Teorema de Nielsen–Schreier: diferenças entre revisões

← Ver a alteração anterior Ver a alteração posterior →

Conteúdo apagado Conteúdo adicionado

Em linha

Revisão das 17h01min de 11 de fevereiro de 2020

O Teorema de Nielsen-Schreier é um importante resultado da Teoria dos Grupos que demonstra que todo subgrupo de um grupo livre é livre sobre algum conjunto.

Conjuntos fechados por prefixos

Seja $F=F(X)$ um grupo livre sobre o conjunto $X$ . Um subconjunto $A$ de $F(X)$ será dito fechado por prefixos quando para toda palavra $w=a_{1}a_{2}\ldots a_{r}\in A$ , $a_{i}\in X\cup X^{-1}$ , reduzida como escrita, temos $a_{1}\ldots a_{r-1}\in A$ . Note que um subconjunto fechado por prefixos necessariamente contém a palavra vazia $1$ . (É verdade que o grupo livre é construído como o conjunto de classes de equivalência de palavras, mas é natural identificar uma classe com o único elemento em forma reduzida que contém.)

Transversais de Schreier

Se $H$ é um subgrupo do grupo livre $F(X)$ , uma transversal à direita de $H$ em $F(X)$ será dita transversal de Schreier quando for um subconjunto fechado por prefixos. É um fato que, dado um subgrupo de um grupo livre, existe uma transversal de Schreier correspondente.

O enunciado

Teorema. (Nielsen-Schreier)^[1]^[2]^[3]

Seja $F=F(X)$ um grupo livre sobre o conjunto $X$ e seja $H\leq F$ . Fixe uma transversal à direita ${\mathcal {T}}$ para $H$ em $F$ e, dado um elemento $w\in F$ , seja ${\overline {w}}$ o único elemento de ${\mathcal {T}}$ tal que ${\overline {w}}w^{-1}\in H$ . Assuma-se que ${\overline {1}}=1$ . Então

O subgrupo $H$ é gerado pelo conjunto ${\big \{}(tx)({\overline {tx}})^{-1}\mid t\in {\mathcal {T}},x\in X{\big \}}$ .

A cada elemento não-idêntico do conjunto dos $(tx)({\overline {tx}})^{-1}$ , $t\in {\mathcal {T}},x\in X$ , associe um símbolo $y_{t,x}$ e forme o conjunto $Y=\{y_{t,x}\}$ .

Se a transversal ${\mathcal {T}}$ for uma transversal de Schreier, o epimorfismo $\alpha :F(Y)\twoheadrightarrow H$ que estende $y_{t,x}\mapsto (tx)({\overline {tx}})^{-1}$ é um isomorfismo. Em outras palavras, o (sub)grupo $H$ é livre, livremente gerado por $Y^{\alpha }$ . Vale também que $H$ tem posto $\operatorname {rank} F(Y)=\operatorname {card} Y=(\operatorname {card} X)[F:H]-[F:H]+1$ .

A substância do Teorema está no segundo item.

O Teorema de Schreier-Reidemeister

O Teorema de Nielsen-Schreier permite exibir uma apresentação de um subgrupo a partir de uma para o grupo que o contém. Para isso, temos o seguinte

Teorema. (Schreier-Reidemeister)

Seja $G$ o grupo apresentado $\langle X\mid R\rangle$ , isto é, $G=F(X)/\langle R\rangle ^{F(X)}$ , o subgrupo pelo qual estamos fatorando sendo o fecho normal do subgrupo gerado pelo conjunto $R\subset F(X)$ de relatores. Seja $H$ um subgrupo de $G$ e seja $K$ a pré-imagem de $H$ em $F(X)$ . Se $\theta :K\to F(W)$ é um isomorfismo de $K$ com o grupo livre sobre o conjunto $W$ e se $T$ é uma transversal qualquer de $W$ em $F(X)$ , então temos a apresentação $H\cong \langle W\mid S\rangle$ , onde o conjunto $S$ de relatores é $S={\big \{}(trt^{-1})^{\theta }\mid t\in T,r\in R{\big \}}$ .

A demonstração é imediata pois temos a igualdade entre fechos normais $\langle R\rangle ^{F}=\langle tRt^{-1}\mid t\in T\rangle ^{K}$ .

É também imediato o seguinte

Corolário. São finitamente apresentáveis subgrupos de grupos finitamente apresentáveis que possuem índice finito.

Haja vista que o índice da pré-imagem será finito, implicando que o será também o posto da pré-imagem como grupo livre; além disso, $\operatorname {card} S\leq [G:H](\operatorname {card} R)$ .

