Mostrar código-fonte de Semieixo maior e semieixo menor

{{Astrodinâmica}}
[[Imagem:Ellipse semi-major and minor axes.svg|thumb|upright=1.2|O semieixo maior ({{mvar|a}}) e o semieixo menor ({{mvar|b}}) de uma [[elipse]]]]
Em [[geometria]], o '''eixomaior''' de uma [[elipse]] é seu [[diâmetro]] mais longo: um segmento de linha que passa pelo centro e ambos os [[Foco (geometria)|focos]], com extremidades nos pontos mais largos do [[perímetro]]. O '''semieixo maior''' é o semidiâmetro mais longo ou a metade do eixo maior e, portanto, vai do centro, através de um foco, até o perímetro. O '''semieixo menor''' de uma elipse ou [[hipérbole]] é um segmento de reta que forma um [[ângulo reto]] com o semieixo maior e tem uma extremidade no centro da seção cônica. Para o caso especial de um círculo, os comprimentos dos semieixos são ambos iguais ao [[Raio (geometria)|raio]] do círculo.

O comprimento do semieixo maior a de uma elipse está relacionado ao comprimento do semieixo menor {{mvar|b}} através da [[Excentricidade (matemática)|excentricidade]] {{mvar|e}} e do [[Cónica#Parâmetros cônicos|semilatus reto]] <math>\ell</math>, como segue:

{{block indent|<math>\begin{align}
 b      &= a \sqrt{1 - e^2}, \\
 \ell   &= a (1 - e^2), \\
 a \ell &= b^2.
\end{align}</math>}}

O semieixo maior de uma hipérbole é, dependendo da convenção, mais ou menos a metade da distância entre os dois ramos. Portanto, é a distância do centro a qualquer [[Vértice (curva)|vértice]] da hipérbole.

Uma [[parábola]] pode ser obtida como o limite de uma sequência de elipses onde um foco é mantido fixo enquanto o outro pode se mover arbitrariamente para longe em uma direção, mantendo <math>\ell</math> fixo. Assim, {{mvar|a}} e {{mvar|b}} tendem ao infinito, {{mvar|a}} é mais rápido do que {{mvar|b}}.

Os eixos maiores e menores são os [[Simetria de rotação|eixos de simetria]] da curva: em uma elipse, o eixo menor é o mais curto; em uma hipérbole, é aquele que não intercepta a hipérbole.

== Elipse ==
A equação de uma [[elipse]] é

{{block indent|<math>\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1,</math>}}

onde ({{mvar|h}} e {{mvar|k}}) é o centro da elipse em [[Sistema de coordenadas|coordenadas cartesianas]], em que um ponto arbitrário é dado por ({{mvar|h}} e {{mvar|k}}).

O semieixo maior é o valor médio das distâncias máximas e mínimas <math>r_\text{max}</math> e <math>r_\text{min}</math> da elipse de um [[Foco (geometria)|foco]], isto é, das distâncias de um foco até os pontos finais do eixo principal:

{{block indent|<math>a = \frac{r_\text{max} + r_\text{min}}{2}.</math>}}

Em [[astronomia]], esses pontos extremos são chamados de [[apside]]s.<ref name=lissauer2019/>

O semieixo menor de uma elipse é a [[média geométrica]] dessas distâncias:

{{block indent|<math> b = \sqrt{r_\text{max} r_\text{min}}.</math>}}

A [[Excentricidade (matemática)|excentricidade]] de uma elipse é definida como

{{block indent|<math>e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}},</math>}}

então

{{block indent|<math>r_\text{min} = a (1 - e),\quad r_\text{max} = a (1 + e).</math>}}

Agora considere a equação em coordenadas polares, com um foco na origem e o outro na direção <math>\theta = \pi</math>:

{{block indent|<math>r(1 + e \cos\theta) = \ell.</math>}}

O valor médio de <math>r = \ell / (1 - e) </math> and <math>r = \ell / (1 + e)</math>, for <math>\theta = \pi</math> and <math>\theta = 0</math> é

{{block indent|<math>a = \frac{\ell}{1 - e^2}.</math>}}

Em uma elipse, o semieixo maior é a média geométrica da distância do centro para qualquer foco e a distância do centro para qualquer diretriz.

