Mostrar código-fonte de Logaritmo

{| style="float:right;"
|{{Wikipédia audível|Logaritmo.ogg|31 de julho de 2016}}
|}
[[Imagem:Binary logarithm plot with ticks.svg|thumb|O gráfico do logaritmo na base 2<ref>{{Citar web|url=http://omonitor.io/?q=log(x%2C2)|titulo=Confira este exemplo e faça outros com <b>O Monitor</b>|acessodata=2016-03-25|obra=omonitor.io}}</ref> atravessa o eixo das abcissas em x = 1 e passa pelos pontos com coordenadas {{nowrap|(2, 1)}}, {{nowrap|(4, 2)}} e {{nowrap|(8, 3)}}. O gráfico se aproxima do eixo das ordenadas, mas não chega a tocá-lo.<ref>{{citar web|url=http://sites.editorasaraiva.com.br/portalmatematica/default.aspx?mn=160&c=186&s=0|título=Banco de imagens — Volume 1|obra=Portal Matemática.|publicado=[[Editora Saraiva]]|acessodata=1 de dezembro de 2014|arquivourl=https://web.archive.org/web/20151210182119/http://sites.editorasaraiva.com.br/portalmatematica/default.aspx?mn=160&c=186&s=0|arquivodata=2015-12-10|urlmorta=yes}}</ref>]]
Na [[matemática]], o '''logaritmo''' de um número é o [[expoente]] a que outro valor fixo, a base, deve ser elevado para produzir este número.<ref>{{citar web|url=http://www.revista.vestibular.uerj.br/questao/questao-objetiva.php?seq_questao=580|título=1º Exame de Classificação|publicado=[[Universidade Estadual do Rio de Janeiro]]|acessodata=3 de dezembro de 2014|obra=Revista Eletrônica.}}{{Ligação inativa}}</ref> Por exemplo, o logaritmo de {{Fmtn|1000}} na base 10 é 3 porque 10 elevado ao cubo é {{Fmtn|1000}} ({{nowrap|1 000 {{=}} 10 × 10 × 10 {{=}} 10<sup>3</sup>}}). De maneira geral, para quaisquer dois [[número real|números reais]] b e x, onde b é positivo e b ≠ 1,<ref>{{citar livro|autor=Barroso, Juliane Matsubara|título=Conexões com a Matemática|url=http://www.moderna.com.br/main.jsp?lumPageId=4028818B2E24D324012E3469E60A34AF&itemId=8A8A8A823B429731013B65F5BA267526#|acessodata=2 de dezembro de 2014|isbn=9788516082291|páginas=798|editora=[[Editora Moderna]]}}</ref>
:<math> y=b^x\Leftrightarrow x=\log_b(y) </math>.

O logaritmo da base 10 (b {{=}} 10) é chamado de [[logaritmo comum]] (ou decimal) e tem diversas aplicações na ciência e engenharia. O [[logaritmo natural]] (ou neperiano) tem a [[Número de Euler|constante irracional ''e'']] (≈ 2,718) como base e é utilizado na [[matemática pura]], principalmente em [[cálculo diferencial]]. Ainda há o [[logaritmo binário]], no qual se usa base 2 (b {{=}} 2), que é importante para a [[ciência da computação]].<ref>{{citar web|url=http://www.maa.org/publications/periodicals/convergence/logarithms-the-early-history-of-a-familiar-function-before-logarithms-the-computational-demands-of|título=Logarithms. The early history of a familiar function|publicado=MAA|acessodata=2 de dezembro de 2014|autor=Clark, Kathleen}}</ref>

O conceito de logaritmo foi introduzido por [[John Napier]] no ano de 1614, a fim de simplificar cálculos, daí a nomenclatura logaritmo '''neperiano'''.<ref name=MATENC>{{citar livro |título=Função matemática|subtítulo=enciclopédia da matemática|local=Moscou |ano=1982 |edição=3ª|url=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu |editora=[[Grande Enciclopédia da Rússia]] }}</ref> Ele foi rapidamente adotado por navegadores, cientistas, engenheiros e outros profissionais para facilitar seus cálculos, através do uso de [[régua de cálculo|réguas de cálculo]] e [[tabela matemática|tabelas logarítmicas]]. Algumas etapas tediosas da multiplicação com vários dígitos podem ser substituídas por consultas a tabelas ou por somas mais simples devido ao fato de o logaritmo de um produto ser o [[somatório]] dos logaritmos dos fatores:<ref>{{citar web|url=http://www.uft.edu.br/fis/static/pdfs/Pre%20Calculo/Pr_Ca_A13_RF_WEB_W_310510.pdf|título=Pré Cálculo|obra=Andrade, Rubens Leão|publicado=[[Universidade Federal de Tocantins]]|acessodata=3 de dezembro de 2014|datali=dezembro de 2015|arquivourl=https://web.archive.org/web/20141208212249/http://www.uft.edu.br/fis/static/pdfs/Pre%20Calculo/Pr_Ca_A13_RF_WEB_W_310510.pdf|arquivodata=2014-12-08}}</ref>
:<math> \log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y),</math> desde que b, x e y sejam positivos e b ≠ 1.

A atual noção de logaritmo advém de [[Leonhard Euler]], que o relacionou com a [[função exponencial]] no século XVIII.<ref>{{citar web|url=http://www.mat.ufmg.br/verao2013/Logaritmo%20e%20Exponencial.pdf|título=Logaritmo e Exponencial|publicado=[[Universidade Federal de Minas Gerais]]|acessodata=3 de dezembro de 2014}}{{Ligação inativa|data=julho de 2019}}</ref> As [[escala logarítmica|escalas logarítmicas]] permitem reduzir grandezas de elevada amplitude para valores menores. Por exemplo, o [[decibel]] é uma [[Unidade de medida|unidade]] logarítmica que indica a proporção de uma quantidade física (geralmente energia ou intensidade) em relação a um nível de referência, isto é, estabelece uma razão entre a quantificação da energia liberada e a [[amplitude]].<ref>{{citar livro|url=http://books.google.com.br/books?id=CdtQBAAAQBAJ&pg=PA264&dq=decibel+scale+logarithmic+equation&hl=pt-BR&sa=X&ei=0ZOAVKO7EcfFgwTIvoGoDw&ved=0CEMQ6AEwBA#v=onepage&q=decibel%20scale%20logarithmic%20equation&f=false|título=Digital Signal Processing: A Practical Guide for Engineers and Scientists|autor=Smith, Steven|páginas=672|ano=2013|editora=Newnes|isbn=9780080477329}}</ref> Em [[química]], o [[potencial hidrogeniônico]] (pH) mede a acidez e a alcalinidade de soluções aquosas. Os logaritmos ainda são comuns em fórmulas científicas, na [[complexidade computacional|teoria da complexidade computacional]] e de figuras geométricas chamadas [[fractal|fractais]].<ref>{{citar web|url=http://www.ueap.ap.gov.br/acervo/noticias/2010/maio/noticia007.html|título=Acadêmicos “ocupam” UEAP na semana universitária|publicado=[[Universidade Estadual do Amapá]]|acessodata=3 de dezembro de 2014}}</ref><ref>{{citar livro|url=http://books.google.com.br/books?id=veAgAQAAQBAJ&pg=PA14&dq=logarithm+fractal&hl=pt-BR&sa=X&ei=CLOAVLmIDYWogwTOqITQAg&ved=0CEkQ6AEwBg#v=onepage&q=logarithm%20fractal&f=false|título=Fractal Analysis|autor=Brown, Clifford|ano=2010|editora=Sage|isbn=9781483343129|página=19|páginas=112}}</ref> Eles descrevem [[intervalo (música)|intervalos musicais]], aparecem em fórmulas que contam os [[número primo|números primos]], informam vários modelos da [[psicofísica]] e podem auxiliar na [[perícia contábil]].<ref>{{citar livro|url=http://books.google.com.br/books?id=_skEAAAAYAAJ&pg=PA183&dq=application+of+logarithm&hl=pt-BR&sa=X&ei=WZmAVIO2KYmagwTGq4SwDQ&ved=0CC0Q6AEwAg#v=onepage&q=application%20of%20logarithm&f=false|título=Arithmetic, algebra, differential and integral calculus|autor=Royal Military Academy|página=183|ano=2007|editora=Harvard University Press}}</ref>

Do mesmo modo como o logaritmo é o inverso da [[exponenciação]], o logaritmo complexo é a [[função inversa]] da função exponencial aplicada a [[números complexos]]. O [[logaritmo discreto]] é outra variante; ele é utilizado na [[criptografia assimétrica]].<ref>{{citar livro|url=http://books.google.com.br/books?id=6GNtPJ4v7m4C&pg=PA91&dq=logarithm+cryptography&hl=pt-BR&sa=X&ei=8ZmAVMKJFcepgwTY1IBo&ved=0CCAQ6AEwAA#v=onepage&q=logarithm%20cryptography&f=false|título=Public-key Cryptography|autor1=Paul Garrett|autor2= Daniel Lieman|página=91|páginas=183|ano=2005|editora=American Mathematical Society Short Course|isbn=9780821867679}}</ref>

==Razão e definição==

A ideia dos logaritmos é reverter a operação de [[exponenciação]], isto é, elevar um número a uma potência.<ref>{{citar web | autor=Miller, Jeff | url=http://jeff560.tripod.com/l.html | título=Earliest known uses of some of the words of Mathematics (L) | acessodata=29 de agosto de 2009}}</ref> A título de exemplo, a potência de três (ou o [[cubo (aritmética)|cubo]]) de  2 é 8, porque 8 é o produto dos três fatores de 2:<ref>{{citar web|url=http://bdtd.bczm.ufrn.br/tde_busca/arquivo.php?codArquivo=4425|título=Uma investigação história sobre os logaritmos com sugestão didática|autor=Soares, Evanildo Costa|obra=Centro de ciências exatas da Terra.|publicado=[[Universidade Federal do Rio Grande do Norte]]|acessodata=3 de dezembro de 2014}}{{Ligação inativa|data=julho de 2019}}</ref>
:<math>2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8.</math>
Disso resulta que o logaritmo de 8 na base 2 é 3, ou seja:<ref>{{citar web|url=http://www.ufgd.edu.br/facet/matematica/disciplinas/aplicacoes-da-informatica-no-ensino-da-matematica-ii|título=Aplicações da Informática no Ensino da Matemática|publicado=[[Universidade Federal da Grande Dourados]]|acessodata=3 de dezembro de 2014}}</ref>
log<sub>2</sub>&nbsp;8&nbsp;=&nbsp;3.

===Exponenciação===

A potência de três de qualquer número ''b'' é o produto de três fatores de ''b''. De forma mais geral, elevar ''b'' à enésima potência, quando ''n'' é um número natural, se realiza pela multiplicação de ''n'' fatores de ''b''. A enésima potência de ''b'' é escrita como ''b''<sup>''n''</sup>, que significa:<ref>{{citar livro|título=Matematica Financeira I|subtítulo=com a Calculadora Hp 12c|url=http://books.google.com.br/books?id=ydlE5Vf9ub4C&printsec=frontcover&hl=pt-BR#v=onepage&q&f=false|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=62|páginas=121|local=São Paulo|editora=Villipress|isbn=9788574730448|autor=dos Santos, João Carlos|ano=}}</ref>
:<math>b^n = \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{n \text{ fatores}}.</math>

A exponenciação pode ser estendida para  ''b''<sup>''y''</sup>, onde ''b'' é um número positivo e o expoente ''y'' é qualquer [[número real]].<ref>{{citar livro|título=Biomatemática|url=http://books.google.com.br/books?id=YEGDU-lRGQcC&pg=PA30&dq=Logaritmo&hl=pt-BR&sa=X&ei=prB-VOZ1xZ6CBNDAg7AH&redir_esc=y#v=onepage&q=Logaritmo&f=false|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=30|páginas=430|local=Coimbra|editora=Imprensa da Universidade de Coimbra|autor=Caramelo, José Amado|subtítulo=Uma introdução para o curso da matemática|edição=2ª|isbn=9789728704230|ano=}}</ref> Por exemplo, ''b''<sup>−1</sup> é o [[Inverso multiplicativo|inverso]] de ''b'', ou seja, {{nowrap|1/''b''}}.<ref>{{Citation|último1 =Shirali|primeiro1 =Shailesh|título=A Primer on Logarithms|publicado=Universities Press|isbn=978-81-7371-414-6|ano=2002|local=Hyderabad|url=http://books.google.com/books?id=0b0igbb3WaQC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false}}, esp. seção 2</ref>

===Definição===
O logaritmo de um número positivo real <math>x</math>, na base <math>b</math>, é o expoente pelo qual <math>b</math> deve ser elevado para se chegar a <math>x</math>, sendo <math>b</math> um número positivo real diferente de <math>1</math>.<ref>{{citar web|url=http://www.vestibular.ufg.br/ps2009-2/2a-etapa/prova_et2/grupo_1/RESP_ESPER-G-1-OFICIAIS.pdf|título=Respostas Esperadas Oficias|publicado=[[Universidade Federal de Goiás]]|data=11 de setembro de 2009|acessodata=3 de dezembro de 2014}}</ref> Em outras palavras, o logaritmo de <math>x</math> na base <math>b</math> é a solução de <math>y</math> na equação <math>b^y = x</math>: <ref>{{Citar livro|último1=Kate|primeiro1=S.K.|último2=Bhapkar|primeiro2=H.R.|título=Basics of Mathematics|local=Pune|publicado=Technical Publications|isbn=978-81-8431-755-8|ano=2009|url=http://books.google.com/books?id=v4R0GSJtEQ4C&pg=PR1#v=onepage&q&f=false|capítulo=1}}{{Ligação inativa}}</ref>

:<math>log_b x = y \Leftrightarrow b^y = x</math>

;onde:

*<math>b</math> é a '''base''' do logaritmo;
*<math>x</math> é o '''logaritmando''';
*<math>y</math> é o próprio '''logaritmo''';
*Sendo <math>log_b(x)</math> pronunciado como "o logaritmo de <math>x</math> na base <math>b</math>".<ref>{{citar web|url=http://www.usjt.br/biblioteca/sites_interesse/recursos/on/exatas.php|título=Bibliotecas: tópicos de destaque|publicado=[[Universidade São Judas Tadeu]]|obra=Faculdade de Tecnologia e Ciências Exatas.|acessodata=3 de dezembro de 2014}}{{Ligação inativa}}</ref>

===Exemplos===

<math>\log_216 = 4</math>, visto que <math>2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16</math>.

Os logaritmos também podem ser negativos:<ref>{{citar livro|autor=Sanches, Paulo Sérgio Bedaque|url=http://sites.editorasaraiva.com.br/portalmatematica/?mn=&c=171&s=|título=Matematikōs|editora=Editora Saraiva|acessodata=2 de dezembro de 2014|isbn=9788502101951|local=[[São Paulo (cidade)|São Paulo]]|páginas=480}}{{Ligação inativa}}</ref>

:<math>\log_2 \!\left( \frac{1}{2} \right) = -1,</math>
porque:
: <math>2^{-1} = \frac 1 {2^1} = \frac 1 2.</math><ref>{{citar web|url=http://ufrr.br/fisica/index.php?option=com_content&view=article&id=66|título=Programa de disciplina física|publicado=[[Universidade Federal de Roraima]]|obra=Departamento de Física.|acessodata=3 de dezembro de 2014}}</ref>
Um terceiro exemplo é: log<sub>10</sub>(150) é aproximadamente 2,176, que se localiza entre 2 e 3, da mesma forma como 150 está entre {{nowrap|10<sup>2</sup> {{=}} 100}} e {{nowrap|10<sup>3</sup> {{=}} 1 000}}.<ref>{{citar web|url=http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S0103-20032007000300006&script=sci_arttext|título=Análise de transmissão de preços do mercado atacadista de melão do Brasil|autor=Mayorga, Rodrigo|obra=Revista de Economia e Sociologia Rural|data=9 de janeiro de 2007|publicado=Scielo|acessodata=3 de dezembro de 2014}}</ref> Finalmente, para qualquer base ''b'', {{nowrap|log<sub>''b''</sub>(''b'') {{=}} 1}} e {{nowrap|1=log<sub>''b''</sub>(1) = 0}}, pois {{nowrap|''b''<sup>1</sup> {{=}} ''b''}} e {{nowrap|''b''<sup>0</sup> {{=}} 1}}, respectivamente.<ref>{{citar livro|título=Funções Analíticas com Aplicações|url=http://books.google.com.br/books?id=lcf5rTOZfhkC&dq=Logaritmo&hl=pt-BR&source=gbs_navlinks_s|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=45|autor=Rodrigues, Aldo|páginas=210|edição=1ª|local=Rio de Janeiro|editora=Editora Livraria da Fisica|isbn=9788588325531|ano=}}</ref>

== Identidades logarítmicas ==
{{Artigo principal|Identidades logarítmicas}}

Várias fórmulas são importantes para relacionar um logaritmo a outro, e essas relações são chamadas de identidades logarítmicas ou leis de log.<ref>{{Harvard citations|last1=Shirali|first1=Shailesh|year=2002|loc=seção 4|nb=yes}}, {{Harvard citations|last1=Downing| first1=Douglas |year=2003|loc=p. 275}} e {{Harvard citations|last1=Kate|last2=Bhapkar|year=2009|loc=p. 1-1|nb=yes}}</ref>

