Mostrar código-fonte de Função diferenciável

{{Descrição curta|Função matemática cuja derivada existe}}
[[Imagem:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|Uma função diferenciável]]
Em [[matemática]], uma '''função diferenciável''' de uma variável [[Número real|real]] é uma [[Função (matemática)|função]] cuja [[derivada]] existe em cada ponto de seu [[Domínio (matemática)|domínio]]. Em outras palavras, o <!--[[:en:Graph of a function]]-->gráfico de uma função diferenciável tem uma [[Tangente|reta tangente]] que não é <!--[[:en:Vertical tangent]]-->vertical em cada ponto interior de seu domínio. Uma função diferenciável é [[Função suave|suave]] (a função é bem aproximada localmente como uma [[função linear]] em cada ponto interior) e não contém nenhuma quebra, ângulo<!-- Por favor, não crie uma ligação para [[Ângulo]], pois este é o significado comum da linguagem. Uma ligação para [[Ângulo curvilíneo]] seria possível se (ou quando) tal artigo existir (ou vier a existir). -->, ou <!--[[:en:Cusp (singularity)]]-->cúspide.

Se {{Math|''x''<sub>0</sub>}} é um ponto interior no domínio de uma função {{Mvar|f}}, então {{Mvar|f}} é dita ''diferenciável em'' {{Math|''x''<sub>0</sub>}} se a derivada <math>f'(x_0)</math> existe. Em outras palavras, o gráfico de {{Mvar|f}} tem uma reta tangente não vertical no ponto {{Math|(''x''<sub>0</sub>, ''f''(''x''<sub>0</sub>))}}. {{Mvar|f}} diz-se diferenciável em {{Mvar|U}} se é diferenciável em cada ponto de {{Mvar|U}}. {{Mvar|f}} diz-se ''continuamente diferenciável'' se sua derivada também é uma função contínua sobre o domínio da função <math display="inline">f</math>. De um modo geral, diz-se que {{Mvar|f}} é da classe {{Em|<math>C^k</math>}} se suas primeiras <math display="inline">k</math> derivadas <math>f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x), \ldots, f^{(k)}(x)</math> existem e são contínuas no domínio da função <math display="inline">f</math>.

Para uma função multivariável, como mostrado [[#Diferenciabilidade em dimensões superiores|aqui]], a diferenciabilidade dela é algo mais complexo do que a existência das derivadas parciais dela.

==Diferenciabilidade de funções reais de uma variável==
Uma função <math>f:U\to\mathbb{R}</math>, definida em um conjunto aberto <math display="inline">U\subset\mathbb{R}</math>, é dita ''diferenciável'' em um <math>a\in U</math> se a derivada

: <math>f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math>
existe. Isso implica que a função é [[Função contínua|contínua]] em {{Mvar|a}}.

Esta função {{Mvar|f}} é dita diferenciável em {{Mvar|U}} se for diferenciável em cada ponto de {{Mvar|U}}. Neste caso, a derivada de {{Mvar|f}} é, portanto, uma função de {{Mvar|U}} em <math>\mathbb R</math>.

Uma função contínua não é necessariamente diferenciável, mas uma função diferenciável é necessariamente [[Função contínua|contínua]] (em todos os pontos onde é diferenciável) como mostrado abaixo (na seção [[#Diferenciabilidade e continuidade|Diferenciabilidade e continuidade]]). Diz-se que uma função é ''continuamente diferenciável'' se sua derivada também é uma função contínua; existem funções que são diferenciáveis, mas não continuamente diferenciáveis, (um exemplo é dado na seção [[#Classes de diferenciabilidade|Classes de diferenciabilidade]]).

==Diferenciabilidade e continuidade==
{{VT|Função contínua}}
[[Imagem:Absolute value.svg|left|thumb|A função de [[Função modular|valor absoluto]] é contínua (ou seja, não tem lacunas). É diferenciável em todos os lugares, exceto no ponto {{Math|''x''}} = 0, onde faz uma curva fechada ao cruzar o eixo {{Math|''y''}}.]]
[[Imagem:Cusp at (0,0.5).svg|thumb|right|Uma <!--[[:en:Cusp (singularity)]]-->cúspide no gráfico de uma função contínua. Em zero, a função é contínua, mas não diferenciável]]
Se {{Math|''f''}} é diferenciável em um ponto {{Math|''x''<sub>0</sub>}}, então {{Math|''f''}} também deve ser contínua em {{Math|''x''<sub>0</sub>}}. Em particular, qualquer função diferenciável deve ser contínua em todos os pontos de seu domínio. ''O inverso não é válido'': uma função contínua não precisa ser diferenciável. Por exemplo, uma função com dobra, <!--[[:en:Cusp (singularity)]]-->cúspide pode ser contínua, mas não diferenciável no local da anomalia.