O semieixo menor de uma elipse vai do centro da elipse (um ponto no meio e na linha que corre entre os focos) até a borda da elipse. O semieixo menor é a metade do eixo menor. O eixo menor é o segmento de linha mais longo perpendicular ao eixo maior que conecta dois pontos na borda da elipse.

O semieixo menor {{mvar|b}} está relacionado ao semieixo maior {{mvar|a}} através da excentricidade {{mvar|e}} e do [[Cónica#Parâmetros cônicos|semilatus reto]] <math>\ell</math>, como segue:

{{block indent|<math>\begin{align}
 b      &= a \sqrt{1 - e^2}, \\ 
 a \ell &= b^2.
\end{align}</math>}}

Uma [[parábola]] pode ser obtida como o limite de uma sequência de elipses onde um foco é mantido fixo enquanto o outro pode se mover arbitrariamente para longe em uma direção, mantendo <math>\ell</math> fixo. Assim, {{mvar|a}} e {{mvar|b}} tendem ao infinito, {{mvar|a}} mais rápido do que {{mvar|b}}.

O comprimento do semieixo menor também pode ser encontrado usando a seguinte fórmula:<ref>[http://www.mathopenref.com/ellipseaxes.html "Major / Minor axis of an ellipse"], Math Open Reference, 12 May 2013.</ref>

{{block indent|<math>2b = \sqrt{(p + q)^2 -f^2},</math>}}

onde {{mvar|f}} é a distância entre os focos, {{mvar|p}} e {{mvar|q}} são as distâncias de cada foco a qualquer ponto da elipse.

== Hipérbole ==
O semieixo maior de uma [[hipérbole]] é, dependendo da convenção, mais ou menos a metade da distância entre os dois ramos; se for a na direção x, a equação é:

{{block indent|<math>\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1.</math>}}

Em termos de [[Cónica#Parâmetros cônicos|semilatus reto]] e da [[Excentricidade (matemática)|excentricidade]], temos

{{block indent|<math>a={\ell \over e^2 - 1 }. </math>}}

O eixo transversal de uma hipérbole coincide com o eixomaior.<ref>{{citar web|url=http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node27.html|título=7.1 Alternative Characterization|website=www.geom.uiuc.edu}}</ref>

Em uma hipérbole, um eixo conjugado ou eixo menor de comprimento <math>2b</math>, correspondendo ao eixomenor de uma [[elipse]], pode ser desenhado perpendicular ao eixo transversal ou eixomaior, o eixomaior conectando os dois vértices (pontos de viragem) da hipérbole, com os dois eixos se cruzando no centro da hipérbole. Os pontos finais <math>(0,\pm b)</math> do eixomenor ficam na altura das assíntotas acima/abaixo dos vértices da hipérbole. Qualquer metade do eixomenor é chamada de eixo semimenor, de comprimento {{mvar|b}}. Denotando o comprimento do semieixo maior (distância do centro a um vértice) como um, os comprimentos dos eixos do semimenor e do semimaior aparecem na equação da hipérbole em relação a esses eixos da seguinte forma:

{{block indent|<math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.</math>}}

O semieixo menor também é a distância de um dos focos da hipérbole a uma assíntota. Frequentemente chamado de [[parâmetro de impacto]], isso é importante em física e astronomia, e mede a distância pela qual uma partícula perderá o foco se sua jornada não for perturbada pelo corpo no foco.