=== Produto, quociente, potência e raiz ===

A tabela a seguir lista algumas identidades logarítmicas<ref>{{citar web|url=http://www.ulb.ac.be:8070/cedop/tools/stat.php?file=Histlogarithmes.pdf&titre=L'histoire%20des%20logarithmes|título=Une histoire des logarithmes|publicado=[[Université Libre de Bruxelles]]|acessodata=2 de dezembro de 2014}}</ref> com exemplos, sendo que todas podem ser derivadas após a substituição da definição de logaritmo <math>x = b^{\log_b(x)}</math> e/ou <math>y = b^{\log_b(y)}</math> nos primeiros membros.<ref>{{Citar livro |autor= Paiva, Manoel|título= Matemática Paiva|url= http://www.moderna.com.br/main.jsp?lumPageId=4028818B2E24D324012E3469E60A34AF&itemId=BF536FDDFD944611968B28FDEA57CF02#|edição= 5ª|local= [[São Paulo (estado)|São Paulo]]|editora= Atual Editora|ano= 2010|página= 280|páginas= 422|isbn= 9788516068301|acessodata= 2 de dezembro de 2014}}</ref>

{| class="wikitable" style="margin: 0 auto;"
|-
!  !! Fórmula<ref>{{citar livro|título=Trigonometry|url=http://books.google.com.br/books?id=svZ-BdTfijsC&pg=PA51&dq=Logaritmo&hl=pt-BR&sa=X&ei=UbZ-VNyhEYKiNt_Jg8gN&redir_esc=y#v=onepage&q=Logaritmo&f=false|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=51|autor=Roseveare, David|páginas=260|local=Washington|editora=Hemus|isbn=8528903990|ano=2004|datali=dezembro de 2015}}{{Ligação inativa}}</ref>
!Descrição!! Exemplo
|-
| produto || <math> \log_b(x y) = \log_b (x) + \log_b (y)</math>
|O logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos números a serem multiplicados
|<math> \log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) =  2 + 3 = 5</math>
|-
| quociente || <math>\log_b \!\left(\frac x y \right) = \log_b (x) - \log_b (y)</math>
|O logaritmo da razão é a diferença dos logaritmos
|<math> \log_2 (16) = \log_2 \!\left ( \frac{64}{4} \right ) = \log_2 (64) - \log_2 (4) = 6 - 2 = 4</math>
|-
| potência no logaritmando || <math>\log_b(x^p) = p \log_b (x)</math>
|O logaritmo da ''p''-ésima potência de um número é ''p'' vezes o logaritmo do número em questão||<math> \log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6</math>
|-
| raiz || <math>\log_b \sqrt[p]{x} = \frac {\log_b (x)} p</math>
|A ''p''-ésima raiz de um número é o logaritmo do número dividido por ''p.''
|<math> \log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1,5 </math>
|}

=== Mudança de base ===

O logaritmo log<sub>''b''</sub>(''x'') pode ser calculado a partir dos logaritmos de x e de b, ambos com uma base arbitrária k, utilizando a seguinte fórmula:<ref>{{citar web|url=http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S0021-75572006000300009&script=sci_arttext|título=Diagnóstico de alergia a baratas no ambiente clínico: estudo comparativo entre o teste cutâneo e IgE específica|autor=Lopes, Maria Isabella|publicado=Scielo|obra=Jornal de Pediatria.|acessodata=3 de dezembro de 2014}}</ref><ref name=base>{{citar livro|url=http://www.math.kun.nl/werkgroepen/gmfw/bronnen/napier1.html|título=A description of the admirable table of logarithms|publicado=Nikolas Okes|ano=1616|autor=[[John Napier|Napier, John]]|acessodata=2 de dezembro de 2014|páginas=31|local=Londres}}{{Ligação inativa}}</ref>
: <math> \log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}.</math>

As típicas [[calculadora científica|calculadoras científicas]] calculam os logaritmos nas bases 10 e ''[[número de Euler|e]]''.<ref>{{Citation |último1 =Bernstein |primeiro1 =Stephen |último2 =Bernstein |primeiro2 =Ruth |título=Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability|publicado=[[McGraw-Hill]] |local=Nova Iorque | series=Schaum's outline series | isbn=978-0-07-005023-5 |ano=1999}}, p. 21</ref> Logaritmos com respeito a qualquer base b podem ser determinados usando qualquer um desses logaritmos, segundo a fórmula:<ref>{{citar web|url=http://spiem.pt/DOCS/ATAS_ENCONTROS/2008/2008_10_ELLaureano.pdf|título=Introduzindo o Conceito de Logaritmo com a Calculadora Científica|obra=EL Laureano|data=8 de outubro de 2008|publicado=Spiem|acessodata=3 de dezembro de 2014}}{{Ligação inativa}}</ref>
:<math> \log_b (x) = \frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (b)} = \frac{\log_{e} (x)}{\log_{e} (b)}.</math>

Dado um número ''x'' e seu logaritmo log<sub>''b''</sub>(''x''), a base desconhecida b é dada por:<ref>{{citar livro|título=Sequências|subtítulo=progressão aritmética, progressão geométrica e função logarítmica|url=http://books.google.com.br/books?id=qdNPBQAAQBAJ&pg=PA36&dq=Logaritmo&hl=pt-BR&sa=X&ei=pbt-VN2lGsGeNrvqg7gP&redir_esc=y#v=onepage&q=Logaritmo&f=false|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=36|autor=Garcia, Antonio Carlos|páginas=58|local=|editora=Clube de autores|isbn=|ano=2008}}</ref>
: <math> b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.</math>

== Bases particulares ==
[[File:Log4.svg|thumb|upright=1.2|Gráficos sobrepostos do logaritmo de bases {{sfrac| 1 | 2 }}, 2 e {{mvar|e}}]]

Entre todas as opções para a base, três são particularmente comuns. {{math| ''b'' {{=}} 10}}, {{math| ''b'' {{=}} [[e (constante matemática)|''e'']]}} (a constante matemática [[número irracional|irracional]] {{nowrap|{{math|[[e (constante matemática)|''e'']] ≈ 2,71828183}})}} e {{math| ''b'' {{=}} 2}} (o [[logaritmo binário]]). Na [[análise matemática]], o uso do logaritmo de base {{mvar|e}} é generalizado por causa de suas particulares propriedades analíticas. Por outro lado, logaritmos de {{nowrap|base 10}} (o [[logaritmo comum]]) são mais fáceis para cálculos manuais no [[sistema de numeração decimal]].<ref>{{Citar livro|último1=Downing|primeiro1=Douglas|título=Algebra the Easy Way|url=https://archive.org/details/algebraeasyway00down_0|series=Barron's Educational Series|local=Hauppauge, N.Y.|publicado=Barron's|isbn=978-0-7641-1972-9|ano=2003|em=capítulo 17, p. 275}}</ref>
<math display=block>\log_{10}\,(\,10\,x\,)\ =\;\log_{10} 10\ +\;\log_{10} x\ =\ 1\,+\,\log_{10} x\,.</math>

Assim, {{math|log<sub>10</sub>&thinsp;(''x'')}} está relacionado com o número de dígitos decimais de um inteiro positivo x, isto é, o número de dígitos é o menor número inteiro estritamente maior que {{math|log<sub>10</sub>&thinsp;(''x'')}}.<ref>{{citar livro|último1 =Wegener|primeiro1 =Ingo|título=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publicado=[[Springer-Verlag]]|local=Berlim, Nova Iorque|isbn=978-3-540-21045-0|ano=2005|página=20}}</ref> Por exemplo, {{math|log<sub>10</sub>&thinsp;({{Fmtn|1430}})}} é aproximadamente 3,15: o próximo inteiro é 4, que é a quantidade de dígitos de {{Fmtn|1430}}. Tanto o logaritmo natural quanto o logaritmo binário são utilizados na [[teoria da informação]], o que corresponde respectivamente ao uso de [[nat (unidade)|nats]] ou [[bit]]s como unidades fundamentais de informação.<ref>{{citar livro|título=Information Theory|primeiro =Jan C. A.|último =Van der Lubbe|publicado=Cambridge University Press|ano=1997|isbn=9780521467605|página=3|url=http://books.google.com/books?id=tBuI_6MQTcwC&pg=PA3}}</ref> Os logaritmos binários também são usados na [[ciência da computação]], onde o [[sistema binário]] é onipresente; na [[teoria musical]], onde uma proporção de dois tons (a [[oitava]]) é onipresente e o número de [[cent (música)|cent]] entre quaisquer dois tons é uma versão escalonada do logaritmo binário, ou log&nbsp;2 vezes 1200, da proporção de tons (ou seja, 100 cents por [[semitom]] no [[12 temperamentos iguais|temperamento igual convencional]]), ou equivalentemente o logaritmo de base {{math|2{{sup|1/1200}}}}; e na fotografia, logaritmos de base 2 redimensionados são usados para medir [[valor de exposição|valores de exposição]], [[Luminância|níveis de luz]], [[Velocidade do obturador|tempos de exposição]], [[Abertura (óptica)|aberturas de lentes]] e [[sensibilidade fotográfica]].<ref>{{citar livro |primeiro1=Elizabeth |último1=Allen |primeiro2=Sophie |último2=Triantaphillidou |ano=2011 |título=The Manual of Photography |publicado=Taylor & Francis |isbn=978-0-240-52037-7 |página=228 |url=https://books.google.com/books?id=IfWivY3mIgAC&pg=PA228}}</ref>

A abreviação {{math|log&thinsp;''x''}} é frequentemente usada quando a base pretendida pode ser inferida com base no contexto ou disciplina, ou quando a base é indeterminada ou imaterial. Logaritmos comuns (base 10), historicamente usados em tabelas de logaritmos e réguas de cálculo, são uma ferramenta básica para medição e computação em muitas áreas da ciência e engenharia; nesses contextos, {{math|log&thinsp;''x''}} ainda frequentemente significa o logaritmo de base dez.<ref>{{citar livro |primeiro=David F. |último=Parkhurst |ano=2007 |título=Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science |edição=ilustrada |publicado=Springer Science & Business Media |isbn=978-0-387-34228-3 |página=288 |url={{google books |plainurl=y |id=h6yq_lOr8Z4C |page=288}}}}</ref> Na matemática, {{math|log&thinsp;''x''}} geralmente significa o logaritmo natural (base {{mvar|e}}).<ref>{{citar livro |primeiro1=Michael T. |último1=Goodrich |primeiro2=Roberto |último2=Tamassia |ano=2002 |título=Algorithm Design: Foundations, analysis, and internet examples |publicado=John Wiley & Sons |página=23 |citação=One of the interesting and sometimes even surprising aspects of the analysis of data structures and algorithms is the ubiquitous presence of logarithms ... As is the custom in the computing literature, we omit writing the base {{mvar |b}} of the logarithm when {{nobr |{{math |''b'' {{=}} 2}} .}}}}</ref><ref>{{citar livro |último=Rudin |primeiro=Walter |ano=1984 |seção=Theorem&nbsp;3.29 |título=Principles of Mathematical Analysis |edição=3rd , International student |publicado=McGraw-Hill International |local=Auckland, NZ |isbn=978-0-07-085613-4 |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi}}</ref> Em ciência da computação e teoria da informação, {{math|log}} frequentemente se refere a logaritmos binários (base 2). A tabela a seguir lista notações comuns para logaritmos para essas bases. A coluna "notação ISO" lista designações sugeridas pela Organização Internacional de Normalização.<ref>{{citar relatório |departamento=Quantities and units |título={{grey |[título não citado]}} |seção=Part&nbsp;2: Mathematics |ano=2019 |id={{nobr |[[ISO 80000-2]]:2019 }} / {{nobr |EN [[ISO 80000-2]] }} |publicado=[[Organização Internacional de Normalização]]}}</ref>

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
!scope="col"| Base {{mvar|b}}
!scope="col"| Nome para log<sub>''b''</sub>&thinsp;''x''
!scope="col"| Notação ISO
!scope="col"| Outras notações
|-
!scope="row"| 2
| [[logaritmo binário]]
| {{math|lb ''x''}}&nbsp;<ref name=gullberg>{{citar livro |último=Gullberg |primeiro=Jan |ano=1997 |título=Mathematics: From the birth of numbers |local=New York, NY |publicado=W.W. Norton & Co |isbn=978-0-393-04002-9 |acessourl=registro |url=https://archive.org/details/mathematicsfromb1997gull}}</ref>
| {{math|ld ''x''}}, {{math|log ''x''}}, {{math|lg ''x''}},<ref>{{citation |título=The Chicago Manual of Style |ano=2003 |edição=25.ª |publicado=University of Chicago Press |página=530}}</ref> {{math|log<sub>2</sub>&thinsp;''x''}}
|-
! scope="row"|{{mvar|e}}
| [[logaritmo natural]]
| {{math|ln ''x''}}&nbsp;{{TagNota|name=adaa|group=nb|Alguns matemáticos não aprovam esta notação. Em sua autobiografia, [[Paul Halmos]] criticou o que ele considerava a "notação infantil {{math|ln}}", que ele disse que nenhum matemático jamais havia usado.<ref>{{citar livro |primeiro=P. |último=Halmos |autorlink=Paul Halmos |ano=1985 |título=I Want to be a Mathematician: An automathography |publicado=Springer-Verlag |local=Berlin, DE / New York, NY |isbn=978-0-387-96078-4}}</ref> A notação foi inventada no século&nbsp;XIX pelo matemático [[Irving Stringham|I. Stringham]].<ref>{{citar livro |primeiro=I. |último=Stringham |autorlink=Irving Stringham |ano=1893 |título=Uniplanar Algebra |publicado=The Berkeley Press |página={{mvar |xiii}} |url={{google books |plainurl=y |id=hPEKAQAAIAAJ |page=13}} |citação=Being part&nbsp;I of a propædeutic to the higher mathematical analysis}}</ref><ref>{{citar livro |primeiro=Roy S. |último=Freedman |ano=2006 |título=Introduction to Financial Technology |publicado=Academic Press |local=Amsterdam |isbn=978-0-12-370478-8 |página=59 |url={{google books |plainurl=y |id=APJ7QeR_XPkC |page=5}}}}</ref>
}}
| {{math|log {{mvar|x}}}}, {{math|log<sub>''e''</sub>&thinsp;''x''}}
|-
!scope="row"| 10
| [[logaritmo comum]]
| {{math|lg ''x''}}
| {{math|log ''x''}}, {{math|log<sub>10</sub>&thinsp;''x''}}
|-
!scope="row"| {{mvar|b}}
| logaritmo de base {{mvar|b}}
| {{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;''x''}}
|
|}

== História ==

=== Antecessores ===

Os [[Matemática babilônica|babilônios]], entre os anos de 2000–1600 a.C., podem ter inventado a [[algoritmos de multiplicação|multiplicação dos quadrados dos quartos]] para multiplicar dois números utilizando somente a adição, a subtração e uma tabela de quadrados dos quartos.<ref>{{citation |título= Quarter Tables Revisited: Earlier Tables, Division of Labor in Table Construction, and Later Implementations in Analog Computers |último =McFarland |primeiro =David |url=http://escholarship.org/uc/item/5n31064n |página=1 |ano=2007}}</ref><ref>{{citar livro|título=Mathematics in Ancient Iraq: A Social History |último =Robson |primeiro =Eleanor |página=227 |ano=2008 |isbn= 978-0691091822 }}</ref> Entretanto, ele não poderia ser usado para divisão sem uma tabela adicional dos inversos (ou o conhecimento de um algoritmo suficientemente simples para gerar os inversos). Grandes tabelas de quadrados dos quartos foram utilizadas para simplificar a multiplicação precisa de grandes números a partir de 1817, até este método ser substituído pela utilização dos computadores.<ref>{{citar livro|título=Grande enciclopédia portuguesa e brasileira|subtítulo=Ilustrada com cerca de 15000 gravuras e 400 estampas a cores|url=http://books.google.com.br/books?id=UKwqAAAAMAAJ&redir_esc=y|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=383-385|autor=|local=[[Universidade de Michigan]]|editora=Editorial Enciclopédia|isbn=|ano=2007}}</ref>

O matemático indiano [[Virasena]] trabalhou com o conceito de ''ardhaccheda'', o número de vezes em que um número da forma 2n pode ser dividido por 2. Para potências exatas de 2, este é o logaritmo naquela base, que é um número inteiro; para outros números, ele é indefinido. Ele descreveu relações como a fórmula do produto e também introduziu logaritmos inteiros nas bases 3 (''trakacheda'') e 4 (''caturthacheda'').<ref>{{citation|contribuição=History of Mathematics in India|título=Students' Britannica India: Select essays|editor-nome1 =Dale|editor-sobrenome1 =Hoiberg|editor-nome2 =Indu|editor-sobrenome2 =Ramchandani|primeiro =R. C.|último =Gupta|página=329|publicado=Popular Prakashan|ano=2000| contribution-url=http://books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false}}</ref>

[[Michael Stifel]] publicou ''Arithmetica integra'' em [[Nuremberg]] em 1544, contendo uma tabela de inteiros e potências de 2, sendo considerada uma versão inicial da tabela logarítmica.<ref>{{Citation|primeiro =Michaele|último =Stifelio|publicado=Iohan Petreium|local=Nuremberg|ano=1544|título=Arithmetica Integra|url = http://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&pg=RA1-PT419}}</ref>

No final do século XVI e início do século XVII, um algoritmo chamado [[prosthaphaeresis]] foi usado para aproximar a multiplicação e a divisão. Isto usava a identidade trigonométrica<ref>{{springerEOM  | title=Arithmetic  | id= A/a013260 | last=Bukhshtab  | first=A.A.   | last2=Pechaev | first2=V.I.}}</ref><ref>
{{Citation|título= Precalculus mathematics|autor1 = Vivian Shaw Groza |autor2= Susanne M. Shelley|publicado= Holt, Rinehart and Winston|local=Nova Iorque|ano=1972|isbn=978-0-03-077670-0|página= 182|url = http://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel}}</ref>
:<math>\cos\,\alpha\,\cos\,\beta = \frac12[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]</math>

ou similar para converter as multiplicações em adições, bem como consultas a tabelas. Entretanto, os logaritmos são mais diretos e requerem menos trabalho. Pode-se demonstrar, com o uso da [[Fórmula de Euler]], que os dois métodos são relacionados.