A maioria das funções que ocorrem na prática tem derivadas em todos os pontos ou em quase <!--[[:en:Almost everywhere]]-->todos os pontos. No entanto, um resultado de [[Stefan Banach]] afirma que o conjunto de funções que possuem uma derivada em algum ponto é um [[Conjunto magro|conjunto escasso]] no espaço de todas as funções contínuas.<ref>{{Citar periódico |último=Banach |primeiro=S. |título=''Über die Baire'sche kategorie gewisser funktionenmengen'' |periódico=[[Studia Mathematica|Studia mathematica]] |volume=3 |número=1 |ano=1931 |páginas=174 – 179 |doi=10.4064/sm-3-1-174-179 |doi-access=free }}.  Citado por {{Citar livro |autor1=Hewitt, E. |autor2=Stromberg, K. |título=Real and abstract analysis |publicado=''Springer-Verlag'' |ano=1963 |páginas=''Theorem 17.8'' |no-pp=true |língua=en }}</ref> Informalmente, isso significa que funções diferenciáveis são muito atípicas entre funções contínuas. O primeiro exemplo conhecido de uma função contínua em todos os lugares, mas diferenciável em nenhum lugar, é a [[função de Weierstrass]].

==Classes de diferenciabilidade==
[[Imagem:Approximation of cos with linear functions without numbers.svg|300px|thumb|Funções diferenciáveis podem ser aproximadas localmente por funções lineares]]
[[Imagem:The function x^2*sin(1 over x).svg|thumb|300px|A função <math>f : \R \to \R</math> com <math>f(x) = x^2\sen\left(\tfrac 1x\right)</math> para <math>x \neq 0</math> e <math>f(0) = 0</math> é diferenciável. No entanto, esta função não é continuamente diferenciável]]
{{Artigo principal|Função suave{{!}}Suavidade}}
Uma função <math display="inline">f</math> é dita {{Em|{{Âncora visível|continuamente diferenciável|Diferenciabilidade contínua}}}} se a derivada <math display="inline">f^{\prime}(x)</math> existe e é ela própria uma função contínua. Embora a derivada de uma função diferenciável nunca tenha uma <!--[[:en:Classification of discontinuities#Jump discontinuity]]-->descontinuidade de salto, é possível que a derivada tenha uma <!--[[:en:Classification of discontinuities#Essential discontinuity]]-->descontinuidade essencial. Por exemplo, a função
<math display="block">f(x) \;=\; \begin{cases} x^2 \sen(1/x) & \text{ se }x \neq 0 \\ 0 & \text{ se } x = 0\end{cases}</math>
é diferenciável em 0, pois
<math display="block">f'(0) = \lim_{\varepsilon \to 0} \left(\frac{\varepsilon^2\sen(1/\varepsilon)-0}{\varepsilon}\right) = 0</math>
existe. No entanto, para <math>x \neq 0</math>, as <!--[[:en:Differentiation rules]]-->regras de diferenciação implicam
<math display="block">f'(x) = 2x\sen(1/x) - \cos(1/x)\;,</math>
que não tem limite quando <math>x \to 0</math>. Assim, este exemplo mostra a existência de uma função que é diferenciável, mas não continuamente diferenciável (ou seja, a derivada não é uma função contínua). No entanto, o [[teorema de Darboux]] implica que a derivada de qualquer função satisfaz a conclusão do [[teorema do valor intermediário]].

Da mesma forma como as [[Função contínua|funções contínuas]] são consideradas de {{Em|classe <math>C^0</math>}}, as funções continuamente diferenciáveis são às vezes consideradas de {{Em|classe <math>C^1</math>}}. Uma função é {{Em|de classe <math>C^2</math>}} se a primeira e a [[Derivada de segunda ordem|segunda derivada]] da função existem e são contínuas. De forma mais geral, diz-se que uma função é de {{Em|classe <math>C^k</math>}} se as primeiras <math>k</math> derivadas <math display="inline">f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x), \ldots, f^{(k)}(x)</math> todas existem e são contínuas. Se as derivadas <math>f^{(n)}</math> existem para todos os inteiros positivos <math display="inline">n</math>, a função é [[Função suave|suave]] ou equivalente, de {{Em|classe <math>C^{\infty}</math>}}.

