Teorema de Nielsen–Schreier

O Teorema de Nielsen-Schreier é um importante resultado da Teoria dos Grupos que demonstra que todo subgrupo de um grupo livre é livre sobre algum conjunto.

Conjuntos fechados por prefixos

Seja $F=F(X)$ um grupo livre sobre o conjunto $X$. Um subconjunto $A$ de $F(X)$ será dito fechado por prefixos quando para toda palavra $w=a_{1}a_{2}\ldots a_{r}\in A$, $a_{i}\in X\cup X^{-1}$, reduzida como escrita, temos $a_{1}\ldots a_{r-1}\in A$. Note que um subconjunto fechado por prefixos necessariamente contém a palavra vazia $1$. (É verdade que o grupo livre é construído como o conjunto de classes de equivalência de palavras, mas é natural identificar uma classe com o único elemento em forma reduzida que contém.)

Transversais de Schreier

Se $H$ é um subgrupo do grupo livre $F(X)$, uma transversal à direita de $H$ em $F(X)$ será dita transversal de Schreier quando for um subconjunto fechado por prefixos. É um fato que, dado um subgrupo de um grupo livre, existe uma transversal de Schreier correspondente.

O enunciado

Teorema. (Nielsen-Schreier)

Seja $F=F(X)$ um grupo livre sobre o conjunto $X$ e seja $H\leq F$. Fixe uma transversal à direita ${\mathcal {T}}$ para $H$ em $F$ e, dado um elemento $w\in F$, seja ${\overline {w}}$ o único elemento de ${\mathcal {T}}$ tal que ${\overline {w}}w^{-1}\in H$. Assuma-se que ${\overline {1}}=1$. Então

• O subgrupo $H$ é gerado pelo conjunto ${\big \{}(tx)({\overline {tx}})^{-1}\mid t\in {\mathcal {T}},x\in X{\big \}}$.

A cada elemento não-idêntico do conjunto dos $(tx)({\overline {tx}})^{-1}$, $t\in {\mathcal {T}},x\in X$, associe um símbolo $y_{t,x}$ e forme o conjunto $Y=\{y_{t,x}\}$.

• Se a transversal ${\mathcal {T}}$ for uma transversal de Schreier, o epimorfismo $\alpha :F(Y)\twoheadrightarrow H$ que estende $y_{t,x}\mapsto (tx)({\overline {tx}})^{-1}$ é um isomorfismo. Em outras palavras, o (sub)grupo $H$ é livre, livremente gerado por $Y^{\alpha }$. Vale também que $H$ tem posto $\operatorname {rank} F(Y)=\operatorname {card} Y=(\operatorname {card} X)[F:H]-[F:H]+1$.

A substância do Teorema está no segundo item.

O Teorema de Schreier-Reidemeister

O Teorema de Nielsen-Schreier permite exibir uma apresentação de um subgrupo a partir de uma para o grupo que o contém. Para isso, temos o seguinte

Teorema. (Schreier-Reidemeister)

Seja $G$ o grupo apresentado $\langle X\mid R\rangle$, isto é, $G=F(X)/\langle R\rangle ^{F(X)}$, o subgrupo pelo qual estamos fatorando sendo o fecho normal do subgrupo gerado pelo conjunto $R\subset F(X)$ de relatores. Seja $H$ um subgrupo de $G$ e seja $K$ a pré-imagem de $H$ em $F(X)$. Se $\theta :K\to F(W)$ é um isomorfismo de $K$ com o grupo livre sobre o conjunto $W$ e se $T$ é uma transversal qualquer de $W$ em $F(X)$, então temos a apresentação $H\cong \langle W\mid S\rangle$, onde o conjunto $S$ de relatores é $S={\big \{}(trt^{-1})^{\theta }\mid t\in T,r\in R{\big \}}$.

A demonstração é imediata pois temos a igualdade entre fechos normais $\langle R\rangle ^{F}=\langle tRt^{-1}\mid t\in T\rangle ^{K}$.

É também imediato o seguinte

Corolário. São finitamente apresentáveis subgrupos de grupos finitamente apresentáveis que possuem índice finito.

Haja vista que o índice da pré-imagem será finito, implicando que o será também o posto da pré-imagem como grupo livre; além disso, $\operatorname {card} S\leq [G:H](\operatorname {card} R)$.

Um exemplo

Seja $G=\langle x,y\mid x^{3},y^{3},(xy)^{3}\rangle$ e $H=\langle x^{-1}y,yx^{-1}\rangle \leq G$. De fato, $H\!\vartriangleleft G$. Afirmo que $H$ é um grupo Abeliano livre de posto $2$, isto é, $H\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$. Note que $G/H\cong \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$. Seja $K$ a imagem inversa de $H$ em $F=F_{\{x,y\}}$ (usar-se-á o mesmo símbolo para denotar um elemento de $F$ e sua imagem em $G$; esperadamente, não haverá confusão). Temos a transversal de Schreier ${\mathcal {S}}=\{1,x,x^{2}\}\subset F$ para $K$. Pelo Teorema de Nielsen-Schreier, $K\cong F_{\{a,b,c,d\}}$ é livre de posto $4=2\cdot 3-3+1$, com a associação $a\mapsto x^{3},b\mapsto yx^{-1},c\mapsto xyx^{-2},d\mapsto x^{2}y$ (estendendo-se a) um isomorfismo cuja inversa será denotada por $\delta :H\to F_{\{a,b,c,d\}}$. Calculando, temos $(x^{3})^{\delta }=a$, $(y^{3})^{\delta }={\big (}(yx^{-1})(xyx^{-2})(x^{2}y){\big )}^{\delta }=bcd$,${\big (}(xy)^{3}{\big )}^{\delta }={\big (}(xyx^{-2})(x^{3})(yx^{-1})(x^{2}y){\big )}^{\delta }=cabd$,$(xy^{3}x^{-1})^{\delta }={\big (}(yx^{-1})^{x^{-1}}(xyx^{-2})^{x^{-1}}(x^{2}y)^{x^{-1}}{\big )}^{\delta }=(c)(da^{-1})(ab)=cdb$, ${\big (}x(xy)^{3}x^{-1}{\big )}^{\delta }={\big (}(x^{2}y)(xyx^{-2})(x^{3})(yx^{-1}){\big )}^{\delta }=dcab$, ${\big (}x^{2}y^{3}x^{-2}{\big )}^{\delta }={\big (}(x^{2}y)(yx^{-1})(xyx^{-2}){\big )}^{\delta }=dbc$, ${\big (}x^{2}(xy)^{3}x^{-2}{\big )}^{\delta }={\big (}x^{3}(yx^{-1})(x^{2}y)(xyx^{-2}){\big )}^{\delta }=abdc$. Note que os elementos de $F_{\{a,b,c,d\}}$ obtidos de comprimento $4$ são permutações cíclicas uns dos outros, portanto são conjugados, logo constituem um conjunto de relatores redundantes, dos quais precisamos de apenas um; o mesmo vale para aqueles de comprimento $3$. O gerador $a$ some. Temos daí que $H\cong \langle c,d\mid bcd,bdc\rangle$. Finalmente, $b\in \langle c,d\rangle$ e $[c,d]=1$; agora é fácil estabelecer, por exemplo, via Teorema de Von Dyck, um isomorfismo $H\cong \langle c,d\mid \![c,d]\rangle \cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$. Isso prova a afirmação inicial.