===De Napier a Euler===
[[Ficheiro:John Napier.jpg|thumb|150px|right|John Napier (1550–1617), o inventor dos logaritmos.<ref name=base/>]]
O método dos logaritmos foi proposto publicamente em [[1614]] por [[John Napier]], em um livro intitulado ''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio'' (''Descrição da maravilhosa regra dos logaritmos'').<ref>{{citation |primeiro =John |último =Napier |autorlink =John Napier |título=Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio |títulotrad=The Description of the Wonderful Rule of Logarithms |língua=Latim |local=Edinburgh, Scotland |publicado=Andrew Hart |ano=1614 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN527914568&DMDID=DMDLOG_0001&LOGID=LOG_0001&PHYSID=PHYS_0001 }}</ref><ref>{{Citation|autor =Ernest William Hobson|título=John Napier and the invention of logarithms, 1614|ano=1914|publicado=The University Press|local=Cambridge|url=http://www.archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala}}</ref> [[Joost Bürgi]] construiu uma tabela de potências com base muito próxima a 1, e esta tabela fornecia uma boa correspondência entre os inteiros 1-10 (ou 10-100, etc.) e expoentes que podiam ser somados. Esta tabela foi impressa (mas talvez não publicada) em 1620. Entretanto, Bürgi não definiu uma função abstrata contínua como Napier, e também não resolveu a precisão das interpolações, o que também foi trabalhado por Napier.

[[Johannes Kepler]], que usou tabelas de logaritmos extensivamente para compilar o seu ''Ephemeris'', que depois dedicou a Napier,<ref name="gladstone44">{{Citation |título=John Napier: Logarithm John |primeiro =Lynne |último =Gladstone-Millar |publicado=National Museums Of Scotland |ano=2003 |isbn=978-1-901663-70-9}}, p. 44</ref><ref name="gladstone44"/> observou:
{{quote| …a ênfase em cálculo levou Justus Byrgius [Joost Bürgi] pelo caminho para esses logaritmos muitos anos antes de o sistema de Napier aparecer; mas... em vez de apresentar seu filho para o benefício do público, ele o abandonou no nascimento.|Johannes Kepler<ref>{{Citation |último =Napier |primeiro =Mark |autorlink =:en:Mark Napier (historian) |título=Memoirs of John Napier of Merchiston |publicado=William Blackwood |local=Edinburgh |ano=1834 |url=http://books.google.com/books?id=husGAAAAYAAJ&pg=PA1&source=gbs_toc_r&cad=4#v=onepage&q&f=false}}, p. 392.</ref>|Rudolphine Tables (1627)}}

Por meio de subtrações repetidas, Napier calculou {{nowrap|(1 − 10<sup>−7</sup>)<sup>''L''</sup>}} para ''L'' variando de 1 a 100. O resultado para ''L''=100 é aproximadamente {{nowrap begin}}0,99999 = 1 − 10<sup>−5</sup>{{nowrap end}}. Napier então calculou os produtos desses números com {{nowrap|10<sup>7</sup>(1 − 10<sup>−5</sup>)<sup>''L''</sup>}} para ''L'' de 1 a 50, e fez similarmente com {{nowrap|0,9998 ≈ (1 − 10<sup>−5</sup>)<sup>20</sup>}} e {{nowrap|0,9 ≈ 0,995<sup>20</sup>}}. Esses cálculos, que levaram vinte anos, permitiram-lhe fornecer, para qualquer número ''N'' de 5 a 10 milhões, o número ''L'' que resolve a equação

:<math>N=10^7 {(1-10^{-7})}^L. \,</math>

Napier primeiro chamou ''L'' um “número artificial”, mas depois introduziu o termo “logaritmo” para significar um número que indica uma razão: {{lang|grc|λόγος}} (''[[logos]]'') significando proporção, e {{lang|grc|ἀριθμός}} (''arithmos'') significando número. Em notação moderna, a relação para [[Logaritmo natural|logaritmos naturais]] é:<ref>{{Citation|título= The Encyclopædia Britannica: a dictionary of arts, sciences, and general literature ; the R.S. Peale reprint,| volume = 17|edição= 9.ª|autor = William Harrison De Puy|publicado= Werner Co.|ano= 1893|página= 179| url = http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?seq=7&view=image&size=100&id=nyp.33433082033444&u=1&num=179}}</ref>

:<math>L = \log_{(1-10^{-7})} \!\left( \frac{N}{10^7} \right) \approx 10^7 \log_{ \frac{1}{e}} \!\left( \frac{N}{10^7} \right) = -10^7 \log_e \!\left( \frac{N}{10^7} \right),</math>

onde uma boa aproximação corresponde à observação que

:<math>{(1-10^{-7})}^{10^7} \approx \frac{1}{e}.  \,</math>

A invenção dos logaritmos foi rápida e amplamente recebida com elogios. Os trabalhos de [[Bonaventura Cavalieri]] (Itália), [[Edmund Wingate]] (França), [[Xue Fengzuo]] (China) e [[Johannes Kepler]] ([[Alemanha]]) ajudaram a espalhar e expandir ainda mais o conceito e a utilidade dos logaritmos.<ref> {{Citation|último1 =Maor|primeiro1 =Eli|título=e: The Story of a Number|publicado=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-14134-3|ano=2009|seção= 2}}</ref>
 [[Ficheiro:1 over x integral.svg|A hipérbole {{nowrap|''y'' {{=}} 1/''x''}} (curva vermelha) e sua área dada por ''x'' = 1 a 6 (hachurada de laranja).|right|thumb]]
Em 1649, [[Alphonse Antonio de Sarasa]], antigo aluno de [[Grégoire de Saint-Vincent]], relacionou os logaritmos com a quadratura da hipérbole, apontando que a área ''f''(''t'') do gráfico de {{nowrap|''x'' {{=}} 1}} a {{nowrap|''x'' {{=}} ''t''}} satisfaz<ref>Em 1647, Grégoire de Saint-Vincent publicou seu livro, ''Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni'', vol. 2 (Antuérpia, (Bélgica):  Johannes and Jakob Meursius, 1647).  [http://books.google.com/books?id=xMBhhRtupQsC&pg=PT35#v=onepage&q&f=false On page 586]</ref><ref>Alphonse Antonio de Sarasa, [http://books.google.com/books?id=p9E-AAAAcAAJ&pg=PA1#v=onepage&q&f=false ''Solutio problematis a R.P. Marino Mersenne Minimo propositi''] … [Proposta de solução para um problema pelo reverendo padre Marin Mersenne, membro da ordem Minim … ], (Antuérpia, (Bélgica):  Johannes e Jakob Meursius, 1649).</ref>
:<math>f(tu) = f(t) + f(u).\,</math>

O [[logaritmo natural]] foi descrito primeiramente pelo alemão [[Nikolaus Mercator]] em sua obra ''Logarithmotechnia'',<ref>{{Citation|autor1 =J. J. O'Connor|autor2 =E. F. Robertson |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html |título=The number e |publicado=The MacTutor History of Mathematics archive |data=Setembro de 2001 |acessodata=2 de fevereiro de 2009}}</ref> publicada em 1668, embora o professor de matemática John Speidell, em 1619, já tivesse elaborado uma tabela explicando o que eram os logaritmos naturais com base no trabalho de Napier.<ref>{{Citation|último =Cajori |primeiro =Florian |autorlink =Florian Cajori |título=A History of Mathematics|edição=5ª|local=Providence, RI|publicado=AMS Bookstore |ano=1991 |isbn=978-0-8218-2102-2|url=http://books.google.com/?id=mGJRjIC9fZgC&printsec=frontcover#v=onepage&q=speidell&f=false}}, p. 152</ref> Por volta de 1730, [[Leonhard Euler]] definiu a função exponencial e o logaritmo natural por
:<math>e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} (1+x/n)^n,</math>
:<math>\ln(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1).</math><ref>{{Citar web|url=http://omonitor.io/?q=limitedesequencia|titulo=Confira este exemplo e faça outros com <b>O Monitor</b>|acessodata=2016-03-25|obra=omonitor.io}}</ref>
Euler também mostrou que uma função é o inverso da outra.<ref name="ReferenceA">
{{Harvard citations |last1=Maor |year=2009 |nb=yes |loc=seções 1, 13}}</ref><ref>{{Citation |último1 =Eves |primeiro1 =Howard Whitley |autorlink1 =Howard Eves |título=An introduction to the history of mathematics |publicado=Saunders |local=Philadelphia |edição=6ª |series=The Saunders series |isbn=978-0-03-029558-4 |ano=1992|seção= 9-3}}</ref><ref>{{Citation |último1 =Boyer |primeiro1 =Carl B. |autorlink1 =Carl Benjamin Boyer |título=A History of Mathematics |publicado=[[John Wiley & Sons]] |local=Nova Iorque | isbn=978-0-471-54397-8 |ano=1991}}, p. 484, 489</ref>

=== Tabelas de logaritmos ===
{{AP|Tabela matemática}}
[[Imagem:Logarithms Britannica 1797.png|thumb|360px|right|Definição de logaritmos segundo a [[Encyclopædia Britannica]] (1797).]]
Com a simplificação de cálculos difíceis, os logaritmos contribuíram para o avanço da ciência, especialmente da astronomia. Foram críticos para os avanços na [[agrimensura]], na [[navegação astronômica]] e em outros domínios.<ref>{{citar web|url=http://bases.bireme.br/cgi-bin/wxislind.exe/iah/online/?IsisScript=iah/iah.xis&src=google&base=LILACS&lang=p&nextAction=lnk&exprSearch=307873&indexSearch=ID|título=Crescimento alométrico em crianças eutróficas e desnutridas|autor=Santos, Fátima|autor2= Rosane J. B.|publicado=Bireme|acessodata=3 de dezembro de 2014|obra=Biblioteca Virtual em Saúde}}</ref> [[Pierre Simon Laplace]] comentou sobre os logaritmos:
::"... um admirável artifício que, ao reduzir para poucos dias um trabalho de muitos meses, duplica a vida dos astrônomos e poupa-os dos erros e desgostos inseparáveis dos longos cálculos."<ref>{{Citation |último1 =Bryant |primeiro1 =Walter W. |título=A History of Astronomy |url=http://archive.org/stream/ahistoryastrono01bryagoog#page/n72/mode/2up |publicado=Methuen & Co|local=Londres }}, p. 44</ref>

A ferramenta-chave que possibilitou o uso prático dos logaritmos antes das calculadoras e computadores foi a ''tabela de logaritmos''.<ref>{{Citation |último1 =Campbell-Kelly |primeiro1 =Martin |título=The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets |publicado=[[Oxford University Press]] | series=Oxford scholarship online | isbn=978-0-19-850841-0 |ano=2003}}, seção 2</ref> A primeira tabela deste tipo foi compilada por [[Henry Briggs]] em 1617, imediatamente após a invenção de Napier. Ulteriormente, tabelas com maior alcance e precisão foram publicadas. Essas tabelas listavam valores de log<sub>''b''</sub>(''x'') e ''b''<sup>''x''</sup> para qualquer número ''x'' em um certo intervalo, com uma determinada precisão, para uma certa base ''b'' (usualmente, {{nowrap begin}}''b'' = 10{{nowrap end}}). Por exemplo, a primeira tabela de Briggs contém o logaritmo comum de todos os números inteiros de 1 a {{Fmtn|1000}}, com precisão de oito dígitos. Como a função {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>}} é a função inversa de log<sub>''b''</sub>(''x''), ela foi chamada de antilogaritmo.<ref>{{Citation|editor-sobrenome1 =Abramowitz|editor-nome1 =Milton|editor1-link=Milton Abramowitz|editor-sobrenome2 =Stegun|editor-nome2 =Irene A.|editor2-link=Irene Stegun|título=[[Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]|publicado=[[Dover Publications]]|local=Nova Iorque|isbn=978-0-486-61272-0|edição=10ª|ano=1972}}, seção 4.7., p. 89</ref> O produto e o quociente de dois números positivos ''c'' e ''d'' eram rotineiramente calculados pela soma e diferença de seus logaritmos. O produto ''cd'' ou o quociente ''c''/''d'' são encontrados por meio de consulta aos antilogaritmos da soma ou diferença, na mesma tabela:
:<math> c d = b^{\log_b (c)} \, b^{\log_b (d)} = b^{\log_b (c) + \log_b (d)} \,</math>
e
:<math>\frac c d = c d^{-1} = b^{\log_b (c) - \log_b (d)}. \,</math>

Para cálculos manuais que demandam precisões apreciáveis, realizar a pesquisa dos dois logaritmos (na tabela logarítmica), realizar sua soma ou diferença e localizar o antilogaritmo na tabela<ref>{{citar web|url=http://www.scielosp.org/scielo.php?pid=S0102-311X2004000800023&script=sci_arttext|título=Acesso à internação hospitalar nos municípios brasileiros em 2000: territórios do Sistema Único de Saúde|autor=de Oliveira, Evangelina X. G.|publicado=Scielo SP|acessodata=3 de dezembro de 2014}}</ref> é muito mais rápido do que a multiplicação por métodos anteriores, tal como o [[prosthaphaeresis]], que depende das [[identidade trigonométrica|identidades trigonométricas]]. Cálculos de [[potenciação|potências]] e [[radiciação|raízes]] são reduzidos à multiplicação ou à divisão da seguinte maneira:<ref>{{citar web|url=http://cascavel.ufsm.br/revistas/ojs-2.2.2/index.php/cienciaflorestal/article/view/1657|título=Quantificação da biomassa acima do solo de Acacia mearnsii|obra=Cascavel.|publicado=[[Universidade Federal de Santa Maria]]|acessodata=3 de dezembro de 2014}}</ref>
:<math>c^d = (b^{\log_b (c)  })^d =  b^{d \log_b (c)} \,</math>
e
:<math>\sqrt[d]{c} = c^{\frac 1 d} = b^{\frac{1}{d} \log_b (c)}. \,</math>

Muitas tabelas de logaritmos fornecem os logaritmos separadamente pela característica e a [[logaritmo comum|mantissa]] de ''x'', ou seja, a [[parte inteira]] e a [[parte fracionária]] de log<sub>10</sub>(''x'').<ref>{{Citation |último1 =Spiegel |primeiro1 =Murray R. |último2 =Moyer |primeiro2 =R.E. |título=Schaum's outline of college algebra |publicado=[[McGraw-Hill]] |local=Nova Iorque | series=Schaum's outline series | isbn=978-0-07-145227-4 |ano=2006}}, p. 264</ref> A característica de {{nowrap|10 · ''x''}} é 1 mais a característica de ''x'', e seus [[significando]]s são os mesmos. Isso estende o escopo das tabelas de logaritmos: dada uma tabela listando log<sub>10</sub>(''x'') para todos os inteiros de 1 a {{Fmtn|1000}}, o logaritmo de {{Fmtn|3542}} é aproximadamente:<ref>{{citar livro|título=Tabla de logaritmos de todos los números naturales desde 1 hasta 20000; y de todos los logaritmos de los senos, tangentes de todos los grados y minutos del quadrante del circulo|url=http://books.google.com.br/books?id=8O-7cmVY1KAC&printsec=frontcover&dq=Logaritmo&hl=pt-BR&sa=X&ei=dMN-VNGTOoWegwTQu4Ag&redir_esc=y#v=onepage&q=Logaritmo&f=false|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=1-425|autor=Bails, Benito|páginas=531|local=|editora=Universidade Complutense de Madri|isbn=|ano=2009}}</ref>
:<math>\log_{10}(3542) = \log_{10}(10\cdot 354,2) = 1 + \log_{10}(354,2) \approx 1 + \log_{10}(354). \, </math>

=== Régua de cálculo ===

Outra aplicação crítica foi a [[régua de cálculo]], um par de escalas logarítmicas utilizadas para cálculos, da seguinte maneira:<ref>{{citar web|url=http://ppe.ipea.gov.br/index.php/ppe/article/view/426|título=Sobre as causas da recente aceleração inflacionária|autor=Resende, André Lara|publicado=Pesquisa e Planejamento Econômico|acessodata=3 de dezembro de 2014}}</ref>
[[Ficheiro:Slide rule example2 with labels.svg|center|thumb|550px|Representação esquemática de uma régua de cálculo. Neste exemplo, colocando 2 na escala inferior e 3 na escala superior, atinge-se 6 pelo produto. Esta régua funciona porque a distância de 1 a ''x'' é marcada proporcionalmente ao logaritmo de ''x''.]]