Um exemplo

Seja $G=\langle x,y\mid x^{3},y^{3},(xy)^{3}\rangle$ e $H=\langle x^{-1}y,yx^{-1}\rangle \leq G$ . De fato, $H\!\vartriangleleft G$ . Afirmo que $H$ é um grupo Abeliano livre de posto $2$ , isto é, $H\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ . Note que $G/H\cong \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ . Seja $K$ a imagem inversa de $H$ em $F=F_{\{x,y\}}$ (usar-se-á o mesmo símbolo para denotar um elemento de $F$ e sua imagem em $G$ ; esperadamente, não haverá confusão). Temos a transversal de Schreier ${\mathcal {S}}=\{1,x,x^{2}\}\subset F$ para $K$ . Pelo Teorema de Nielsen-Schreier, $K\cong F_{\{a,b,c,d\}}$ é livre de posto $4=2\cdot 3-3+1$ , com a associação $a\mapsto x^{3},b\mapsto yx^{-1},c\mapsto xyx^{-2},d\mapsto x^{2}y$ (estendendo-se a) um isomorfismo cuja inversa será denotada por $\delta :H\to F_{\{a,b,c,d\}}$ . Calculando, temos $(x^{3})^{\delta }=a$ , $(y^{3})^{\delta }={\big (}(yx^{-1})(xyx^{-2})(x^{2}y){\big )}^{\delta }=bcd$ , ${\big (}(xy)^{3}{\big )}^{\delta }={\big (}(xyx^{-2})(x^{3})(yx^{-1})(x^{2}y){\big )}^{\delta }=cabd$ , $(xy^{3}x^{-1})^{\delta }={\big (}(yx^{-1})^{x^{-1}}(xyx^{-2})^{x^{-1}}(x^{2}y)^{x^{-1}}{\big )}^{\delta }=(c)(da^{-1})(ab)=cdb$ , ${\big (}x(xy)^{3}x^{-1}{\big )}^{\delta }={\big (}(x^{2}y)(xyx^{-2})(x^{3})(yx^{-1}){\big )}^{\delta }=dcab$ , ${\big (}x^{2}y^{3}x^{-2}{\big )}^{\delta }={\big (}(x^{2}y)(yx^{-1})(xyx^{-2}){\big )}^{\delta }=dbc$ , ${\big (}x^{2}(xy)^{3}x^{-2}{\big )}^{\delta }={\big (}x^{3}(yx^{-1})(x^{2}y)(xyx^{-2}){\big )}^{\delta }=abdc$ . Note que os elementos de $F_{\{a,b,c,d\}}$ obtidos de comprimento $4$ são permutações cíclicas uns dos outros, portanto são conjugados, logo constituem um conjunto de relatores redundantes, dos quais precisamos de apenas um; o mesmo vale para aqueles de comprimento $3$ . O gerador $a$ some. Temos daí que $H\cong \langle b,c,d\mid bcd,bdc\rangle$ . Finalmente, $b\in \langle c,d\rangle$ e $[c,d]=1$ ; agora é fácil estabelecer, por exemplo, via Teorema de Von Dyck, um isomorfismo $H\cong \langle c,d\mid \![c,d]\rangle \cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ . Isso prova a afirmação inicial.

Referências

↑ ROBINSON, Derek J. (1996). A Course in the Theory of Groups. [S.l.]: Springer-Verlag
↑ JR, Marshall Hall. The Theory of Groups. [S.l.]: AMS-Chelsea Publishing
↑ MAGNUS, Wilhelm; SOLITAR, Donald; Karrass, Abraham. Combinatorial Group Theory. [S.l.]: Dover Publications

[1] ROBINSON, Derek J. (1996). A Course in the Theory of Groups. [S.l.]: Springer-Verlag

[2] JR, Marshall Hall. The Theory of Groups. [S.l.]: AMS-Chelsea Publishing

[3] MAGNUS, Wilhelm; SOLITAR, Donald; Karrass, Abraham. Combinatorial Group Theory. [S.l.]: Dover Publications

[1]

[2]

[3]