O semieixo menor e o semieixo maior estão relacionados através da excentricidade, da seguinte forma:

{{block indent|<math>b = a \sqrt{e^2-1}.</math><ref>{{citar web|url=http://www.bogan.ca/orbits/geometry.html|título=The Geometry of Orbits: Ellipses, Parabolas, and Hyperbolas|website=www.bogan.ca}}</ref>}}<!--NOTA: Esta fórmula difere daquela da elipse porque em uma hipérbole, e > 1, então a equação de b = sqrt{1-e^2} não tem soluções reais-->

Observe que, em uma hipérbole, {{mvar|b}} pode ser maior que {{mvar|a}}.<ref>http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node27.html</ref>

== Astronomia ==
[[Imagem:solar_system_orbital_period_vs_semimajor_axis.svg|thumb|{{{1|260px}}}|Gráfico log-log do período ''T'' vs. [[semieixo maior]] a (média do [[afélio]] e [[periélio]]) de algumas órbitas do [[Sistema Solar]] (cruzamentos denotando os valores de Kepler) mostrando que ''a''&sup3;/''T''&sup2; é constante (linha verde)]]
=== Período orbital ===
Em [[astrodinâmica]], o [[período orbital]] {{mvar|T}} de um corpo pequeno orbitando um corpo central em uma órbita circular ou elíptica é:<ref name=lissauer2019>{{citar livro|título=Fundamental Planetary Sciences: physics, chemistry, and habitability |último1 =Lissauer |primeiro1 =Jack J. |último2 =de Pater |primeiro2 =Imke |ano=2019 |publicado=Cambridge University Press |isbn=9781108411981 |local=New York |páginas=24–31 }}</ref>

{{block indent|<math>T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}},</math>}}

Onde:
{{block indent|{{mvar|a}} é o comprimento do semieixo maior da órbita,}}
{{block indent|<math>\mu</math> é o [[parâmetro gravitacional padrão]] do corpo central.}}

Observe que para todas as [[elipse]]s com um determinado semieixo maior, o período orbital é o mesmo, desconsiderando sua [[Excentricidade (matemática)|excentricidade]].

O [[momento angular específico]] {{mvar|h}} de um pequeno corpo orbitando um corpo central em uma órbita circular ou elíptica é<ref name=lissauer2019/>
{{block indent|<math>h = \sqrt{a\mu(1 - e^2)},</math>}}

onde:
{{block indent|{{mvar|a}} e <math>\mu</math> são como definidos acima,}}
{{block indent|{{mvar|e}} é a excentricidade da órbita.}}

Em [[astronomia]], o semieixo maior é um dos [[elementos orbitais]] mais importantes de uma órbita, junto com seu período orbital. Para objetos do [[Sistema Solar]], o semieixo maior está relacionado ao período da órbita pela [[Leis de Kepler|terceira lei de Kepler]] (originalmente derivada empiricamente):<ref name=lissauer2019/>

{{block indent|<math>T^2 \propto a^3,</math>}}

onde {{mvar|T}} é o período e {{mvar|a}} é o semieixo maior. Essa forma acaba sendo uma simplificação da forma geral para o [[problema dos dois corpos]], conforme determinado por [[Isaac Newton]]:<ref name=lissauer2019/>

{{block indent|<math>T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M + m)}a^3,</math>}}

onde {{mvar|G}} é a [[Constante gravitacional universal|constante gravitacional]], {{mvar|M}} é a [[massa]] do corpo central e {{mvar|m}} é a massa do corpo orbital. Normalmente, a massa do corpo central é muito maior do que a do corpo em órbita, que {{mvar|m}} pode ser ignorada. Fazer essa suposição e usar unidades de astronomia típicas resulta na forma mais simples que Kepler descobriu.