A escala logarítmica não deslizante de [[Edmund Gunter]] foi desenvolvida logo depois da invenção de Napier. O padre inglês [[William Oughtred]] a aprimorou para criar a régua de cálculo — um par de escalas logarítmicas móveis, em que os números são colocados em distâncias proporcionais às diferenças de seus logaritmos. Deslizando-se a escala superior em relação à escala inferior permite a soma mecânica dos logaritmos.<ref>{{citar livro|título=Manuale per i concorsi di sottufficiale nell'esercito|url=http://books.google.com/books?id=MdT637PWhxYC&pg=PA295&dq=Logaritmo&hl=pt-BR&sa=X&ei=LMl-VIaFGcSUNtPXgLgK&ved=0CCoQ6AEwAjha|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=292-294|autor=Drago, Massimo|páginas=416|local=Paris|editora=Alpha Test|isbn=9788848306201|ano=2005}}</ref> Por exemplo, colocando-se a distância de 1 a 2 na escala inferior e a distância de 1 a 3 na escala superior, chega-se na escala inferior ao produto 6.<ref>{{citar web|url=http://bases.bireme.br/cgi-bin/wxislind.exe/iah/online/?IsisScript=iah/iah.xis&src=google&base=LILACS&lang=p&nextAction=lnk&exprSearch=38782&indexSearch=ID|título=Padrões ecocardiográficos normais em crianças na cidade do Rio de Janeiro: I. Relaçäo entre medidas ecocardiográficas e padröes antropométricos|publicado=Bireme|data=1986|autor=Schneider, Cristina|acessodata=3 de dezembro de 2014}}</ref> A régua de cálculo foi uma ferramenta essencial para engenheiros e cientistas até a década de 1970, porque ela permite, em detrimento da precisão, muito mais rapidez no cálculo que as técnicas baseadas nas tabelas logarítmicas.<ref name="ReferenceA"/>

== Propriedades analíticas ==

Um estudo mais profundo dos logaritmos requer o conceito de [[função (matemática)|função]]: uma relação entre dois [[conjunto]]s, na qual há uma condição entre cada um de seus elementos. Um exemplo é a função exponencial, na qual a enésima potência de b resulta em um número real y.<ref>{{citar livro|último1 =Devlin |primeiro1 =Keith |autorlink1 =Keith Devlin |título=Sets, functions, and logic: an introduction to abstract mathematics |publicado=Chapman & Hall/CRC |local=Boca Raton, Fla |edição=3ª | series=Chapman & Hall/CRC mathematics | isbn=1-58488-449-5 |ano=2004 | url=http://books.google.com/books?id=uQHF7bcm4k4C&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false}}</ref> Esta função se escreve:
:<math>f(n) = b^n.</math>

=== Função logarítmica ===

Para justificar a definição de logaritmo, é necessário mostrar que a equação <math>b^x = y</math> tem a solução x e que esta é única, desde que y seja positivo e b seja positivo e diferente de 1. Uma prova para este fato requer o [[teorema do valor intermediário]] do [[cálculo elementar]].<ref name=LangIII.3>{{Citation|último1 =Lang|primeiro1 =Serge|autorlink1 =Serge Lang|título=Undergraduate analysis|publicado=[[Springer-Verlag]]|local=Berlim, Nova Iorque|edição=2nd|series=Undergraduate Texts in Mathematics|isbn=978-0-387-94841-6|mr=1476913|ano=1997}}, seção III.3</ref> Este teorema afirma que uma [[função contínua]] que produz dois valores ''m'' e ''n'' também produz qualquer valor que se situe entre ''m'' e ''n''.<ref>{{citar livro|título=Curso interactivo de matemáticas básicas para ciencias|url=http://books.google.com/books?id=EpCcchXhHJkC&pg=PA91&dq=Logaritmo&hl=pt-BR&sa=X&ei=LMl-VIaFGcSUNtPXgLgK&ved=0CEwQ6AEwBzha|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=20-22|autor=Cueto, Maria José Vásquez|páginas=127|local=|editora=Delta Publicaciones|isbn=9788496477056|ano=}}</ref> Uma função é contínua quando ela não dá “saltos”, isto é, quando seu gráfico pode ser desenhado sem se levantar a caneta.

Pode-se demonstrar que esta propriedade se aplica à função {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''b''<sup>''x''</sup>{{nowrap end}}. Como ''f'' assume valores positivos arbitrariamente grandes e arbitrariamente pequenos, qualquer número {{nowrap|''y'' > 0}} situa-se entre ''f''(''x''<sub>0</sub>) e ''f''(''x''<sub>1</sub>) para apropriados ''x''<sub>0</sub> e ''x''<sub>1</sub>.<ref>{{citar web|url=http://bibliotecadigital.fgv.br/dspace/handle/10438/529|título=Inercia inflacionária e inflação inercial|acessodata=3 de dezembro de 2014|publicado=[[Fundação Getúlio Vargas]]|obra=Biblioteca Digital.}}</ref> Logo, o teorema do valor intermediário garante que a equação ''f''(''x'') = ''y'' tem uma solução. Além disso, há apenas uma solução para essa equação, porque a função ''f'' é [[função monótona|estritamente crescente]] (para {{nowrap|''b'' > 1}}) ou estritamente decrescente (para {{nowrap|0 < ''b'' < 1}}).<ref name=LangIV.2 />

A única solução ''x'' é o logaritmo de y na base b, log<sub>''b''</sub>(''y''). A função que atribui a y o seu logaritmo é chamada de função logarítmica ou, simplesmente, logaritmo. A função log<sub>''b''</sub>(''x'') é essencialmente caracterizada pela fórmula do produto:<ref>{{citar livro|título=Elementos de cálculo diferencial y de cálculo integral|url=http://books.google.com.br/books?id=7NYpIMY3WX0C&pg=PA329&dq=Logaritmo&hl=pt-BR&sa=X&ei=LMl-VIaFGcSUNtPXgLgK&redir_esc=y#v=onepage&q=Logaritmo&f=false|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=42|autor=Boucharlat, J. L.|páginas=436|local=Madri|editora=Imprenta Real|isbn=|ano=1834}}</ref>
:<math>\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y).</math>

Mais precisamente, o logaritmo em qualquer base {{nowrap|''b'' > 1}} é  a única função crescente ''f'' dos números reais para os reais que satisfaçam {{nowrap begin}}''f''(''b'') = 1{{nowrap end}} e <math>f(xy)=f(x)+f(y).</math><ref>{{citar livro|título=Foundations of Modern Analysis |volume=1 |último =Dieudonné |primeiro =Jean |página=84 |ano=1969 |publicado=Academic Press }}</ref>

{{teorema
|1=Dado um número real b (com 0 < ''b'' ≠ 1), chama-se ''função logarítmica'' a função ''f'' de ℝ<sub>+</sub>* em ℝ dada pela lei ''f''(''x'') = log<sub>''b''</sub>(''x'').<ref>{{citar web|url=http://cepa.if.usp.br/2012/03/02/e-calculo/|título=e-Cálculo para propriedades matemáticas|acessodata=23 de novembro de 2014|obra=Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada.|data=2 de março de 2012|publicado=[[Universidade de São Paulo]].}}</ref>
}}

=== Função inversa ===

[[Imagem:Logarithm inversefunctiontoexp.svg|right|220px|thumb|O gráfico de uma função logarítmica log<sub>''b''</sub>(''x'') (azul) é obtido pela [[reflexão (matemática)|reflexão]] do gráfico de uma [[função exponencial]] ''b''<sup>''x''</sup> (vermelho) em relação à linha diagonal ({{nowrap begin}}''x'' = ''y''{{nowrap end}}).]]

A fórmula para o logaritmo de uma potência indica que para qualquer número ''x'',

 <math>\log_b \left (b^x \right) = x \log_b(b) = x.</math>

Literalmente, tendo-se a x-ésima potência de ''b'', o logaritmo na base ''b'' resulta em ''x''. Inversamente, dado um número positivo ''y'', a fórmula <math>b^{\log_b(y)} = y,</math> diz que se primeiro tirarmos o logaritmo e depois elevarmos a esta potência, temos de volta ''y''.<ref>{{citar web|url=http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=155019936013|título=Artículo|obra=Educar.|data=2011|acessodata=3 de dezembro de 2014|publicado=Redalyc}}</ref> Logo, as duas maneiras possíveis de combinar logaritmos e exponenciação dão o número original. Portanto, a função {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} log<sub>''b''</sub>''x''}} é a [[função inversa]] de {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>}}.<ref>{{Citation |último1 =Stewart |primeiro1 =James |título=Single Variable Calculus: Early Transcendentals |publicado=Thomson Brooks/Cole |local=Belmont|isbn=978-0-495-01169-9 |ano=2007}}, seção 1.6</ref>

As funções inversas estão estreitamente relacionadas às funções originais. Seus gráficos são correspondentes, apenas trocando-se o eixo das abcissas com o eixo das ordenadas (ou pela reflexão em relação à diagonal ''x = y''), como mostrado nos gráficos ao lado: um ponto (''t'', ''u'' = ''b''<sup>''t''</sup>) em um gráfico representa o ponto (''u'', ''t'' = log<sub>''b''</sub>''u'') no outro gráfico, pelo processo da [[reflexão (matemática)|reflexão]], e vice-versa.<ref>{{citar web|url=http://www.sidalc.net/cgi-bin/wxis.exe/?IsisScript=ACERVO.xis&method=post&formato=2&cantidad=1&expresion=mfn=015976|título=Consumo, digestibilidade, desempenho, composição corporal e exigências nutricionais de bezerros alimentados com dietas contendo diferentes níveis de volumoso..|acessodata=3 de dezembro de 2014|publicado=[[Universidade Federal de Viçosa]]|obra=Alianza de Servicios de Información Agraria}}</ref> Consequentemente, log<sub>''b''</sub>(''x'') [[limite de uma sequência|tende para o infinito]] se x cresce para o infinito, desde que ''b'' seja maior que um (nesse caso, log<sub>''b''</sub>(''x'') é uma função crescente). Para {{nowrap|''b'' < 1}}, log<sub>''b''</sub>(''x'') tende para menos infinito.<ref>{{citar web|url=http://bibliotecadigital.fgv.br/ojs/index.php/rbe/article/viewArticle/673|título=Complementaridade versus substituição entre investimento público e privado na economia brasileira: 1965-90|autor=Rocha, Carlos Henrique|obra=Revista Brasileira de Economia.|acessodata=3 de dezembro de 2014|publicado=[[Fundação Getúlio Vargas]]}}{{Ligação inativa}}</ref>

=== Derivada e integral ===
[[Imagem:Logarithm derivative.svg|right|220px|thumb|O gráfico de um [[logaritmo natural]] (verde) e sua tangente em {{nowrap|''x'' {{=}} 1,5}} (preto).]]
As propriedades analíticas das funções passam para suas funções inversas. Então, como {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''b''<sup>''x''</sup>{{nowrap end}} é uma [[função diferenciável]] e contínua, log<sub>''b''</sub>(''y'') também é. Grosso modo, uma função contínua é diferenciável se seu gráfico não tiver "ângulos". Além disso, como a [[derivada]] de ''f''(''x'') calcula a ln(''b'')''b''<sup>''x''</sup> pelas propriedades da [[função exponencial]], a [[regra da cadeia]] implica que a derivada de log<sub>''b''</sub>(''x'') é dada por<ref name=LangIV.2>{{Harvard citations|last1=Lang|year=1997 |nb=yes|loc=seção IV.2}}</ref><ref>{{citar web|obra=Wolfram Alpha |título=Calculation of ''d/dx(Log(b,x))'' |publicado=[[Wolfram Research]] |acessodata=15 de março de 2011 |url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx(Log(b,x)) }}</ref>
: <math>\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}. </math>

Isto é, a inclinação de uma [[tangente (geometria)|tangente]] que toca o gráfico do logaritmo na base b no ponto {{nowrap|(''x'', log<sub>''b''</sub>(''x''))}} é igual a {{nowrap|1/(''x'' ln(''b''))}}.<ref>{{citar livro|título=Qualidade do crescimento a(t)|url=http://books.google.com.br/books?id=3I7dHFFDBWYC&pg=PA209&dq=Logaritmo&hl=pt-BR&sa=X&ei=LMl-VIaFGcSUNtPXgLgK&redir_esc=y#v=onepage&q=Logaritmo&f=false|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=209|autor=Dailami, Mansoor|páginas=304|local=|editora=[[Universidade Estadual Paulista]]|isbn=9788571394414|ano=2003}}</ref> Em particular, a derivada de ln(''x'') é 1/''x'', o que implica que a [[integral]] de 1/''x'' é {{nowrap|ln(''x'') + C}}. A derivada, com uma definição generalizada, de ''f''(''x'') é<ref>{{citar web|url=http://www.scielo.br/pdf/rbz/v30n3s1/5532.pdf|título=Composição corporal e requisitos líquidos e dietéticos de macroelementos minerais de bovinos nelore não-castrados|autor=Véras, Antonia Sherlânea Chaves|data=2001|acessodata=3 de dezembro de 2014|publicado=Scielo}}</ref>
:<math>\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.</math>

O quociente do gráfico à direita é chamado de [[derivada logarítmica]] de ''f''. O cálculo de ''f<nowiki>'</nowiki>''(''x'') por meio da derivada de ln(''f''(''x'')) é conhecido como [[diferenciação logarítmica]].<ref>{{Citation |último1 =Kline |primeiro1 =Morris |autorlink1 =Morris Kline |título=Calculus: an intuitive and physical approach |publicado=[[Dover Publications]] |local=Nova Iorque | series=Dover books on mathematics | isbn=978-0-486-40453-0 |ano=1998}}, p. 386</ref> [[Lista de integrais de funções logarítmicas|Fórmulas relacionadas]], tais como integrais de logaritmos para outras bases, podem ser derivadas a partir da equação abaixo usando a mudança de base. Portanto, a integral de um [[logaritmo natural]] ln(''x'') éː<ref>{{Citar web|url=http://omonitor.io/?q=integral+ln(x)|titulo=Confira este exemplo e faça outros com <b>O Monitor</b>|acessodata=2016-03-25|obra=omonitor.io}}</ref><ref>{{citar web|obra=Wolfram Alpha |título=Calculation of ''Integrate(ln(x))'' |publicado=Wolfram Research |acessodata=15 de março de 2011 |url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate(ln(x)) }}</ref>
: <math>\int \ln(x) \,dx = x \ln(x) - x + C.</math><ref>{{Harvard citations|editor1-last=Abramowitz|editor2-last=Stegun|year=1972 |nb=yes|loc=p. 69}}</ref>

=== Representação da integral do logaritmo natural ===
[[Imagem:Natural logarithm integral.svg|right|thumb|O [[logaritmo natural]] de ''t'' é a área hachurada do gráfico da função ''f''(''x'') = 1/''x''.]]
O [[logaritmo natural]] de ''t'' corresponde à [[integral]] de 1/''x''&nbsp;''dx'' de 1 para ''t'':<ref>{{citar web|url=http://www.scielo.br/pdf/rbz/v31n6/a20v31n6.pdf|título=Composição corporal e exigências líquidas de energia e proteína para ganho de peso de novilhos santa gertrudis|autor=Backes|acessodata=3 de dezembro de 2014|publicado=Revista Brasileira de Economia}}</ref>
:<math>\ln (t) = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.</math>

Em outras palavras, ln(''t'') é igual à área entre o eixo das abcissas e o gráfico da função 1/''x'', variando de {{nowrap|1=''x'' = 1}} a {{nowrap|1=''x'' = ''t''}}, tal como na figura ao lado. Esta é uma consequência do [[teorema fundamental do cálculo]] e do fato de que a derivada de ln(''x'') é 1/''x''. As fórmulas do logaritmo de produtos e potências podem ser derivadas a partir dessa definição (utilizando como exemplo, {{nowrap|1=ln(''tu'') = ln(''t'') + ln(''u'')}}):<ref>{{Citation|último1 =Courant|primeiro1 =Richard|título=Differential and integral calculus. Vol. I|publicado=[[John Wiley & Sons]]|local=Nova Iorque|series=Wiley Classics Library|isbn=978-0-471-60842-4|mr=1009558|ano=1988}}, seção III.6</ref>
:<math> \ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).</math>

A igualdade (1) divide a integral em duas partes, enquanto a igualdade (2) mostra a mudança de variável ({{nowrap|1=''w'' = ''x''/''t''}}). Na ilustração abaixo, o desdobramento corresponde à divisão da área nas partes amarela e azul. Redimensionando a área azul do gráfico à esquerda no eixo das ordenadas e diminuindo-o no eixo das abcissas pelo mesmo fator ''t'', conclui-se que seu tamanho é constante; dessa forma, movendo-o apropriadamente para o gráfico à direita, percebe-se a mesma área em proporções diferentes.<ref>{{citar web|url=http://www.sidalc.net/cgi-bin/wxis.exe/?IsisScript=SCBR.xis&method=post&formato=2&cantidad=1&expresion=mfn=019367|título=Seleção de modelos de variabilidade espacial para elaboração de mapas temáticos de atributos físicos do solo e produtividade da soja|autor=Faraco, Mário Antonio|acessodata=3 de dezembro de 2014|publicado=Sidalc|data=2008}}</ref>

[[Imagem:Natural logarithm product formula proven geometrically.svg|thumb|center|500px|Comprovação visual e geométrica da fórmula-produto do logaritmo natural.]]

