Teorema do encaixe de intervalos: diferenças entre revisões
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Para cada ''n'' ∈ '''N''', seja [''a<sub>n</sub>'',''b<sub>n</sub>''] um intervalo de números reais e suponha-se que a sucessão ([''a<sub>n</sub>'',''b<sub>n</sub>''])<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub> é decrescente, ou seja |
Para cada ''n'' ∈ '''N''', seja [''a<sub>n</sub>'',''b<sub>n</sub>''] um intervalo de números reais e suponha-se que a sucessão ([''a<sub>n</sub>'',''b<sub>n</sub>''])<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub> é decrescente, ou seja |
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*Uma sucessão decrescente (''K<sub>n</sub>'')<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub> de partes fechadas, limitadas e não vazias de '''R'''<sup>''n''</sup> tem intersecção não vazia. |
*Uma sucessão decrescente (''K<sub>n</sub>'')<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub> de partes fechadas, limitadas e não vazias de '''R'''<sup>''n''</sup> tem intersecção não vazia. |
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Revisão das 09h11min de 10 de março de 2008
Em matemática, o teorema do encaixe de intervalos afirma que qualquer sucessão decrescente de intervalos de números reais tem, pelo menos, um ponto em comum.
Enunciado formal
Para cada n ∈ N, seja [an,bn] um intervalo de números reais e suponha-se que a sucessão ([an,bn])n ∈ N é decrescente, ou seja
Então existe algum número c que pertence a todos os intervalos [an,bn], o que é o mesmo que dizer que
Demonstração
Como a sucessão (an)n ∈ N é crescente e é majorada (por todos os bn), converge para algum número a e, analogamente, a sucessão (bn)n ∈ N converge para algum b. Como qualquer an é menor ou igual que qualquer bn, tem-se a ≤ b. Por outro lado, é claro que, se x ∈ R, então
e
o que é o mesmo que dizer que:
Generalizações
- Seja {[ai,bi] | i ∈ I} um conjunto de intervalos fechados de um intervalo [a,b] e suponha-se que qualquer qualquer parte finita daquele conjunto tem intersecção não vazia. Então
- Uma sucessão decrescente (Kn)n ∈ N de partes fechadas, limitadas e não vazias de Rn tem intersecção não vazia.