A trajetória do corpo orbital em torno do [[Centro de massas|baricentro]] e sua trajetória em relação ao primário são elipses.<ref name=lissauer2019/> O semieixo maior às vezes é usado em astronomia como a distância primário-secundário quando a razão de massa do primário para o secundário é significativamente grande (<math>M \gg m</math>); assim, os parâmetros orbitais dos planetas são dados em termos heliocêntricos. A diferença entre as órbitas primocêntricas e "absolutas" pode ser melhor ilustrada observando-se o sistema [[Terra]]-[[Lua]]. A proporção de massa, neste caso, é 81.30059. A distância característica Terra-Lua, o semieixo maior da órbita lunar ''geocêntrica'', é de 384.400 km. (Dada a excentricidade da órbita lunar {{mvar|e}} = 0.0549, seu semieixo menor é 383.800 km. Assim, a órbita da Lua é quase circular). A órbita lunar ''baricêntrica'', por outro lado, tem um semieixo maior de 379.730 km, a contra-órbita da Terra assumindo a diferença, 4.670 km. A velocidade orbital baricêntrica média da Lua é 1.010 km/s, enquanto a da Terra é 0.012 km/s. O total dessas velocidades dá uma velocidade orbital média lunar geocêntrica de 1.022 km/s; o mesmo valor pode ser obtido considerando apenas o valor do semieixo maior geocêntrico.

=== Distância média ===
Costuma-se dizer que o semieixo maior é a distância "média" entre o foco primário da [[elipse]] e o corpo orbital. Isso não é muito preciso, porque depende de como a média é calculada.

* Calcular a média da distância sobre a [[anomalia excêntrica]] de fato resulta no semieixo maior.
* Calcular a média sobre a [[anomalia verdadeira]] (o ângulo orbital verdadeiro, medido no foco) resulta no semieixo menor <math>b = a \sqrt{1 - e^2}</math>.
* A média sobre a [[anomalia média]] (a fração do período orbital que decorreu desde o pericentro, expressa como um ângulo) dá a média de tempo <math>a \left(1 + \frac{e^2}{2}\right)\,</math>.

O valor médio do tempo do recíproco do raio, <math>r^{-1}</math>, é <math>a^{-1}</math>.
<!-- Nota do comentarista: Esta não é uma equação e parece não ter sentido. O que o colaborador tentou dizer?
Para [[exoplaneta]]s orbitando estrelas de diferentes massas, usar apenas a terceira lei de Kepler é impraticável. Aqui está a equação abaixo:

{{block indent|<math>\sqrt[3]{M_\text{star}} \times \sqrt[3]{t^2}</math>}}

Onde:
{{block indent|{{mvar|M}}{{sub|star}} é a massa da estrela em [[massa solar]]res}}
{{block indent|{{mvar|T}} é o período orbital em anos.}}
-->

=== Energia; cálculo do semieixo maior a partir de vetores de estado ===
Em [[astrodinâmica]], o semieixo maior {{mvar|a}} pode ser calculado a partir de [[Vetores de estado orbital|vetores de estado orbitais]]:

{{block indent|<math>a = -\frac{\mu}{2\varepsilon}</math>}}

Para uma [[órbita elíptica]] e, dependendo da convenção, o mesmo ou

{{block indent|<math>a = \frac{\mu}{2\varepsilon}</math>}}

Para uma [[trajetória hiperbólica]], e

{{block indent|<math>\varepsilon = \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{|\mathbf{r}|}</math>}}

([[Energia orbital específica]]) e

{{block indent|<math>\mu = GM,</math>}}

([[Parâmetro gravitacional padrão]]), onde:
: {{mvar|v}} é a velocidade orbital do [[Vetores de estado orbital#Posição e vetores de velocidade|vetor velocidade]] de um objeto orbital,
: {{mvar|'''r'''}} é um [[Vetores de estado orbital#Posição e vetores de velocidade|vetor de posição]] [[Sistema de coordenadas cartesiano|cartesiana]] de um objeto orbitando em coordenadas de um [[referencial]] em relação ao qual os elementos da órbita devem ser calculados (por exemplo, equatorial geocêntrico para uma órbita ao redor da [[Terra]] ou [[eclíptica]] heliocêntrica para uma órbita em torno do [[Sol]]),
: {{mvar|G}} é a [[Constante gravitacional universal|constante gravitacional]],
: {{mvar|M}} é a massa do corpo gravitante, e
: <math>\varepsilon</math> é a energia específica do corpo em órbita.