A fórmula da potência {{nowrap|1=ln(''t''<sup>''r''</sup>) = ''r'' ln(''t'')}} pode ser derivada de maneira semelhante, na qual a segunda igualdade usa uma mudança de variáveis ([[integração por substituição]]), {{nowrap|1=''w'' = ''x''<sup>1/''r''</sup>}}:<ref>{{citar livro|título=Lecturas sobre Crecimiento Económico Regional|url=http://books.google.com.br/books?id=UVIC7OkMWwwC&pg=PA132&dq=Logaritmo&hl=pt-BR&sa=X&ei=UN1-VIrgLo2EgwTxm4PgDQ&redir_esc=y|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=132|autor=Ríos, Mario Alberto Gaviria|local=|editora=Juan Carlos Martínez Coll|isbn=9788468942704|ano=2005}}</ref>
:<math>
\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{w^r} \left(rw^{r - 1} \, dw\right) = r \int_1^t \frac{1}{w} \, dw = r \ln(t).
</math>

A soma dos recíprocos dos [[número natural|números naturais]], <math>1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},</math> é chamada de [[série harmónica (matemática)|série harmônica]].<ref>{{citar livro|título=Tras los pasos de un... Hacker|url=http://books.google.com.br/books?id=tSdGxtSrlU8C&pg=PA659&dq=Logaritmo&hl=pt-BR&sa=X&ei=UN1-VIrgLo2EgwTxm4PgDQ&redir_esc=y|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=659|autor=Marroquín, Néstor|páginas=746|local=|editora=NMC Research Cía Ltda|isbn=9781453850435|ano=2010}}</ref> Ela está intimamente relacionada ao logaritmo natural: quando n tende ao infinito, a diferença <math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n)</math> [[limite de uma sequência|converge]] para um número conhecido como [[constante de Euler-Mascheroni]]. Esta relação auxilia na análise do desempenho de algoritmos tais como os conhecidos como ''[[quicksort]]''.<ref>{{Citation|último1 =Havil|primeiro1 =Julian|título=Gamma: Exploring Euler's Constant|publicado=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-09983-5|ano=2003}}, seções 11.5 e 13.8</ref>

Existe também outra representação da integral de logaritmos que é usada em algumas situações:<ref>{{citar web|url=http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/75/75131/tde-18092001-165107/en.php|título=Eletrólitos sólidos poliméricos à base de polissacarídeos: síntese e caracterização|data=2000|acessodata=3 de dezembro de 2014|publicado=[[Universidade de São Paulo]]|obra=AM Regiani}}</ref>
:<math> \ln(x) = -\lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^\infty \frac{dt}{t}\left( e^{-xt} - e^{-t} \right)</math>

Isto pode ser verificado demonstrando-se que ele possui o mesmo valor para x=1, e a mesma derivada.

===Transcendência do logaritmo===
Todos os números reais que não são [[Número algébrico|números algébricos]] são chamados de [[número transcendente|números transcendentes]];<ref>{{citation|título=Selected papers on number theory and algebraic geometry|volume=172|primeiro1 =Katsumi|último1 =Nomizu|autorlink =Katsumi Nomizu|local=Providence, RI|publicado=AMS Bookstore|ano=1996|isbn=978-0-8218-0445-2|página=21|url=http://books.google.com/books?id=uDDxdu0lrWAC&pg=PA21}}</ref> por exemplo, o [[Pi|π]] e o  ''[[número de Euler]]'' são números deste tipo, porém <math>\sqrt{2-\sqrt 3}</math> não é. Quase todos os números reais são números  transcendentais. O logaritmo é um exemplo de uma [[função transcendental]]. O [[Teorema de Gelfond-Schneider]] afirma que os logaritmos geralmente assumem valores transcendentais, isto é, "difíceis".<ref>{{Citation|último1 =Baker|primeiro1 =Alan|autorlink1 =Alan Baker|título=Transcendental number theory|publicado=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-20461-3|ano=1975}}, p. 10</ref>

== Cálculo ==

Logaritmos são uma alternativa fácil de resolver cálculos em alguns casos, por exemplo, {{nowrap begin}}log<sub>10</sub>(1000) = 3{{nowrap end}}. Geralmente, os logaritmos podem ser calculados usando a [[série de potências]] ou a [[média aritmética-geométrica]], ou serem retirados de uma tabela de logaritmos pré-calculada, a qual oferece uma precisão definida.<ref>{{Citation |último1 =Muller |primeiro1 =Jean-Michel |título=Elementary functions |publicado=Birkhäuser Boston |local=Boston, MA |edição=2ª | isbn=978-0-8176-4372-0 |ano=2006}}, seções 4.2.2 (p. 72) e 5.5.2 (p. 95)</ref><ref>{{Citation|autor1 =Hart|autor2= Cheney|autor3= Lawson|numero-autores= et al.|ano=1968|publicado=John Wiley|local=Nova Iorque|título=Computer Approximations|series=SIAM Series in Applied Mathematics}}, seção 6.3, p. 105–111</ref> O [[método de Newton]], desenvolvido para resolver equações de forma iterativa de maneira aproximada, também pode ser usado para calcular o logaritmo, porque sua função inversa,<ref>{{Citation|último1=Zhang|primeiro1=M.|último2=Delgado-Frias|primeiro2=J.G.|último3=Vassiliadis|primeiro3=S.|título=Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation|url=http://ce.et.tudelft.nl/publicationfiles/363_195_00326783.pdf|doi=10.1049/ip-cdt:19941268|periódico=IEE Proceedings Computers & Digital Techniques|issn=1350-2387|volume=141|ano=1994|número=5|páginas=281–292|datali=dezembro de 2015|acessodata=2 de dezembro de 2014|arquivodata=2012-05-09|arquivourl=https://web.archive.org/web/20120509081116/http://ce.et.tudelft.nl/publicationfiles/363_195_00326783.pdf#|seção=1}}{{Ligação inativa}}</ref> a função exponencial, é calculada de maneira eficiente por esse método. Usando tabelas de consulta, métodos como o [[CORDIC|algoritmo de Volder]] podem ser usados para cálculo de logaritmos se as únicas operações disponíveis são a adição e o [[deslocamento aritmético]].<ref name=ime>{{citar web|url=http://www.rumoaoita.com/materiais/lista_revisao_ime1.pdf|publicado=[[Instituto Militar de Engenharia]]|obra=Rumo à Oita.|título=Revisão de Geometria Plana|acessodata=3 de dezembro de 2014|data=1984|arquivourl=https://web.archive.org/web/20150924092707/http://www.rumoaoita.com/materiais/lista_revisao_ime1.pdf|arquivodata=2015-09-24|urlmorta=yes}}</ref> Além disso, o algoritmo do logaritmo binário calcula o lb(''x'') pela [[recursividade]], baseada em repetidas potências de 2 de ''x'', a partir da seguinte equação:<ref name=ime/>
:<math>\log_2(x^2) = 2 \log_2 (x). \,</math>

=== Série de potências ===
==== Série de Taylor ====
[[Imagem:Taylor approximation of natural logarithm.gif|right|thumb|A [[série de Taylor]] de&nbsp;ln(''z'') centralizado em&nbsp;''z''&nbsp;=&nbsp;1. A animação mostra as primeiras&nbsp;10 aproximações incluindo a nonagésima nona e a centésima estimativa. As aproximações não convergem além da distância de 1 até o centro.]]
Para qualquer número real ''z'' que satisfaça {{nowrap|0 < ''z'' < 2}}, a seguinte fórmula se aplica:<ref name=AbramowitzStegunp.68>{{Harvard citations|editor1-last=Abramowitz|editor2-last=Stegun|year=1972 |nb=yes|loc=p. 68}}</ref>
:<math>
\ln (z)  = (z-1) - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \frac{(z-1)^4}{4} + \cdots
</math>
Esta é uma forma para dizer que ln(''z'') pode ser aproximado a um valor cada vez mais preciso a partir da seguinte expressão:<ref>{{citar web|url=http://www.sober.org.br/palestra/12/02P143.pdf|autor=Baptista, A.|título=Palestra sobre logaritmos|acessodata=3 de dezembro de 2014|publicado=Sober}}{{Ligação inativa}}</ref>
:<math>
\begin{array}{lllll}
(z-1) & & \\
(z-1) & - &  \frac{(z-1)^2}{2} & \\
(z-1) & - &  \frac{(z-1)^2}{2} & + & \frac{(z-1)^3}{3} \\
\vdots &
\end{array}
</math>

Por exemplo, com {{nowrap|''z'' {{=}} 1,5}}, a terceira aproximação equivale a 0,4167, que é cerca de 0,011 maior que a {{nowrap|ln(1,5) {{=}} 0,405465}}.<ref>{{citar livro|título=Introducción a la ciencia e ingeniería de los materiales, Volume 1|url=http://books.google.com.br/books?id=gnfPV1txXiUC&pg=PA308&dq=Logaritmo&hl=pt-BR&sa=X&ei=6eF-VN2wM4uhgwTSw4CIBw&redir_esc=y#v=onepage&q=Logaritmo&f=false|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=308|autor=William D. Callister|páginas=524|local=|editora=Reverte|isbn=9788429172539|ano=2002}}</ref> Essa série proporciona uma aproximação de ln(''z'') com uma precisão arbitrária desde que o número de parcelas seja suficiente. Em cálculo elementar, ln(''z'') é, consequentemente, o [[limite]] desta série. Isto representa a [[série de Taylor]] do [[logaritmo natural]] para {{nowrap begin}}''z'' = 1{{nowrap end}}; a série de Taylor de ln ''z'' fornece uma aproximação útil para ln(1+''z''), quando ''z'' é pequeno, ''|z| < 1'', logo<ref>{{citar web|url=http://base.repositorio.unesp.br/handle/11449/99700|título=Influência da adição de nanopartículas paramagnéticas de Ni0,5Zn0,5Fe2O4 nas propriedades estruturais e dielétricas de filmes de borracha natural: preparação e caracterização|autor=Salmazo, Leandara Oliveira|acessodata=3 de dezembro de 2014|publicado=[[Universidade Estadual Paulista]]}}{{Ligação inativa}}</ref>
:<math>
\ln (1+z) = z - \frac{z^2}{2}  +\frac{z^3}{3}\cdots \approx z.
</math>

==== Séries mais eficientes ====

Outra série para aproximação e resolução de cálculos logarítmicos é baseada na [[função hiperbólica inversa|tangente hiperbólica inversa]]:<ref name=AbramowitzStegunp.68 />
:<math>
\ln (z) = 2\cdot\operatorname{artanh}\,\frac{z-1}{z+1} = 2 \left ( \frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3 + \frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots \right ),
</math>
Esta fórmula vale para qualquer valor real ''z'' > 0. Utilizando a [[Somatório|notação sigma]], ela também pode ser escrita de outro modo:<ref>{{citar livro|título=Dicionário de matemática|url=http://books.google.com.br/books?id=PQqFAR6c3awC&pg=PA121&dq=Logaritmo&hl=pt-BR&sa=X&ei=6eF-VN2wM4uhgwTSw4CIBw&redir_esc=y#v=onepage&q=Logaritmo&f=false|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=121|autor=Joshuah de Bragança Soares|páginas=285|local=|editora=Hemus|isbn=9788528905526|ano=2005|datali=dezembro de 2015}}{{Ligação inativa}}</ref>
:<math>\ln (z) = 2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2n+1}.</math>

Tal série pode ser derivada a partir da [[série de Taylor]]. Ela converge mais rapidamente que a série de Taylor, especialmente se ''z'' está próximo de 1.<ref>{{citar web|url=http://www.sidalc.net/cgi-bin/wxis.exe/?IsisScript=SCBR.xis&method=post&formato=2&cantidad=1&expresion=mfn=004091|título=Erosividade da chuva: sua distribuição e relação com as perdas de solo em Campinas (SP).|obra=Scientific Electronic Library Online.|autor=Francisco Lombardi Neto|acessodata=3 de dezembro de 2014|publicado=Sidalc}}</ref> Por exemplo, para {{nowrap begin}}''z'' = 1,5{{nowrap end}}, os três primeiros termos da segunda série aproximam ln(1,5) com um erro de cerca de {{val|3|e=-6}}. A rápida convergência de ''z'' próximo a 1 pode ser aproveitada da seguinte maneira: dada uma aproximação com baixa precisão {{nowrap|''y'' ≈ ln(''z'')}} e colocando <math>A = \frac z{\exp(y)}, \,</math>, o logaritmo de ''z'' é:<ref>{{citar web|url=http://www.acheiox.com.br/wp-content/uploads/2011/09/Maxima_apresentacao.pdf|título=Máxima: um completo programa de computação algébrica|acessodata=3 de dezembro de 2014|publicado=[[Universidade Federal do Paraíba]]|autor=Lenimar Nunes de Andrade|data=Setembro de 2011|arquivourl=https://web.archive.org/web/20150417233037/http://www.acheiox.com.br/wp-content/uploads/2011/09/Maxima_apresentacao.pdf|arquivodata=2015-04-17|urlmorta=yes}}</ref>
<math>\ln (z)=y+\ln (A). \,</math>

Quanto melhor a aproximação inicial ''y'', mais próximo ''A'' será de 1, de modo que seu logaritmo pode ser calculado de maneira mais eficiente. ''A'' pode ser calculado utilizando a [[função exponencial|série exponencial]], que converge rapidamente, desde que ''y'' não seja muito grande.<ref>{{citar livro|título=Basic: introducción a la programación|url=http://books.google.com/books?id=fIcdeBf3g-wC&pg=PA58&dq=Logaritmo&hl=pt-BR&sa=X&ei=6eF-VN2wM4uhgwTSw4CIBw&ved=0CEkQ6AEwBjiWAQ|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=58|autor=|páginas=271|local=|editora=Reverte|isbn=9788471462473|ano=1984}}</ref> Para se calcular o logaritmo de um valores maiores de ''z'', pode-se reduzir seu valor, escrevendo {{nowrap|''z'' {{=}} ''a'' · 10<sup>''b''</sup>}}, de modo que {{nowrap|ln(''z'') {{=}} ln(''a'') + ''b'' · ln(10)}}.<ref>{{citar web|url=http://web.face.ufmg.br/cedeplar/site/diamantina2000/2000/FONTES.pdf|título=Clubes de convergência entre os municípios de Minas Gerais|acessodata=3 de dezembro de 2014|publicado=[[Universidade Federal de Minas Gerais]]|autor=Luiz Fernando Alves|datali=dezembro de 2015}}{{Ligação inativa|data=julho de 2019}}</ref>

Um método intimamente relacionado pode ser usado para calcular o logaritmo de números inteiros. A partir da série acima, conclui-se que:<ref>{{citar web|url=http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S1413-80502010000100004&script=sci_arttext&tlng=es|título=Eficiência do setor hospitalar nos municípios paulistas|autor=Igor Viveiros Souza|acessodata=3 de dezembro de 2014|publicado=Scielo}}</ref>
:<math>\ln (n+1) = \ln(n) + 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{1}{2 n+1}\right)^{2k+1}.</math>
Se o logaritmo de um inteiro ''n'' com valor alto é conhecido, então esta série produz uma série de rápida convergência para log(''n''+1).<ref>{{citar livro|título=Circuitos e dispositivos eletrônicos|url=http://books.google.com.br/books?id=9P25ni4LaX4C&pg=SA14-PA98&dq=Logaritmo&hl=pt-BR&sa=X&ei=6eF-VN2wM4uhgwTSw4CIBw&redir_esc=y#v=onepage&q=Logaritmo&f=false|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=14|autor=|páginas=98|local=|editora=Hemus|isbn=9788528900118|ano=|datali=dezembro de 2015}}{{Ligação inativa}}</ref>

=== Média aritmética-geométrica ===

A [[média aritmética-geométrica]] produz aproximações de alta precisão do [[logaritmo natural]]. ln(''x'') é aproximada com uma precisão de 2<sup>−''p''</sup> pela seguinte fórmula criada por [[Carl Friedrich Gauss]]:<ref>{{Citation |primeiro1 =T. |último1 =Sasaki |primeiro2 =Y. |último2 =Kanada |título=Practically fast multiple-precision evaluation of log(x) |periódico=Journal of Information Processing |volume=5|número=4 |páginas=247–250 |ano=1982 | url=http://ci.nii.ac.jp/naid/110002673332 |acessodata=30 de março de 2011}}</ref><ref>{{Citation |primeiro1 =Timm |último1 =Ahrendt|título=Fast computations of the exponential function|publicado=Springer|local=Berlim, Nova Iorque|series=Lecture notes in computer science|doi=10.1007/3-540-49116-3_28|volume=1564|ano=1999|páginas=302–312}}</ref>
:<math>\ln (x) \approx \frac{\pi}{2 M(1,2^{2-m}/x)} - m \ln (2).</math>

Nessa equação, ''M(x,y)'' representa a média aritmética-geométrica de ''x'' e ''y''. Ela é obtida calculando-se repetidamente ''(x+y)/2''  ([[média aritmética]]) e ''sqrt{(x*y)}'' ([[média geométrica]]), e depois fazendo com esses resultados sejam os próximos ''x'' e ''y''. Esses números convergem rapidamente para um limite comum que é o valor de ''M(x,y)''.  O valor de ''m'' é escolhido de tal modo que<ref>{{citar livro|título=Astros e Ostras|url=http://books.google.com.br/books?id=V-cJSYHLdUYC&pg=PA313&dq=Logaritmo&hl=pt-BR&sa=X&ei=QO5-VMvdMsijgwSF_4NY&redir_esc=y#v=onepage&q=Logaritmo&f=false|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=313|autor=Domingos Junqueira de Brito|páginas=368|local=|editora=Editora Agora|isbn=9788571835399|ano=}}</ref>
:<math>x \,2^m > 2^{p/2}.\, </math>

para garantir a precisão requerida. Um ''m'' maior faz com que o cálculo de ''M(x,y)'' requeira mais passos (os valores iniciais de ''x'' e ''y'' estão mais afastados, logo são necessários mais passos para convergir), mas dá maior precisão. As constantes π e ln(2) podem ser calculadas com séries de rápida convergência.<ref>{{citar web|url=http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1307|título=Curso de Logaritmo para o Ensino Médio com proposta de atividades alternativas|acessodata=3 de dezembro de 2014|publicado=Matemática em Rede Nacional|autor=Ulisses dos Santos Borges|arquivourl=https://web.archive.org/web/20150518075538/http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1307|arquivodata=2015-05-18|urlmorta=yes}}</ref>

== Aplicações ==

[[Imagem:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|thumb|Um [[Nautilidae|nautilus]] apresenta uma espiral logaritmica.|alt=A photograph of a nautilus' shell.]]