@@ Linha 36: / Linha 36: @@
 === Um exemplo ===
-Seja <math>G=\langle x,y\mid x^{3},y^{3},(xy)^{3}\rangle</math> e <math>H=\langle x^{-1}y,yx^{-1}\rangle\le G</math>. De fato, <math>H\!\vartriangleleft G</math>. Afirmo que <math>H</math> é um grupo Abeliano livre de posto <math>2</math>, isto é, <math>H\cong \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}</math>. Note que <math>G/H\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</math>. Seja <math>K</math> a imagem inversa de <math>H</math> em <math>F=F_{\{x,y\}}</math> (usar-se-á o mesmo símbolo para denotar um elemento de <math>F</math> e sua imagem em <math>G</math>; esperadamente, não haverá confusão). Temos a transversal de Schreier <math>\mathcal{S}=\{1,x,x^{2}\}\subset F</math> para <math>K</math>. Pelo Teorema de Nielsen-Schreier, <math>K\cong F_{\{a,b,c,d\}}</math> é livre de posto <math>4 = 2\cdot3-3+1</math>, com a associação <math>a\mapsto x^{3},b\mapsto yx^{-1},c\mapsto xyx^{-2},d\mapsto x^{2}y</math>  (estendendo-se a) um isomorfismo cuja inversa será denotada por <math>\delta: H\to F_{\{a,b,c,d\}}</math>. Calculando, temos <math>(x^{3})^{\delta}=a</math>, <math>(y^{3})^{\delta}=\big((yx^{-1})(xyx^{-2})(x^{2}y)\big)^{\delta}=bcd</math>,<math>\big((xy)^{3}\big)^{\delta} = \big((xyx^{-2})(x^{3})(yx^{-1})(x^{2}y)\big)^{\delta}=cabd</math>,<math>(xy^{3}x^{-1})^{\delta}=\big((yx^{-1})^{x^{-1}}(xyx^{-2})^{x^{-1}}(x^{2}y)^{x^{-1}}\big)^{\delta}=(c)(da^{-1})(ab)=cdb</math>, <math>\big(x(xy)^{3}x^{-1}\big)^{\delta}=\big((x^{2}y)(xyx^{-2})(x^{3})(yx^{-1})\big)^{\delta}=dcab</math>, <math>\big(x^{2}y^{3}x^{-2}\big)^{\delta}=\big((x^{2}y)(yx^{-1})(xyx^{-2})\big)^{\delta}=dbc</math>, <math>\big(x^{2}(xy)^{3}x^{-2}\big)^{\delta}=\big(x^{3}(yx^{-1})(x^{2}y)(xyx^{-2})\big)^{\delta}=abdc</math>. Note que os elementos de <math>F_{\{a,b,c,d\}}</math> obtidos de comprimento <math>4</math> são permutações cíclicas uns dos outros, portanto são conjugados, logo constituem um conjunto de relatores redundantes, dos quais precisamos de apenas um; o mesmo vale para aqueles de comprimento <math>3</math>. O gerador <math>a</math> some. Temos daí que <math>H\cong\langle c,d\mid bcd,bdc\rangle</math>. Finalmente, <math>b\in\langle c,d\rangle</math> e <math>[c,d]=1</math>; agora é fácil estabelecer, por exemplo, via Teorema de Von Dyck, um isomorfismo <math>H\cong\langle c,d\mid \![c,d]\rangle\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}</math>. Isso prova a afirmação inicial.
+Seja <math>G=\langle x,y\mid x^{3},y^{3},(xy)^{3}\rangle</math> e <math>H=\langle x^{-1}y,yx^{-1}\rangle\le G</math>. De fato, <math>H\!\vartriangleleft G</math>. Afirmo que <math>H</math> é um grupo Abeliano livre de posto <math>2</math>, isto é, <math>H\cong \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}</math>. Note que <math>G/H\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</math>. Seja <math>K</math> a imagem inversa de <math>H</math> em <math>F=F_{\{x,y\}}</math> (usar-se-á o mesmo símbolo para denotar um elemento de <math>F</math> e sua imagem em <math>G</math>; esperadamente, não haverá confusão). Temos a transversal de Schreier <math>\mathcal{S}=\{1,x,x^{2}\}\subset F</math> para <math>K</math>. Pelo Teorema de Nielsen-Schreier, <math>K\cong F_{\{a,b,c,d\}}</math> é livre de posto <math>4 = 2\cdot3-3+1</math>, com a associação <math>a\mapsto x^{3},b\mapsto yx^{-1},c\mapsto xyx^{-2},d\mapsto x^{2}y</math>  (estendendo-se a) um isomorfismo cuja inversa será denotada por <math>\delta: H\to F_{\{a,b,c,d\}}</math>. Calculando, temos <math>(x^{3})^{\delta}=a</math>, <math>(y^{3})^{\delta}=\big((yx^{-1})(xyx^{-2})(x^{2}y)\big)^{\delta}=bcd</math>,<math>\big((xy)^{3}\big)^{\delta} = \big((xyx^{-2})(x^{3})(yx^{-1})(x^{2}y)\big)^{\delta}=cabd</math>,<math>(xy^{3}x^{-1})^{\delta}=\big((yx^{-1})^{x^{-1}}(xyx^{-2})^{x^{-1}}(x^{2}y)^{x^{-1}}\big)^{\delta}=(c)(da^{-1})(ab)=cdb</math>, <math>\big(x(xy)^{3}x^{-1}\big)^{\delta}=\big((x^{2}y)(xyx^{-2})(x^{3})(yx^{-1})\big)^{\delta}=dcab</math>, <math>\big(x^{2}y^{3}x^{-2}\big)^{\delta}=\big((x^{2}y)(yx^{-1})(xyx^{-2})\big)^{\delta}=dbc</math>, <math>\big(x^{2}(xy)^{3}x^{-2}\big)^{\delta}=\big(x^{3}(yx^{-1})(x^{2}y)(xyx^{-2})\big)^{\delta}=abdc</math>. Note que os elementos de <math>F_{\{a,b,c,d\}}</math> obtidos de comprimento <math>4</math> são permutações cíclicas uns dos outros, portanto são conjugados, logo constituem um conjunto de relatores redundantes, dos quais precisamos de apenas um; o mesmo vale para aqueles de comprimento <math>3</math>. O gerador <math>a</math> some. Temos daí que <math>H\cong\langle b,c,d\mid bcd,bdc\rangle</math>. Finalmente, <math>b\in\langle c,d\rangle</math> e <math>[c,d]=1</math>; agora é fácil estabelecer, por exemplo, via Teorema de Von Dyck, um isomorfismo <math>H\cong\langle c,d\mid \![c,d]\rangle\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}</math>. Isso prova a afirmação inicial.
 <br />