Observe que, para uma determinada quantidade de massa total, a energia específica e o semieixo maior são sempre os mesmos, independentemente da [[Excentricidade (matemática)|excentricidade]] ou da proporção das massas. Por outro lado, para uma dada massa total e semieixo maior, a energia orbital específica total é sempre a mesma. Esta afirmação sempre será verdadeira sob quaisquer condições.

=== Semieixo maior e semieixo menor das órbitas dos planetas ===
As órbitas dos planetas são sempre citadas como exemplos principais de [[elipse]]s ([[Leis de Kepler|primeira lei de Kepler]]). No entanto, a diferença mínima entre os semieixo maior e semieixo menor mostra que eles têm uma aparência virtualmente circular. Essa diferença (ou proporção) é baseada na excentricidade e é calculada como <math>\frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{1 - e^2}}</math>, que, para excentricidades típicas de planetas, produz resultados muito pequenos.

A razão para a suposição de órbitas elípticas proeminentes reside provavelmente na diferença muito maior entre [[afélio]] e [[periélio]]. Essa diferença (ou proporção) também é baseada na excentricidade e é calculada como <math>\frac{r_\text{a}}{r_\text{p}} = \frac{1 + e}{1 - e}</math>. Devido à grande diferença entre afélio e periélio, a [[Leis de Kepler|segunda lei de Kepler]] é facilmente visualizada.

{| class="wikitable sortable" style="margin: 1em auto; text-align: center;"
|-
!class="unsortable"|
! [[Excentricidade orbital|Excentricidade]]
! Semieixo maior {{mvar|a}} ([[Unidade astronômica|AU]])
! Semieixo menor {{mvar|b}} ([[Unidade astronômica|AU]])
! Diferença (%)
! [[Periélio]] ([[Unidade astronômica|AU]])
! [[Afélio]] ([[Unidade astronômica|AU]])
! Diferença (%)
|-
! [[Mercúrio (planeta)|Mercúrio]]
| 0.206
| 0.38700
| 0.37870
| 2.2
| 0.307
| 0.467
| 52
|-
! [[Vénus (planeta)|Vênus]]
| 0.007
| 0.72300
| 0.72298
| 0.002
| 0.718
| 0.728
| 1.4
|-
! [[Terra]]
| 0.017
| 1.00000
| 0.99986
| 0.014
| 0.983
| 1.017
| 3.5
|-
! [[Marte (planeta)|Marte]]
| 0.093
| 1.52400
| 1.51740
| 0.44
| 1.382
| 1.666
| 21
|-
! [[Júpiter (planeta)|Júpiter]]
| 0.049
| 5.20440
| 5.19820
| 0.12
| 4.950
| 5.459
| 10
|-
! [[Saturno (planeta)|Saturno]]
| 0.057
| 9.58260
| 9.56730
| 0.16
| 9.041
| 10.124
| 12
|-
! [[Urano (planeta)|Urano]]
| 0.046
| 19.21840
| 19.19770
| 0.11
| 18.330
| 20.110
| 9.7
|-
! [[Netuno (planeta)|Netuno]]
| 0.010
| 30.11000
| 30.10870
| 0.004
| 29.820
| 30.400
| 1.9
|}

{{referências}}

== Ligações externas ==
* [http://www.mathopenref.com/ellipsesemiaxes.html Semi eixos maiores e semimenores de uma elipse] Com animação interativa

{{Órbitas}}
{{controle de autoridade}}

[[Categoria:Seções cônicas]]
[[Categoria:Órbitas]]