Os logaritmos têm muitas aplicações dentro e fora da matemática. Algumas destas utilizações são relacionadas à noção de [[invariância de escala]]. Por exemplo, cada câmara da casca de um ''[[Nautilidae]]'' é uma cópia aproximada da seguinte, numa escala com um fator constante, dando origem à formação de uma [[espiral logarítmica]].<ref name=apl>{{citar web|url=http://conferencias.ifg.edu.br/index.php/seminarioict/SICT/paper/downloadSuppFile/570/271|título=As aplicações dos logaritmos nas ciências naturais por meio de resolução de problemas|acessodata=3 de dezembro de 2014|publicado=[[Instituto Federal de Goiás]]}}</ref>

A lei de Benford que mostra a frequência da distribuição dos dígitos em fontes de dados também pode ser explicada pela invariância de escala.<ref name=escala>{{citar web|url=http://mtm.ufsc.br/~pet/enapetmat/poster.html|título=Bolzano e Laplace; O Teorema Fundamental das Curvas Planas e Aplicações|publicado=[[Universidade Federal de Santa Catarina]] e [[Universidade de Brasília]]|obra=VI Enapetmat|acessodata=3 de dezembro de 2014}}</ref> Os logaritmos também estão vinculados à [[autossimilaridade]]. Por exemplo, aparecem na análise dos algoritmos que resolvem um problema por meio de sua divisão em dois problemas similares menores e, em seguida, a união de suas soluções.<ref>{{Citation |último1 =Ricciardi |primeiro1 =Luigi M. |título=Lectures in applied mathematics and informatics | url=http://books.google.de/books?id=Cw4NAQAAIAAJ |publicado=Manchester University Press |local=Manchester | isbn=978-0-7190-2671-3 |ano=1990}}, p. 21, seção 1.3.2</ref> As dimensões de formas geométricas autossimilares, isto é, figuras cujas partes se assemelham ao todo, também são baseadas em logaritmos. As escalas logarítmicas são convenientes para quantificar a variação relativa de um valor em oposição à sua diferença absoluta. Além disso, como a função logarítmica log(''x'') cresce bem lentamente para grandes valores de ''x'', as escalas logarítmicas são usadas para compactar dados científicos em larga escala. Também são encontrados em muitas fórmulas científicas, tais como a [[equação de foguete de Tsiolkovsky]], a [[equação de Fenske]] ou a [[equação de Nernst]].<ref>{{citar livro|título=O programa Prana|url=http://books.google.com.br/books?id=cG7rOYkEl8QC&pg=PA63&dq=Logaritmo&hl=pt-BR&sa=X&ei=QO5-VMvdMsijgwSF_4NY&redir_esc=y#v=onepage&q=Logaritmo&f=false|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=63|autor=Jasmuheen|páginas=154|local=|editora=Lulu.com|isbn=9781409205258|ano=2008}}</ref>

=== Escalas logarítmicas ===
{{Artigo principal|Escala logarítmica}}
[[File:Germany Hyperinflation.svg|lang=pt|thumb|Este gráfico logarítmico descreve o valor do [[marco de ouro alemão]] em [[Papiermark]] durante a [[hiperinflação na República de Weimar]].]]
Quantidades científicas são muitas vezes expressas como logaritmos de outras quantidades, usando a [[escala logarítmica]]. Por exemplo, o [[decibel]] é uma [[unidade de medida]] associada a um nível de escala logarítmica. Baseia-se em uma [[razão (matemática)|razão]] de um [[logaritmo comum]] — 10 vezes o logaritmo comum de uma razão de potência ou 20 vezes o logaritmo comum de uma razão de tensão. Ele é utilizado para quantificar a perda de níveis de tensão em uma transmissão de sinais elétricos,<ref>{{Citation|último1=Bakshi|primeiro1=U. A.|título=Telecommunication Engineering|publicado=Technical Publications|local=Pune|isbn=978-81-8431-725-1|ano=2009|url=http://books.google.com/books?id=EV4AF0XJO9wC&pg=SA5-PA1#v=onepage&f=false}}{{Ligação inativa}}, seção 5.2</ref> para descrever níveis de potência de sons em [[acústica]]<ref>{{Citation|último1 =Maling|primeiro1 =George C.|editor-sobrenome1 =Rossing|editor-nome1 =Thomas D.|título=Springer handbook of acoustics|publicado=[[Springer-Verlag]]|local=Berlim, Nova Iorque|isbn=978-0-387-30446-5|ano=2007|capítulo=Noise}}, seção 23.0.2</ref> e a [[absorbância]] de luz no campo da [[espectrômetro|espectrometria]] e [[óptica]]. A [[relação sinal-ruído]] que descreve a quantidade de [[ruído (comunicação)|ruído]] indesejado em relação a um [[sinal (teoria da informação)|sinal]] significativo também é medida em decibéis.<ref>{{Citation |último1 =Tashev |primeiro1 =Ivan Jelev |título=Sound Capture and Processing: Practical Approaches |publicado=[[John Wiley & Sons]] |local=Nova Iorque | isbn=978-0-470-31983-3 |ano=2009|url=http://books.google.com/books?id=plll9smnbOIC&pg=PA48#v=onepage&f=false}}, p. 48</ref> De forma similar, a [[relação sinal-ruído de pico]] é vulgarmente usada para avaliar a qualidade de som e métodos de [[compressão de imagens]] com base em logaritmos.<ref>{{Citation |último1 =Chui |primeiro1 =C.K. |título=Wavelets: a mathematical tool for signal processing |publicado=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]] |local=Philadelphia | series=SIAM monographs on mathematical modeling and computation | isbn=978-0-89871-384-8 |ano=1997|url=http://books.google.com/books?id=N06Gu433PawC&pg=PA180#v=onepage&f=false}}, p. 180</ref>

A força de um terremoto é medida por um cálculo envolvendo o logaritmo comum da energia emitida pelo sismo; esse processo é feito pela [[escala Richter]] ou pela [[escala de magnitude de momento]]. Por exemplo, um terremoto de magnitude 5,0 gera 32 vezes (10<sup>1.5</sup>) mais energia do que a produzida por um terremoto de magnitude 4,0, e um de 6,0 produz energia {{Fmtn|1000}} vezes maior (10<sup>3</sup>) do que o de magnitude 4,0.<ref>{{Citation|último1 =Crauder|primeiro1 =Bruce|último2 =Evans|primeiro2 =Benny|último3 =Noell|primeiro3 =Alan|título=Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra|publicado=Cengage Learning|local=Boston|edição=4°|isbn=978-0-547-15669-9|ano=2008}}, seção 4.4.</ref> Outra escala logarítmica é a de [[magnitude aparente]], que mede a luminosidade de um [[corpo celeste]] a partir da razão entre o seu brilho e o de uma estrela de referência.<ref>{{Citation|último1 =Bradt|primeiro1 =Hale|título=Astronomy methods: a physical approach to astronomical observations|publicado=[[Cambridge University Press]]|series=Cambridge Planetary Science|isbn=978-0-521-53551-9|ano=2004}}, seção 8.3, página 231</ref> Outro exemplo é o [[Potencial hidrogeniônico|pH]] na química: ele é definido como o logaritmo comum negativo da concentração de íons de [[hidrônio]] (H<sub>3</sub>O<sup>+</sup>) dissociados em solução aquosa. A atividade de íons de hidrônio em água neutra é 10<sup>−7</sup>&nbsp; [[Molaridade|mol·L<sup>−1</sup>]], logo um pH de 7. O vinagre tipicamente tem um pH de aproximadamente 3. A diferença de 4 corresponde a uma razão de 10<sup>4</sup> na atividade, isto é, a atividade do íon de hidrônio do vinagre é cerca de 10<sup>−3</sup>&nbsp;mol·L<sup>−1</sup>.

Os [[Gráfico semi-log|gráficos semi-log]], também chamados de papeis gráficos especiais, utilizam o conceito de escala logarítmica para visualização: um eixo, geralmente o das ordenadas, está em escala logarítmica. Por exemplo, o gráfico à direita comprime o aumento acentuado de 1 milhão a 1 trilhão no mesmo espaço (no eixo vertical) que o aumento de 1 a 1 milhão. Nesses gráficos, a [[função exponencial]] da forma {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''a'' · ''b''<sup>''x''</sup>{{nowrap end}} aparece com uma linha reta de [[declive]] igual ao logaritmo de ''b''. Os [[gráfico log-log|gráficos log-log]], também chamados de papel gráfico di-log pelo [[Instituto Tecnológico de Aeronáutica]],<ref>{{citar web|url=http://www.fis.ita.br/labfis32/grafic/textos_graf/grafic_texto3.htm|título=Papel logarítmico: este tipo de papel é utilizado para representar relações funcionais exponenciais entre duas grandezas|publicado=[[Instituto Tecnológico de Aeronáutica]]|acessodata=24 de novembro de 2014|datali=dezembro de 2015|arquivourl=https://web.archive.org/web/20141210070023/http://www.fis.ita.br/labfis32/grafic/textos_graf/grafic_texto3.htm#|arquivodata=10 de dezembro de 2014}}</ref> são aqueles em que ambos os eixos estão representados pela escala logarítmica, fazendo com que a forma {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''a'' · ''x''<sup>''k''</sup>{{nowrap end}} seja descrita como uma linha reta de declive igual ao expoente ''k''. Isto se aplica na visualização e análise das [[Lei de potência|leis de potência]].<ref name=escala/>

=== Psicologia ===

Os logaritmos estão incluídos em diversas leis que descrevem a [[percepção|percepção humana]].<ref>{{Citation |último1 =Goldstein |primeiro1 =E. Bruce |título=Encyclopedia of Perception | url=http://books.google.de/books?id=Y4TOEN4f5ZMC |publicado=Sage |local=Thousand Oaks, CA | series=Encyclopedia of Perception | isbn=978-1-4129-4081-8 |ano=2009}}, p. 355–356</ref><ref>{{Citation |último1 =Matthews |primeiro1 =Gerald |título=Human performance: cognition, stress, and individual differences | url=http://books.google.de/books?id=0XrpulSM1HUC |publicado=Psychology Press |local=Hove | series=Human Performance: Cognition, Stress, and Individual Differences | isbn=978-0-415-04406-6 |ano=2000}}, p. 48</ref> A [[lei de Hick]] propõe uma relação logarítmica entre o tempo para os indivíduos escolherem uma alternativa e o número de opções que eles possuem para decidir.<ref>{{Citation|último1 =Welford|primeiro1 =A. T.|título=Fundamentals of skill|publicado=Methuen|local=Londres|isbn=978-0-416-03000-6 |oclc=219156|ano=1968}}, p. 61</ref> A [[lei de Fitts]], por outro lado, prevê que o tempo necessário para mover-se rapidamente de uma posição inicial até uma zona de destino final é uma função logarítmica da distância e da área do destino.<ref>{{Citation|autor =Paul M. Fitts|data=Junho de 1954|título=The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement|periódico=Journal of Experimental Psychology|volume=47|número=6|páginas=381–391 | pmid=13174710 | doi =10.1037/h0055392 }}, reimpresso por {{Citation|periódico=Journal of Experimental Psychology: General|volume=121|número=3|páginas=262–269|ano=1992 | pmid=1402698 | url=http://sing.stanford.edu/cs303-sp10/papers/1954-Fitts.pdf |formato=PDF |acessodata=30 de março de 2011 |título=The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement|autor =Paul M. Fitts|doi=10.1037/0096-3445.121.3.262}}</ref> Na [[psicofísica]], a [[lei de Weber-Fechner]] propõe uma relação logarítmica entre [[estímulo (psicologia)|estímulo]] e [[sensação]], tal como o peso real e o percebido de um item que uma pessoa está carregando.<ref>{{Citation |último1 =Banerjee |primeiro1 =J. C. |título=Encyclopaedic dictionary of psychological terms |publicado=M.D. Publications |local=New Delhi | isbn=978-81-85880-28-0  | oclc=33860167 |ano=1994|url=http://books.google.com/?id=Pwl5U2q5hfcC&pg=PA306&dq=weber+fechner+law#v=onepage&q=weber%20fechner%20law&f=false}}, p. 304</ref> Esta lei, entretanto, é menos precisa do que modelos mais recentes, tal como a [[lei potencial de Stevens]].<ref>{{Citation|último1 =Nadel|primeiro1 =Lynn|autorlink1 =Lynn Nadel|título=Encyclopedia of cognitive science|publicado=[[John Wiley & Sons]]|local=Nova Iorque|isbn=978-0-470-01619-0|ano=2005}}</ref>

Estudos psicológicos concluíram que indivíduos com baixa aprendizagem em matemática tendem a estimar valores e resultados de maneira logarítmica, isto é, eles posicionam um número em uma linha imaginária de acordo com o seu logaritmo, de modo que 10 é posicionado tão próximo de 100 quanto 100 de {{Fmtn|1000}}. Com o aumento do ensino, essa estimativa se torna mais linear em algumas circunstâncias (posicionando {{Fmtn|1000}} dez vezes mais distante), enquanto os logaritmos são usados quando os números a serem posicionados são difíceis de serem plotados linearmente.<ref>{{Citation|doi=10.1111/1467-9280.02438|último1=Siegler|primeiro1=Robert S.|último2=Opfer|primeiro2=John E.|título=The Development of Numerical Estimation. Evidence for Multiple Representations of Numerical Quantity|volume=14|número=3|páginas=237–43|ano=2003|periódico=Psychological Science|url=http://www.psy.cmu.edu/~siegler/sieglerbooth-cd04.pdf|pmid=12741747|acessodata=2014-12-02|arquivourl=https://web.archive.org/web/20110517002232/http://www.psy.cmu.edu/~siegler/sieglerbooth-cd04.pdf|arquivodata=2011-05-17}}</ref><ref>{{Citation|último1 =Dehaene|primeiro1 =Stanislas|último2 =Izard|primeiro2 =Véronique |último3 =Spelke|primeiro3 =Elizabeth|último4 =Pica|primeiro4 =Pierre|título=Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures|volume=320|número=5880|páginas=1217–1220|doi=10.1126/science.1156540|pmc=2610411|pmid=18511690|ano=2008|periódico=Science|postscript=<!--None-->}}</ref>

=== Teoria da probabilidade e estatística ===
[[Ficheiro:Lognormal distribution PDF.png|thumb|Três [[Função densidade de probabilidade|funções densidade de probabilidade]] (PDF) de variáveis randômicas com distribuição log-normal. O parâmetro µ, que é zero nos três PDF mostrados, é a média dos logaritmos da variável randômica, e não a média da própria variável.]]

