Resolução de equações

Resoluções de equações do primeiro e segundo grau

As equações do 1º e do 2º grau são as de mais fácil resolução. Apresentaremos a seguir os métodos de resolução de cada uma delas separadamente.

Resolução de uma equação do primeiro grau

As equações do 1º grau são aquelas com o expoente da incógnita igual a 1.Para resolvê-las devemos seguir os seguintes passos:

• Caso a equação esteja com a incógnita em formato fracionário, multiplica-se a equação pelo MMC dos denominadores das variáveis. Exemplo:

${\frac {x}{2}}+5=20\Leftrightarrow \left({\frac {x}{2}}+5\right)\times 2=(20)\times 2\Leftrightarrow x+10=40$

Atenção:esse passo apenas será necessário se a incógnita estiver em forma de fração,para números em forma de fração será mais fácil resolver a fração dividindo numerador por denominador!

• Deveremos saber de antemão que a equação possui 2 membros,o 1º antes do sinal de igual e o 2º depois. Soma-se ou subtrae-se, multiplica-se ou divide-se os 2 membros até que apenas a varável esteja no primeiro membro. Geralmente, soma-se ou subtrae-se antes de multiplicar e dividir.

• Por último, testa-se a raiz substituindo a incógnita da equação inicial pelo valor obtido. A raiz é valida se os dois membros forem iguais.

Exemplo

${\frac {4x-5}{3}}={\frac {x}{2}}\left({\frac {4x-5}{3}}\right)\times 6=\left({\frac {x}{2}}\right)\times 6\Leftrightarrow 8x-10=3x\Leftrightarrow (8x-10)-(3x-10)=(3x)-(3x-10)\Leftrightarrow$ $5x=10\Leftrightarrow {\frac {5x}{5}}={\frac {10}{2}}\Leftrightarrow x=2$

$x=2\Leftrightarrow {\frac {4(2)-5}{3}}={\frac {(2)}{2}}\Leftrightarrow {\frac {3}{3}}={\frac {2}{2}}\Leftrightarrow 1=1$ eu fui a praia mas não tive tempo por causa do serginho eu estava na maior brincadeira quando minha mãe chamou e falou que eu não pudia tranzar

Resolução de uma equação do segundo grau

Equação do 2º grau é toda aquela que se apresenta na forma:

$ax^{2}+bx+c=0\,\!$, $a\neq 0\,\!$.

Onde $a$ é diferente de zero e representa o número que acompanha a incógnita ao quadrado,$b$ o que acompanha a incógnita a 1º potência, e $c$ um número desacompanhado de incógnita.

Fórmula de Bháskara

De acordo com o matemático indiano Bhaskara, temos 2 passos para resolver a equação:

• 1°. Devemos achar um valor chamado $\Delta$ (delta).

A fórmula que determina o valor de delta é a seguinte:

$\Delta =b^{2}-4ac\,\!$

Exemplo

$4x^{2}-5x+1=0$:

$\Delta =-5^{2}-4\times 4\times 1=25-16=9$

• 2°. Agora que já aprendemos a calcular o valor do $\Delta$, vamos aprender a calcular o valor de $x$. O valor de $x$ é dado pela seguinte fórmula:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}\,\!$

Essa fórmula nos dá dois valores para $x$: $x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ e $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$.

Exemplo (continuação)

$x_{1}={\frac {(5+3)}{8}}={\frac {8}{8}}=1$

$x_{2}={\frac {(5-3)}{8}}={\frac {2}{8}}={\frac {1}{4}}$

Portanto para a equação anterior temos: $\left\{1,{\frac {1}{4}}\right\}$

Somando-se os passos acima temos a fórmula de Bhaskara completa:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,\!$

oterial necessário é de turibilo ou seja a formação melh equação que se presentado na formula de Bhakara com equações do segundo grau incompletas

Cálculo por Soma e Produto

Ideal para valores inteiros e pequenos. Calcula-se o valor da soma das raízes $S=x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$ e do produto $P=x_{1}\times x_{2}={\frac {c}{a}}$. Então, fatora-se $P$ e combina-se os possíveis valores dos fatores do produto para saber quais têm soma $S$. Note que, se $P>0$, as raízes têm o mesmo sinal (neste caso, os fatores possíveis do produto terão sempre o mesmo sinal da soma), e se $P<0$, as raízes têm sinais opostos (neste último caso, os fatores possíveis do produto podem ter qualquer um dos sinais e o sinal da soma equivale ao sinal da raiz de maior módulo).

Exemplo

$x^{2}-5x+6=0\Leftrightarrow S=5\land P=6$. Se $P=6=2\times 3$, logo $x_{1},x_{2}\in \left\{1,2,3,6\right\}$. Portanto, para que o $P=6$, $x_{1}+x_{2}=5$ ou $x_{1}+x_{2}=7$. Como $S=5$, então $x_{1}=2\lor x_{2}=3$.

$x^{2}+2x-3=0\Leftrightarrow S=-2\land P=-3$. Se $P=-3<0$, então uma raiz é negativa e outra é positiva. Se $S=-2<0$, então a raiz de maior módulo é negativa. Se $-3=(-3)\times 1=3\times (-1)$ e $S<0$, então a raiz negativa será $-3$ (pois seu módulo, $3$, é o maior) e a raiz positiva será $1$. Logo, $x_{1}=-3$ e $x_{2}=1$.

Nota

• Quando for impossível achar o valor de $x$ devido ao fato de delta ser negativo podemos escrever no conjunto solução:

S= $\varnothing$ ou S= { }

• Quando $x_{1}=x_{2}$ bastará escrever o valor de $x$ uma vez no conjunto solução.