volkoff) Solutions - '''laplace.physics.ubc.ca'''}}
* {{link|en|2=http://books.google.com/books?id=e3xeCXHJq6wC&pg=PA384&dq=Tolman-Oppenheimer-Volkoff&lr=&hl=pt-BR&sig=kkdSpFinfwCaF_0-Jj73yxGHtHI|3=Nuclear Methods and the Nuclear Equation of State - Marcello Baldo - Página 384 - '''books.google.com'''}}

[[Categoria:Robert Oppenheimer]]
[[Categoria:Astrofísica]]
[[Categoria:Relatividade geral]]