Os logaritmos surgem na [[teoria das probabilidades]]: a [[lei dos grandes números]] indica que, para uma [[moeda honesta]], quando o número de lançamentos da moeda tende para infinito, a proporção observada de [[cara ou coroa|caras]] se [[distribuição binomial|aproxima da metade]]. As oscilações dessa proporção em torno da metade são descritas pela [[lei do logaritmo iterado]].<ref>{{Citation |último1 =Breiman |primeiro1 =Leo |título=Probability |publicado=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]] |local=Philadelphia | series=Classics in applied mathematics | isbn=978-0-89871-296-4 |ano=1992}}, seção 12.9</ref>

[[Imagem:Benfords law illustrated by world's countries population.png|Distribuição dos primeiros dígitos das populações dos 237 países do mundo. Os pontos pretos indicam a distribuição prevista pela lei de Benford.|thumb|right|alt=A bar chart and a superimposed second chart. The two differ slightly, but both decrease in a similar fashion.]]

Os logaritmos também ocorrem na [[distribuição log-normal]]: quando o logaritmo de uma [[variável aleatória]] tem uma [[distribuição normal]], diz-se que a variável tem uma distribuição log-normal.<ref>{{Citation|último1 =Aitchison|primeiro1 =J.|último2 =Brown|primeiro2 =J. A. C.|título=The lognormal distribution|publicado=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-04011-2 |oclc=301100935|ano=1969}}</ref> As distribuições log-normais são encontradas em muitos campos, sempre que uma variável seja formada pelo produto de muitas variáveis aleatórias positivas e independentes, por exemplo, no estudo da [[turbulência]].<ref>{{Citation |título= An introduction to turbulent flow |autor1 = Jean Mathieu|autor2= Julian Scott |publicado= Cambridge University Press |ano= 2000 | isbn = 978-0-521-77538-0 |página= 50 | url = http://books.google.com/books?id=nVA53NEAx64C&pg=PA50 }}</ref>

Os logaritmos são usados para a estimativa de [[Máxima verossimilhança|máxima probabilidade]] de [[modelo estatístico|modelos estatísticos]] paramétricos: para determinado modelo, a [[Função de verossimilhança|função de probabilidade]] depende de pelo menos um parâmetro que deve ser estimado. O valor máximo da função de probabilidade ocorre para o mesmo valor do parâmetro em que é máximo o logaritmo das probabilidades (o ''log-probabilidade ''), porque o logaritmo é uma função crescente. O log-probabilidade é mais fácil para maximizar, especialmente para a multiplicação das probabilidades de variáveis aleatórias [[Independência (estatística)|independentes]].<ref>{{Citation|último1 =Rose|primeiro1 =Colin|último2 =Smith|primeiro2 =Murray D.|título=Mathematical statistics with Mathematica|publicado=[[Springer-Verlag]]|local=Berlim, Nova Iorque|series=Springer texts in statistics|isbn=978-0-387-95234-5|ano=2002}}, seção 11.3</ref>

A [[lei de Benford]] descreve a ocorrência de dígitos em muitos [[Conjunto de dados|conjuntos de dados]], tal como as alturas de edifícios. De acordo com essa lei, a probabilidade de que o primeiro dígito decimal  seja ''d'' (de 1 a 9) é igual a log<sub>10</sub>(''d'' + 1) − log<sub>10</sub>(''d''), independentemente da unidade de medida.<ref>{{Citation|último1 =Tabachnikov|primeiro1 =Serge|título=Geometry and Billiards|publicado=[[American Mathematical Society]]|local=Providence, R.I.|isbn=978-0-8218-3919-5|ano=2005|páginas=36–40}}, seção 2.1</ref> Então, cerca de 30% dos dados podem ter 1 como o primeiro dígito, 18% de ser 2, e assim por diante.<ref>{{Citation|título=The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data|primeiro1=Cindy|último1=Durtschi|primeiro2=William|último2=Hillison|primeiro3=Carl|último3=Pacini|url=http://www.auditnet.org/articles/JFA-V-1-17-34.pdf|volume=V|páginas=17–34|ano=2004|periódico=Journal of Forensic Accounting|datali=dezembro de 2015|acessodata=2014-12-02|arquivourl=https://web.archive.org/web/20120415041955/http://www.auditnet.org/articles/JFA-V-1-17-34.pdf|arquivodata=2012-04-15}}</ref> Auditores examinam desvios em relação à lei de Benford para detectar fraudes contábeis.

=== Complexidade computacional ===

A [[análise de algoritmos]] é um ramo da [[ciência da computação]] que estuda o desempenho dos [[algoritmo]]s (programas de computador que resolvem um determinado problema). Os logaritmos são valiosos para descrever algoritmos que dividem um problema em partes menores e juntam as soluções dos subproblemas.<ref>{{Citation|último1 =Harel|primeiro1 =David|último2 =Feldman|primeiro2 =Yishai A.|título=Algorithmics: the spirit of computing|local=Nova Iorque|publicado=[[Addison-Wesley]]|isbn=978-0-321-11784-7|ano=2004}}, p. 143</ref>

Por exemplo, para encontrar um número em uma lista ordenada, a [[pesquisa binária]] verifica a entrada do meio e trabalha com a metade antes ou depois da entrada do meio, se o número ainda não foi encontrado. Este algoritmo exige, em média, log<sub>2</sub>(''N'') comparações, onde ''N'' é o tamanho da lista. Similarmente, a ordenação por mistura (''[[merge sort]]'') classifica uma lista dividindo-a em duas metades e a classifica antes de ordenar os resultados. Esses algoritmos normalmente requerem um tempo [[Grande-O|aproximadamente proporcional a]] {{nowrap|''N'' · log(''N'')}}.<ref>{{Harvard citations|last = Knuth  | first = Donald|year=1998|loc=seção 5.2.4, pp. 158–168|nb=yes}}</ref> A base desse logaritmo não é especificada, porque o resultado somente é alterado por um fator constante quando se utiliza uma outra base. Um fator constante é usualmente desconsiderado na análise de algoritmos sob o [[análise de algoritmos|modelo de custo uniforme]] padrão.<ref name=Wegener20>{{Citation|último1 =Wegener|primeiro1 =Ingo|título=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publicado=[[Springer-Verlag]]|local=Berlim, Nova Iorque|isbn=978-3-540-21045-0|ano=2005|página=20}}</ref>

Diz-se que uma função ''f''(''x'') cresce de modo logarítmico se ''f''(''x'') é (exatamente ou aproximadamente) proporcional ao logaritmo de ''x'' (entretanto, descrições biológicas do crescimento de organismos usam este termo para uma função exponencial).<ref>{{Citation |último1 =Mohr|primeiro1 =Hans|último2 =Schopfer|primeiro2 =Peter|título=Plant physiology|publicado=Springer-Verlag|local=Berlin, New York|isbn=978-3-540-58016-4|ano=1995}}, chapter 19, p. 298</ref> Por exemplo, qualquer número natural ''N'' pode ser representado no [[sistema de numeração binário]] com não mais do que {{nowrap|log<sub>2</sub>(''N'') + 1}} [[bit]]s. Em outras palavras, a quantidade de [[memória (computador)|memória]] para armazenar ''N'' cresce de modo logarítmico com ''N''.

=== Entropia e caos ===
[[Imagem:Chaotic Bunimovich stadium.png|right|thumb|Bolas em uma mesa de bilhar oval. Duas partículas, saindo do centro com um ângulo que difere em um grau, seguem caminhos que divergem caoticamente por causa das reflexões nas bordas.]]
A [[entropia]] é uma medida da desordem de algum sistema. Na [[Mecânica estatística|termodinâmica estatística]], a entropia ''S'' de um sistema físico é definida como:<ref>{{citar web|url=http://www.lematec.net/CDS/ENEM10/artigos/EX/T16_EX2025.pdf|título=A importância do logaritmo para a sociedade|acessodata=3 de dezembro de 2014|publicado=[[Universidade Estadual da Bahia]]|autor=Eloi da Silva Pereira|obra=Encontro Nacional de Educação Matemática.|arquivourl=https://web.archive.org/web/20150518074635/http://www.lematec.net/CDS/ENEM10/artigos/EX/T16_EX2025.pdf|arquivodata=2015-05-18|urlmorta=yes}}</ref>
:<math> S = - k \sum_i p_i \ln(p_i).\, </math>

O somatório é sobre todos os possíveis estados ''i'' do sistema em questão, tais como as posições das partículas de gás em um recipiente. Além disso, ''p''<sub>''i''</sub> é a probabilidade de que o estado ''i'' seja atingido e ''k'' é a [[constante de Boltzmann]]. Similarmente, a [[entropia da informação]] mede a quantidade de informação: se um destinatário de mensagem pode esperar qualquer uma das possíveis mensagens com probabilidades iguais, então a informação transportada por qualquer mensagem é quantificada por log<sub>2</sub>(''N'') bits.<ref>{{Citation|último1 =Eco|primeiro1 =Umberto|autorlink1 =Umberto Eco|título=The open work  |publicado=[[Harvard University Press]]|isbn=978-0-674-63976-8|ano=1989}}, seção III.I</ref>

O [[expoente de Lyapunov]] usa o logaritmo para aferir o grau de caotização de um [[sistema dinâmico]]. Por exemplo, para partículas movendo-se sobre uma mesa de bilhar oval, até mesmo pequenas mudanças nas condições iniciais resultam em caminhos muito diferentes da partícula. Tais sistemas são caóticos de maneira determinística, porque erros pequenos nas medições do estado inicial previsivelmente conduzem para estados finais muito diferentes.<ref>{{Citation |último1 =Sprott |primeiro1 =Julien Clinton |título=Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows | url=http://books.google.com/books?id=buILBDre9S4C |publicado=[[World Scientific]] |local=Nova Jersei|isbn=978-981-283-881-0|ano=2010}}, seção 1.9</ref> Pelo menos um expoente de Lyapunov deterministicamente caótico é positivo.

===Fractais===
[[Imagem:Sierpinski dimension.svg|O triângulo de Sierpinski (na direita) é construído pelo substituição contínua dos [[triângulo equilátero|triângulos equiláteros]] por três triângulos menores.|right|thumb|400px|alt=Parts of a triangle are removed in an iterated way.]]

Os logaritmos são aplicados nas definições das dimensões dos fractais.<ref>{{Citation|último1 =Helmberg|primeiro1 =Gilbert|título=Getting acquainted with fractals|publicado=Walter de Gruyter|series=De Gruyter Textbook|local=Berlim, Nova Iorque|isbn=978-3-11-019092-2|ano=2007}}</ref> Fractais são objetos geométricos que são autossimilares: pequenas partes repetem, pelo menos aproximadamente, toda a estrutura global. O [[triângulo de Sierpinski]] (imagem) pode ser construído com três cópias dele mesmo, cada pedaço tendo metade da dimensão original. Isto faz com que a [[dimensão de Hausdorff]] desta estrutura seja {{nowrap begin}}log(3)/log(2) ≈ 1,58{{nowrap end}}. Outra noção de dimensão baseada nos logaritmos é obtida pela contagem do número de caixas (Dimensão de Minkowski–Bouligand) necessário para cobrir o fractal em questão.<ref>{{citar web|url=http://www.pucgoias.edu.br/ucg/prograd/graduacao/ArquivosUpload/43/file/2012-1/Aula10_Constru%C3%A7%C3%A3o%20de%20Gr%C3%A1ficos%20III%20-%20Papel%20Logar%C3%ADtmico%20dilog_2012.pdf|título=Aula 10 — UCG|acessodata=3 de dezembro de 2014|publicado=[[Pontifícia Universidade Católica de Goiás]]|data=Janeiro de 2012|datali=dezembro de 2015|arquivourl=https://web.archive.org/web/20150417235042/http://www.pucgoias.edu.br/ucg/prograd/graduacao/ArquivosUpload/43/file/2012-1/Aula10_Constru%C3%A7%C3%A3o%20de%20Gr%C3%A1ficos%20III%20-%20Papel%20Logar%C3%ADtmico%20dilog_2012.pdf|arquivodata=2015-04-17}}</ref>

===Música===
{{Imagem múltipla
| direction = vertical
| width     = 350
| footer    = Quatro oitavas diferentes apresentadas em uma escala linear, e em seguida em uma escala logarítmica (como são ouvidas).
| image1    = 4Octaves.and.Frequencies.svg
| alt1      = Four different octaves shown on a linear scale.
| image2    = 4Octaves.and.Frequencies.Ears.svg
| alt2      = Four different octaves shown on a logarithmic scale.
}}

Os logaritmos estão relacionados aos tons e [[intervalo (música)|intervalos]] musicais. Em [[temperamento igual]], a razão das [[frequência]]s depende exclusivamente do intervalo entre dois tons, e não da frequência específica (ou [[altura (música)|altura]]) dos tons individuais. Por exemplo, a nota musical [[Lá]] tem uma frequência de 440 [[Hertz|Hz]] e o [[Si bemol]] tem uma frequência de 466&nbsp;Hz. O intervalo entre o ''Lá'' e o ''Si bemol'' é um [[semitom]], assim como aquele entre o ''Si bemol'' e o [[Si (nota)|Si]] (frequência de 493&nbsp;Hz).<ref>{{citar web|url=http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/55/55136/tde-09062014-095044/en.php|título=A função logaritmo e a régua de cálculo|autor=Ladeira, Luiz Augusto da Costa|obra=Digital Library.|acessodata=3 de dezembro de 2014|publicado=[[Universidade de São Paulo]]}}</ref>

Da mesma forma, a razão entre as frequências coincide:<ref>{{citar livro|título=Álgebra y trigonometría|url=http://books.google.com.br/books?id=E8xenT0ArwEC&dq=Logaritmo&hl=pt-BR&source=gbs_navlinks_s|acessodata=3 de dezembro de 2014|página=24|autor=G M. Bruño|local=|editora=[[Oxford University Press]]|isbn=|ano=1825}}</ref>

:<math>\frac{466}{440} \approx \frac{493}{466} \approx 1.059 \approx \sqrt[12]2.</math>
Portanto, os logaritmos podem ser utilizados para descrever os intervalos: um intervalo é medido em semitons tomando-se o logaritmo na {{nowrap|base-2<sup>1/12</sup>}} da razão das frequências, enquanto o logaritmo na {{nowrap|base-2<sup>1/1200</sup>}} da razão de frequências expressa o intervalo em [[cent (música)|cents]], centésimo de um semitom. Este último é utilizado para codificação fina, como é necessário em temperamentos desiguais.<ref>{{Citation|último1 =Wright|primeiro1 =David|título=Mathematics and music|local=Providence, RI|publicado=AMS Bookstore|isbn=978-0-8218-4873-9|ano=2009}}, capítulo 5</ref>

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
||'''Intervalo'''<br>(os dois tons são ouvidos ao mesmo tempo)
||''Tom 72'' {{audio|1_step_in_72-et_on_C.mid|som}}
||[[Semitom]] {{audio|help=no|Minor_second_on_C.mid|som}}
||''Terça maior exata'' {{audio|help=no|Just_major_third_on_C.mid|som}}
||[[Terça maior]] {{audio|help=no|Major_third_on_C.mid|som}}
||[[Trítono]] {{audio|help=no|Tritone_on_C.mid|som}}
||[[Oitava]] {{audio|help=no|Perfect_octave_on_C.mid|som}}
|-
|| '''Razão de frequências ''r''
||<math>2^{\frac 1 {72}} \approx 1,0097</math>
||<math>2^{\frac 1 {12}} \approx 1,0595</math>
||<math>\tfrac 5 4 = 1,25</math>
||<math>\begin{align} 2^{\frac 4 {12}} & = \sqrt[3] 2 \\ & \approx 1,2599 \end{align} </math>
||<math>\begin{align} 2^{\frac 6 {12}} & = \sqrt 2 \\ & \approx 1,4142 \end{align} </math>
|| <math> 2^{\frac {12} {12}} = 2 </math>
|-
|| '’'Número correspondente de semitons'''<br><math>\log_{\sqrt[12] 2}(r) = 12 \log_2 (r)</math>
|| <math>\tfrac 1 6 \,</math>
|| <math>1 \,</math>
||<math>\approx 3,8631 \,</math>
|| <math>4 \,</math>
|| <math>6 \,</math>
|| <math>12 \,</math>
|-
|| '''Número correspondente de cents'''<br><math>\log_{\sqrt[1200] 2}(r) = 1200 \log_2 (r)</math>
|| <math>16 \tfrac 2 3 \,</math>
|| <math>100 \,</math>
||<math>\approx 386,31 \,</math>
|| <math>400 \,</math>
|| <math>600 \,</math>
|| <math>1200 \,</math>
|}

===Teoria dos números===

Os [[logaritmo natural|logaritmos naturais]] estão estreitamente interligados com a [[função de contagem de números primos]] (2, 3, 5, 7, 11, ...), um tópico importante da [[teoria dos números]]. Para qualquer número inteiro ''x'', a quantidade de [[números primos]] menores ou iguais a x é denotada pela constante [[Função de contagem de números primos|π(''x'')]]. O [[teorema dos números primos]] afirma que o π(''x'') é dado aproximadamente por:

:<math>\frac{x}{\ln(x)},</math>
no sentido em que a razão entre π(''x'') e aquela fração aproxima-se de 1 quando ''x'' tende ao infinito.<ref>{{Citation|último1 =Bateman|primeiro1 =P. T.|último2 =Diamond|primeiro2 =Harold G.|título=Analytic number theory: an introductory course|publicado=[[World Scientific]]|local=Nova Jersei|isbn=978-981-256-080-3 |oclc=492669517|ano=2004}}, theorem 4.1</ref> Como consequência, a probabilidade de que um número aleatoriamente escolhido entre 1 e ''x'' seja primo é inversamente [[proporção|proporcional]] ao número de dígitos decimais de ''x''. Uma estimativa muito melhor de π(''x'') é dada pela função [[logaritmo integral]] Li(''x''), definida por:

:<math> \mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac1{\ln(t)} \,dt.  </math>
A [[hipótese de Riemann]], uma das mais antigas [[conjectura]]s matemáticas abertas, pode ser estabelecida em termos comparativos de π(''x'') e Li(''x'').<ref>{{Harvard citations|last1=Bateman|first1=P. T.|last2=Diamond|year=2004|nb=yes |loc=Theorem 8.15}}</ref> O [[teorema de Erdős–Kac]] descrevendo o número de [[Fator primo|fatores primos]] distintos também envolve os logaritmos naturais.

