Lúnulas de Hipócrates

As regiões em cinza são lúnulas.

Lúnula é um termo em geometria para uma região côncava-convexa formada por dois arcos.

Bibliografia

Hipócrates de Quios (cerca de 470 – 410 a.C) foi um dos pitagóricos. Apesar de haver poucos relatos de sua vida, sabe-se que foi um excelente geômetra, gostava muito de analisar as luas crescentes, que em matemática chama-se Lúnulas. Ensinou Geometria em Atenas e dedicou muito de seu tempo estudando problemas de meandros da história antiga, entre eles destaca-se A Quadratura do Círculo e Duplicação do Cubo. Durante as tentativas de quadrar o círculo Hipócrates calculou áreas de algumas “lúnulas”, que resultou em um problema conhecido hoje como Lúnulas de Hipócrates.

Definição

Uma Lúnula também é conhecida como “lua” ou “meia-lua”, em geometria uma lúnula é uma figura geométrica limitada por dois arcos circulares de raios distintos.

Formalmente, uma lúnula é um complemento de um círculo em outro, situados de forma que ambos se intersectem, e nenhum seja subconjunto do outro. Isto é se X e Y são círculos, então:

$L=X-X\cap Y$

Aplicação das lúnulas no triângulo retângulo

Seja ABC um triângulo retângulo, reto em Â. Utilizando três semicírculos: seja BC o diâmetro da semicircunferência que passa por A, o diâmetro AB e o diâmetro AC, desta forma obtemos as lúnulas E e D formadas sobre os catetos.

Aplicação das lúnulas no triângulo retângulo

Demonstração

Hipócrates concluiu utilizando a generalização do teorema de Pitágoras, que a medida da área do triângulo retângulo ABC é igual à soma das medidas das áreas das lúnulas construídas sobre seus catetos.

Aplicação das lúnulas no triângulo retângulo

Seja x e Y, respectivamente, as regiões delimitadas pelo semicírculo de diâmetro BC e pelos catetos AC e AB, como mostra a figura.

Sendo A(t), A(e), A(d), A(x) e A(y), respectivamente as áreas do triângulo, das lúnulas e das regiões X e Y, podemos escrever:

• Área do semicírculo de diâmetro BC: (1)$A(t)+A(x)+A(y)=\left({\frac {1}{2}}\right)*\pi *\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {\pi }{8}}\right)*a^{2}$
• Área do semicírculo de diâmetro AB: (2) $A(e)+A(x)=\left({\frac {1}{2}}\right)*\pi *\left({\frac {c}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {\pi }{8}}\right)*c^{2}$
• Área do semicírculo de diâmetro AC: (3) $A(d)+A(y)=\left({\frac {1}{2}}\right)*\pi *\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {\pi }{8}}\right)*b^{2}$

Somando membro a membro as igualdades (2) e (3), obtemos:

$A(e)+A(x)+A(d)+A(y)=\left({\frac {\pi }{8}}\right)*c^{2}+\left({\frac {\pi }{8}}\right)*b^{2}=\left({\frac {\pi }{8}}\right)*(b^{2}+c^{2})$

Como o triângulo é ABC é retângulo, temos que a, b e c satisfazem a relação dada pelo teorema de Pitágoras, deste modo a relação dada acima pode ser expressa da seguinte forma:

$A(e)+A(x)+A(d)+A(y)=\left({\frac {\pi }{8}}\right)*a^{2}$

Comparando essa equação com a igualdade (1) obtemos:

$A(e)+A(x)+A(d)+A(y)=A(t)+A(x)+A(y)$

Desta forma podemos concluir que

$A(e)+A(d)=A(t)$