==Diferenciabilidade em dimensões superiores==
Uma <!--[[:en:Function of several real variables]]-->função de várias variáveis reais {{Math|'''f''': '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>}} é dita diferenciável em um ponto {{Math|'''x'''<sub>0</sub>}} [[Quantificação existencial|se existe]] um [[Transformação linear|mapa linear]] {{Math|'''J''': '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>}} tal que:
: <math>\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac{\|\mathbf{f}(\mathbf{x_0}+\mathbf{h}) - \mathbf{f}(\mathbf{x_0}) - \mathbf{J}\mathbf{(h)}\|_{\mathbf{R}^{n}}}{\| \mathbf{h} \|_{\mathbf{R}^{m}}} = 0</math>

Se uma função é diferenciável em {{Math|'''x'''<sub>0</sub>}}, então todas as [[Derivada parcial|derivadas parciais]] existem em {{Math|'''x'''<sub>0</sub>}}, e o mapa linear {{Math|'''J'''}} é dado pela [[matriz jacobiana]], uma matriz ''n'' × ''m'' neste caso. Uma formulação semelhante da derivada de dimensão superior é fornecida pelo <!--[[:en:Fundamental increment lemma]]-->lema do incremento fundamental encontrado no cálculo de variável única.

Se todas as derivadas parciais de uma função existem na [[Vizinhança (matemática)|vizinhança]] de um ponto {{Math|'''x'''<sub>0</sub>}} e são contínuas no ponto {{Math|'''x'''<sub>0</sub>}}, então a função é diferenciável naquele ponto {{Math|'''x'''<sub>0</sub>}}.

Entretanto, a existência das derivadas parciais (ou mesmo de todas as [[Derivada direcional|derivadas direcionais]]) não garante que uma função seja diferenciável em um ponto. Por exemplo, a função {{Math|''f'': '''R'''<sup>2</sup> → '''R'''}} definida por:
: <math display="block">f(x,y) = \begin{cases}x & \text{se }y \ne x^2 \\ 0 & \text{se }y = x^2\end{cases}</math>
não é diferenciável em {{Math|(0, 0)}}, mas todas as derivadas parciais e direcionais existem neste ponto. Para um exemplo contínuo, a função
: <math>f(x,y) = \begin{cases}y^3/(x^2+y^2) & \text{se }(x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \text{se }(x,y) = (0,0)\end{cases}</math>
não é diferenciável em {{Math|(0, 0)}}, mas novamente todas as derivadas parciais e direcionais existem.
{{VT|Cálculo com múltiplas variáveis{{!}}Cálculo multivariável<!---->}}

==Diferenciabilidade em análise complexa==
{{Artigo principal|Função holomorfa}}
Na [[análise complexa]], a diferenciabilidade complexa é definida usando a mesma definição que as funções reais de variável única. Isso é permitido pela possibilidade de dividir [[Número complexo|números complexos]]. Assim, uma função <math display="inline">f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> é dita diferenciável em <math display="inline">x=a</math> quando:
:<math>f'(a)=\lim_{\underset{h\in\mathbb C}{h\to 0}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math>

Embora essa definição pareça semelhante à diferenciabilidade de funções reais de variável única, é, no entanto, uma condição mais restritiva. Uma função <math display="inline">f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>, que é diferenciável complexa em um ponto <math display="inline">x=a</math> é automaticamente diferenciável nesse ponto, quando vista como uma função <math>f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Isso ocorre porque a diferenciabilidade complexa implica que:
: <math>\lim_{\underset{h\in\mathbb C}{h\to 0}}\frac{|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}=0</math>

No entanto, uma função <math display="inline">f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> pode ser diferenciável como uma função multivariável, embora não seja diferenciável complexa. Por exemplo, <math>f(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}</math> é diferenciável em cada ponto, visto como a [[função real]] bivariável <math>f(x,y)=x</math>, mas não é diferenciável em nenhum ponto porque o limite <math display="inline">\lim_{h\to 0}\frac{h+\bar h}{2h}</math> não existe (o limite depende do ângulo de aproximação).

Qualquer função que é complexamente diferenciável na vizinhança de um ponto é chamada de [[Função holomorfa|holomorfa]] naquele ponto. Tal função é necessariamente infinitamente diferenciável e, de fato, [[Função analítica|analítica]].

==Funções diferenciáveis em variedades==
<!---->
Se ''M'' é uma <!--[[:en:Differentiable manifold]]-->variedade diferenciável, uma função real ou de valor complexo ''f'' em ''M'' é dita diferenciável em um ponto ''p'' se for diferenciável em relação a algum (ou qualquer) gráfico de coordenadas definido em torno de ''p''. Se ''M'' e ''N'' são variedades diferenciáveis, uma função ''f'':&nbsp;''M''&nbsp;→&nbsp;''N'' é dita diferenciável em um ponto ''p'' se for diferenciável em relação a algum (ou qualquer) gráfico de coordenadas definido em torno de ''p'' e ''f''(''p'').
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==Referências==
{{Reflist}}
<!---->
<!---->[[Categoria:Análise real]]
[[Categoria:Cálculo diferencial]]
<!---->[[Categoria:Geometria diferencial]]