O logaritmo de''n'' [[fatorial]], {{nowrap begin}}''n''! = 1 · 2 · ... · ''n''{{nowrap end}}, é dado por:
:<math> \ln (n!) = \ln (1) + \ln (2) + \cdots + \ln (n). \,</math>

Este número pode ser utilizado para obter a [[fórmula de Stirling]], uma aproximação do número ''n''! para valores altos de ''n''.<ref>{{Citation|último1 =Slomson|primeiro1 =Alan B.|título=An introduction to combinatorics|publicado=[[CRC Press]]|local=Londres|isbn=978-0-412-35370-3|ano=1991}}, capítulo 4</ref>

==Generalizações==

===Logaritmos complexos===

[[Imagem:Complex number illustration multiple arguments.svg|thumb|right|Forma polar de {{nowrap|''z {{=}} x + iy''}}. Ambos os ângulos φ e φ' são argumentos de ''z''.|alt=An illustration of the polar form: a point is described by an arrow or equivalently by its length and angle to the ''x'' axis.]]

Os números complexos ''a'' que resolvem a equação

:<math>e^a=z</math>

são chamados de ''logaritmos complexos''. Aqui, ''z'' é um número complexo. Um número complexo é geralmente representado como {{nowrap begin}}''z = x + iy''{{nowrap end}}, onde  ''x'' e ''y'' são números reais e o ''i'' é a [[unidade imaginária]]. Um número destes pode ser visualizado como um ponto em um [[plano complexo]], como apresentado à direita.<ref>{{citar livro|url=http://books.google.com.br/books?id=c3taAAAAcAAJ&pg=PA47&dq=logarithm+application&hl=pt-BR&sa=X&ei=F56AVKfVGMGmNtCNgfgK&ved=0CCAQ6AEwAA|título=Trigonometry, Plane and Spherical|ano=1765|autor=Simpson, Thomas|editora=Biblioteca Britânica|página=47}}</ref> A [[número complexo|forma polar]] codifica um número complexo não-nulo ''z'' por seu [[valor absoluto (álgebra)|valor absoluto]], que é a distância ''r'' da [[origem (matemática)|origem]] e um ângulo entre o eixo ''x'' e a linha que passa entre a origem e ''z''. Este ângulo é chamado de [[argumento (análise complexa)|argumento]] de ''z''. O valor absoluto ''r'' de ''z'' é<ref>{{citar livro|url=http://books.google.com.br/books?id=-J5qgi2bMRwC&pg=PA166&dq=complex+logarithm&hl=pt-BR&sa=X&ei=BaCAVI_fCYOfgwT5jYTIDA&ved=0CDEQ6AEwAg#v=onepage&q=complex%20logarithm&f=false|título=A First Course in Complex Analysis with Applications|ano=2011|editora=Jones & Bartlett Publishers|autor=Dennis G. Zill|isbn=9781449657529|página=95|páginas=405}}</ref>

:<math>r=\sqrt{x^2+y^2}. \,</math>

O argumento não é exclusivamente especificado por ''z'': ambos os ângulos φ e φ' = φ + 2π são argumentos de ''z'', porque adicionarem-se 2π [[radiano]]s ou 360 graus ao ângulo φ corresponde ao "enrolamento" sobre a origem no sentido anti-horário em uma [[volta (geometria)|volta]]. O número complexo resultante é novamente ''z'', como ilustrado na figura à direita. Entretanto, exatamente um argumento φ satisfaz a condição de: {{nowrap|−π < φ}} e {{nowrap|φ ≤ π}}. Ele é chamado de ''argumento principal'', denotado Arg(''z''), com ''A'' maiúsculo<ref>{{Citation|último1 =Ganguly|local=Kolkata|primeiro1 =S.|título=Elements of Complex Analysis|publicado=Academic Publishers|isbn=978-81-87504-86-3|ano=2005}}, Definition 1.6.3</ref> (uma normalização alternativa é {{nowrap|0 ≤ Arg(''z'') < 2π}}.<ref>{{Citation|último1 =Nevanlinna|primeiro1 =Rolf Herman|autorlink1 =Rolf Nevanlinna|último2 =Paatero|primeiro2 =Veikko|título=Introduction to complex analysis|local=Providence, RI|publicado=AMS Bookstore|isbn=978-0-8218-4399-4|ano=2007}}, seção 5.9</ref>)

[[File:Complex log.jpg|thumb|O principal ramo do logaritmo complexo, Log(''z'')<ref>{{Citar web|url=http://omonitor.io/?q=funcaoholomorfa+ln(z)|titulo=Confira este exemplo e faça outros com <b>O Monitor</b>|acessodata=2016-03-25|obra=omonitor.io}}</ref>. O ponto preto de {{nowrap|''z'' {{=}} 1}} corresponde ao valor absoluto zero e as cores mais brilhantes (mais [[saturação|saturadas]]) referem-se aos valores absolutos maiores. O [[matiz (cor)|matiz]] da cor codifica o argumento de log(''z'').|alt=A density plot. In the middle there is a black point, at the negative axis the hue jumps sharply and evolves smoothly otherwise.]]

Utilizando-se as [[funções trigonométricas]] [[seno]] e [[cosseno]], ou a [[Fórmula de Euler|exponencial complexa]], respectivamente, ''r'' e φ são tais que as seguintes identidades se aplicam:<ref>{{Citation|último1 =Moore|primeiro1 =Theral Orvis|último2 =Hadlock|primeiro2 =Edwin H.|título=Complex analysis|publicado=[[World Scientific]]|local=Singapore|isbn=978-981-02-0246-0|ano=1991}}, seção 1.2</ref>

:<math>\begin{array}{lll}z& = & r \left (\cos \varphi + i \sin \varphi\right) \\
& = & r e^{i \varphi}.
\end{array} \,
</math>

Isto implica que a a-ésima potência de ''e'' é igual a ''z'', onde

:<math>a = \ln (r) + i ( \varphi + 2 n \pi ), \,</math>

φ é o argumento principal Arg(''z'') e ''n'' é um inteiro arbitrário. Qualquer ''a'' é chamado de um logaritmo complexo de ''z''. Há uma quantidade infinita deles, em contraste com os logaritmos reais, que são únicos. Se {{nowrap begin}}''n'' = 0{{nowrap end}}, ''a'' é chamado de ''valor principal'' do logaritmo, denotado Log(''z''). O argumento principal de qualquer número real positivo ''x'' é 0; logo Log(''x'') é um número real e é igual ao logaritmo real natural. Logo, as fórmulas acima dos logaritmos de produtos e potências [[exponencial|não são generalizadas]] como o valor principal de um logaritmo complexo.<ref>{{citar livro|url=http://books.google.com.br/books?id=SFqbV3i3hO0C&pg=PA49&dq=complex+logarithm&hl=pt-BR&sa=X&ei=faGAVIyzE4ShNtCKgOgN&ved=0CGUQ6AEwCA#v=onepage&q=complex%20logarithm&f=false|título=Complex Variables|ano=2003|autor=A. S. Fokas|isbn=9780521534291|editora=9780521534291|página=49|páginas=647}}</ref>

A ilustração da direita descreve o Log(''z''). A descontinuidade, isto é, o salto no matiz na parte negativa do eixo x, é causada pelo salto do argumento principal ali. Este [[lugar geométrico]] é chamado de [[ponto de ramificação]]. Este comportamento só pode ser contornado pela restrição da extensão do ângulo φ. Então o argumento de ''z'' e, consequentemente, seu logaritmo se tornam [[Função multivalorada|funções multivaloradas]].<ref>{{Citation |último1 =Wilde |primeiro1 =Ivan Francis |título=Lecture notes on complex analysis |publicado=Imperial College Press |local=Londres | isbn=978-1-86094-642-4 |ano=2006|url=http://books.google.com/?id=vrWES2W6vG0C&pg=PA97&dq=complex+logarithm#v=onepage&q=complex%20logarithm&f=false}}, theorem 6.1.</ref>

=== Inversos de outras funções exponenciais ===
A exponenciação ocorre em muitas áreas da matemática e sua função inversa é muitas vezes referida como o logaritmo. Por exemplo, o [[logaritmo de uma matriz]] é a função inversa da [[exponencial matricial]].<ref>{{Citation|último1 =Higham|primeiro1 =Nicholas|autorlink1 =Nicholas Higham|título=Functions of Matrices. Theory and Computation|local=Philadelphia, PA|publicado=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]]|isbn=978-0-89871-646-7|ano=2008}}, capítulo 11.</ref> Outro exemplo é a [[função logarítmica p-adic]], cujo inverso é a [[função exponencial p-adic]]. Ambas são definidas através da série de Taylor para o caso real.<ref>{{citation|último =Neukirch|primeiro =Jürgen|autorlink =Jürgen Neukirch|título=Algebraic Number Theory|publicado=[[Springer-Verlag]]|local=Berlim| series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften| isbn=978-3-540-65399-8| id={{MathSciNet | id = 1697859}}| zbl=0956.11021 |ano=1999| volume=322}}, seção II.5.</ref> No contexto da [[geometria diferencial]], o [[mapa exponencial]] traça o [[espaço tangente]] em um ponto de uma [[Variedade (matemática)|variável]] na [[Vizinhança (matemática)|vizinhança]] deste ponto. O seu inverso também é chamado o mapa logarítmico.<ref>{{Citation|último1 =Hancock|primeiro1 =Edwin R.|último2 =Martin|primeiro2 =Ralph R.|último3 =Sabin|primeiro3 =Malcolm A.|título=Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7–9, 2009 Proceedings|url=http://books.google.com/books?id=0cqCy9x7V_QC&pg=PA379|publicado=Springer|ano=2009|página=379|isbn=978-3-642-03595-1}}</ref>

No contexto de [[Grupo finito|grupos finitos]], a exponenciação é dada pela multiplicação repetida de um elemento ''b'' do grupo com ele mesmo. O [[logaritmo discreto]] é o inteiro ''n'' que resolve a equação ''b''<sup>''n''</sup> = ''x'', onde ''x'' é um elemento do grupo. A exponenciação pode ser realizada de forma eficiente, mas em alguns casos o logaritmo discreto é muito difícil de ser calculado. Esta assimetria tem aplicação importante na [[criptografia de chave pública]], como, por exemplo, a [[Diffie-Hellman|troca de chaves de Diffie-Hellman]], uma rotina que permite a troca de chaves [[criptografia|criptográficas]] dentro de canais de comunicação inseguros.<ref>{{Citation|último1 =Stinson|primeiro1 =Douglas Robert|título=Cryptography: Theory and Practice|publicado=[[CRC Press]]|local=Londres|edição=3ª|isbn=978-1-58488-508-5|ano=2006}}</ref> O [[logaritmo de Zech]] está relacionado com o logaritmo discreto no grupo multiplicativo de elementos diferentes de zero de um [[corpo finito]].<ref>{{Citation|último1 =Lidl|primeiro1 =Rudolf|último2 =Niederreiter|primeiro2 =Harald|título=Finite fields|publicado=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-39231-0|ano=1997}}</ref>

Outras funções inversas do tipo do logaritmo incluem o logaritmo duplo ln(ln(''x'')), o [[superlogaritmo|super ou hiper-4-logaritmo]] (uma ligeira variação do qual é o chamado [[logaritmo iterado]] na ciência da computação), a [[função W de Lambert]] e o [[logit]]. Eles são as funções inversas da [[função exponencial dupla]], da [[tetração]], de {{nowrap|''f''(''w'') {{=}} ''we<sup>w</sup>''}}<ref>{{Citation |último1 =Corless |primeiro1 =R. |último2 =Gonnet |primeiro2 =G. |último3 =Hare |primeiro3 =D. |último4 =Jeffrey |primeiro4 =D. |último5 =Knuth |primeiro5 =Donald |autorlink5 =Donald Knuth |título =On the Lambert ''W'' function |url =http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf |publicado =[[Springer-Verlag]] |local =Berlim, Nova Iorque |ano =1996 |periódico =Advances in Computational Mathematics |issn =1019-7168 |volume =5 |páginas =329–359 |doi =10.1007/BF02124750 |acessodata =2014-12-02 |arquivourl =https://web.archive.org/web/20101214110615/http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf |arquivodata=2010-12-14}}</ref> e da [[função logística]], respectivamente.<ref>{{Citation |último1 =Cherkassky |primeiro1 =Vladimir |último2 =Cherkassky |primeiro2 =Vladimir S. |último3 =Mulier |primeiro3 =Filip |título=Learning from data: concepts, theory, and methods |publicado=[[John Wiley & Sons]] |local=Nova Iorque | series=Wiley series on adaptive and learning systems for signal processing, communications, and control | isbn=978-0-471-68182-3 |ano=2007}}, p. 357</ref>

===Conceitos relacionados===
Na perspectiva da [[matemática pura]], a identidade {{nowrap|log(''cd'') {{=}} log(''c'') + log(''d'')}} expressa um grupo isomórfico entre os [[número real|números reais]] positivos sob a multiplicação e os reais sob a adição. As funções logarítmicas são os únicos isomorfismos contínuos entre estes grupos.<ref>{{Citation|último1 =Bourbaki|primeiro1 =Nicolas|autorlink1 =Nicolas Bourbaki|título=General topology. Chapters 5—10|publicado=[[Springer-Verlag]]|local=Berlim, Nova Iorque|series=Elements of Mathematics|isbn=978-3-540-64563-4|mr=1726872|ano=1998}}, seção V.4.1</ref> Por este isomorfismo, a [[medida de Haar]] ([[Medida de Lebesgue]]) ''dx'' nos números reais corresponde à medida de Haar ''dx''/''x'' nos números reais positivos.<ref>{{Citation|último1 =Ambartzumian|primeiro1 =R. V.|título=Factorization calculus and geometric probability|publicado=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-34535-4|ano=1990}}, seção 1.4</ref> Na [[análise complexa]] e na [[geometria algébrica]], as formas diferenciais da forma {{nowrap begin}}''df''/''f'' {{nowrap end}} são conhecidas como formas com [[Polo (análise complexa)|polos]] logarítmicos.<ref>{{Citation|último1 =Esnault|primeiro1 =Hélène|último2 =Viehweg|primeiro2 =Eckart|título=Lectures on vanishing theorems|local=Basel, Boston|publicado=Birkhäuser Verlag|series=DMV Seminar|isbn=978-3-7643-2822-1|mr=1193913|ano=1992|volume=20}}, seção 2</ref>

O [[função polilogarítmica|polilogaritmo]] é a função definida por:
:<math>
\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.
</math>
Ele está relacionado aos [[logaritmo natural|logaritmos naturais]] pela {{nowrap begin}}Li<sub>1</sub>(''z'') = −ln(1 − ''z''){{nowrap end}}. Além disso, Li<sub>''s''</sub>(1) é igual à [[função zeta de Riemann]] ζ(''s'').<ref>{{dlmf|id= 25.12|first= T.M.|last= Apostol|ref= harv}}</ref>

== Ver também ==
* [[Função exponencial]]

{{notas}}

{{referências}}

== Ligações externas ==
{{Correlatos
|commonscat   = Logarithm
|wikcionario  = Logaritmo
}}
* {{springerEOM|title=Logarithmic function|id=p/l060600}}
* {{Citation|autor =Colin Byfleet|url=http://mediasite.oddl.fsu.edu/mediasite/Viewer/?peid=003298f9a02f468c8351c50488d6c479|título=Educational video on logarithms|acessodata=12 de outubro de 2010}}
* {{Citation|autor=Edward Wright|url=http://johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm|título=Translation of Napier's work on logarithms|datali=dezembro de 2015|acessodata=3 de dezembro de 2014|arquivourl=https://web.archive.org/web/20070627125949/http://www.johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm#|arquivodata=27 de junho de 2007}}

{{Funções}}
{{Portal3|Matemática}}
{{artigo destacado}}

[[Categoria:Funções matemáticas]]