Teorema do encaixe de intervalos: diferenças entre revisões
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==Demonstração== |
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Como a sucessão (''a<sub>n</sub>'')<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub> é crescente e é majorada (por todos os ''b<sub>n</sub>''), |
Como a sucessão (''a<sub>n</sub>'')<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub> é crescente e é majorada (por todos os ''b<sub>n</sub>''), |
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converge para algum número ''a'' e, analogamente, a sucessão (''b<sub>n</sub>'')<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub> converge para algum ''b''. Como qualquer ''a<sub>n</sub>'' é menor ou igual que qualquer ''b<sub>n</sub>'', tem-se ''a'' ≤ ''b''. |
converge para algum número ''a'' e, analogamente, a sucessão (''b<sub>n</sub>'')<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub> converge para algum ''b''. Como qualquer ''a<sub>n</sub>'' é menor ou igual que qualquer ''b<sub>n</sub>'', tem-se ''a'' ≤ ''b''. Por outro lado, é claro que, se ''x'' ∈ '''R''', então |
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:<math>x\geqslant a\Leftrightarrow(\forall n\in\mathbb{N}):x\geqslant a_n</math> |
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:<math>x\leqslant b\Leftrightarrow(\forall n\in\mathbb{N}):x\leqslant b_n,</math> |
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o que é o mesmo que dizer que: |
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:<math>\bigcap_{n\in\mathbb{N}}[a_n,b_n]=[a,b]\neq\emptyset.</math> |
:<math>\bigcap_{n\in\mathbb{N}}[a_n,b_n]=[a,b]\neq\emptyset.</math> |
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==Generalizações== |
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*Seja {[''a<sub>i</sub>'',''b<sub>i</sub>''] | ''i'' ∈ ''I''} um conjunto de intervalos fechados de um intervalo [''a'',''b''] e suponha-se que qualquer qualquer parte finita daquele conjunto tem intersecção não vazia. Então |
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:<math>\bigcap_{i\in I}[a_i,b_i]\neq\emptyset.</math> |
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*Uma sucessão decrescente (''K<sub>n</sub>'')<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub> de partes fechadas, limitadas e não vazias de '''R'''<sup>''n''</sup> tem intersecção não vazia. |
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[[Categoria:Matemática]] |
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Revisão das 09h01min de 10 de março de 2008
Em matemática, o teorema do encaixe de intervalos afirma que qualquer sucessão decrescente de intervlos de números reais tem, pelo menos, um ponto em comum.
Enunciado formal
Para cada n ∈ N, seja [an,bn] um intervalo de números reais e suponha-se que a sucessão ([an,bn])n ∈ N é decrescente, ou seja
Então existe algum número c que pertence a todos os intervalos [an,bn], o que é o mesmo que dizer que
Demonstração
Como a sucessão (an)n ∈ N é crescente e é majorada (por todos os bn), converge para algum número a e, analogamente, a sucessão (bn)n ∈ N converge para algum b. Como qualquer an é menor ou igual que qualquer bn, tem-se a ≤ b. Por outro lado, é claro que, se x ∈ R, então
e
o que é o mesmo que dizer que:
Generalizações
- Seja {[ai,bi] | i ∈ I} um conjunto de intervalos fechados de um intervalo [a,b] e suponha-se que qualquer qualquer parte finita daquele conjunto tem intersecção não vazia. Então
- Uma sucessão decrescente (Kn)n ∈ N de partes fechadas, limitadas e não vazias de Rn tem intersecção não vazia.