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'''Teorema de Artin-Schreier''', em [[álgebra abstrata]], é um teorema a respeito de [[corpo (matemática)|corpos]] [[algebricamente fechado]]s, ou seja, aqueles em que todo polinômio tem uma raiz, que diz que uma grande classe destes corpos podem ser construídos de forma análoga à construção dos [[números complexos]] a partir dos [[números reais]].

== Motivação ==
O conjunto dos números complexos, <math>\mathbb{C}\,</math>, é algebricamente fechado, e é uma [[extensão algébrica|extensão finita]] dos números reais <math>\mathbb{R}\,</math>,<ref name="keith.conrad.artin-shreier">[[Keith Conrad]], ''The Artin-Schreier Theorem'' [http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/galoistheory/artinschreier.pdf <nowiki>[em linha]</nowiki>]</ref> ou seja, é possível escrever todos elementos de <math>\mathbb{C}\,</math> por expressões da forma <math>z = r_1 z_1 + r_2 z_2 + \ldots + r_n z_n\,</math>, em que os elementos <math>z_n\,</math> são números complexos fixos, e os números <math>r_n\,</math> são números reais quaisquer.<ref group="Nota">Resumo do blogue [[extensão algébrica]],{{carece de fontes|data=junho de 2017}} com aplicação para o caso de <math>\mathbb{R}\,</math> e <math>\mathbb{C}\,</math>.</ref> No caso, é trivial verificar esta propriedade, pois todo número complexo ''z'' pode ser escrito como ''z = a + b i'', ou seja, temos que ''z<sub>1</sub> = 1'' e ''z<sub>2</sub> = i''.<ref group="Nota">Resumo do artigo [[números complexos]].</ref>

Outro exemplo de corpo algebricamente fechado que é uma extensão finita é o [[corpo dos números algébricos]]: um elemento ''z'' deste corpo também pode ser escrito como ''z = a + b i'', em que ''a'' e ''b'' são [[números algébricos reais]].<ref name="keith.conrad.artin-shreier" />

O interessante destes dois casos é que eles são típicos,<ref name="keith.conrad.artin-shreier" /> e este é o resultado provado por [[Emil Artin]] e [[Otto Schreier]] em [[1926]].<ref>E. Artin and O. Schreier, ''Algebraische Konstruktion reeller Körper'', pp. 258-272 in: Artin's Collected Papers (Ed. S. Lang and J. Tate), Springer-Verlag, New York, 1965.</ref> Ou seja, sempre que um corpo algebricamente fechado ''C'' for a extensão finita própria de um corpo ''F'', então necessariamente os elementos de ''C'' podem ser escritos como ''z = a + b i'', em que ''a'' e ''b'' são elementos de ''F'' e ''i<sup>2</sup> = -1''.<ref name="keith.conrad.artin-shreier" />

== Enunciado formal ==
Seja ''F'' um corpo qualquer, que não é algebricamente fechado, seja ''C'' o [[fecho algébrico]] de ''F''. Então, se ''C'' é uma [[extensão algébrica|extensão finita]] de ''F'', então ''F'' tem [[característica (álgebra)|característica zero]], ''C:F = 2'' e ''C = F(i)'', com ''i<sup>2</sup> = -1''.<ref name="keith.conrad.artin-shreier" /><ref name="silvio.levy.20">[[Silvio Levy]], ''20. Ordered fields and Real fields'' [http://www.msri.org/people/staff/levy/files/Lorenz/20.pdf {{Wayback|url=http://www.msri.org/people/staff/levy/files/Lorenz/20.pdf |date=20080905022120 }} <nowiki>[em linha]</nowiki>]</ref>

Corolário: nas condições descritas acima, ''F'' é um [[corpo real fechado]].<ref name="keith.conrad.artin-shreier" />

== Esboço da demonstração ==
Em primeiro lugar, prova-se que C/F é uma [[extensão de Galois]]. Isto é feito por redução ao absurdo: supondo-se que ''F'' tem característica ''l > 0'', prova-se que ''F'' poderia ter extensões algébricas de grau arbitrário, contrariando o fato do seu fecho algébrico ser uma extensão finita.<ref name="keith.conrad.artin-shreier" /><ref name="silvio.levy.20" />

Em seguida, prova-se que <nowiki>[[C:F]]</nowiki> = 2. Prova-se, primeiro, que <nowiki>[[C:F]]</nowiki> não pode ser divisível nem por um primo ímpar ''p'' nem por 4, porque, se fosse, então existiria <math>F \subseteq K \subseteq C\,</math> em que <nowiki>[[C:K]]</nowiki> seria igual a ''p'' ou igual a 4.<ref name="keith.conrad.artin-shreier" /><ref name="silvio.levy.20" />

O próximo passo é provar que, se <nowiki>[[C:K]]</nowiki> for um primo ''p'', então ''p = 2'', e que <nowiki>[[C:K]]</nowiki> não pode ser quatro.<ref name="keith.conrad.artin-shreier" /><ref name="silvio.levy.20" />

O último passo é mostrar que, se <nowiki>[[C:F]]</nowiki> = 2, então <math>i \not\in F\,</math>, portanto ''C = F(i)''. Isto é feito demonstrando que ''a'' e ''-a'' não podem, ambos, serem quadrados em ''F''.<ref name="keith.conrad.artin-shreier" />

Um dos resultados da demonstração é que os quadrados em ''F'' são fechados em relação à adição, ou seja, a soma de dois quadrados é um quadrado, o que permite definir, em ''F'', um conjunto de números positivos (os quadrados), de modo que ''F'' pode ser ordenado.<ref name="keith.conrad.artin-shreier" /><ref name="silvio.levy.20" />

{{notas e referências}}

[[Categoria:Teoria dos corpos]]