Mostrar código-fonte de Teoria dos anéis

Em [[matemática]], a teoria de anéis é o estudo de [[Anel (matemática)|anéis]], isto é, [[Estrutura algébrica|estruturas algébricas]] com duas [[operação binária|operações binárias]], por exemplo adição (<math>+</math>) e multiplicação (<math>\cdot </math>), e que possuem propriedades similares às dos inteiros.

== História ==
O estudo de anéis originou-se da teoria de anéis de [[polinômio]]s e da teoria de inteiros algébricos. [[Richard Dedekind]] foi quem introduziu o conceito de ''anel''.

O termo anel (Zahlring) foi criado por [[David Hilbert]] no artigo ''Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereiningung'', Vol. 4, 1897.

A primeira definição axiomática de anéis foi dada por [[Adolf Fraenkel]] em um ensaio no ''Journal für die reine und angewandte Mathematik ''(A. L. Crelle), vol. 145, 1914.

Em [[1921]], [[Emmy Noether]] criou a primeira fundação axiomática da teoria de anéis comutativos em seu monumental trabalho ''Ideal Theory in Rings''.

== Definição ==
{{Artigo principal|[[anel (matemática)]]}}

Dado um conjunto <var>S</var> e duas operações binárias, dizemos que a estrutura algébrica <math>(S,+,\cdot )</math> forma um anel se:

# A operação de adição (<math>+</math>) é [[Comutatividade|comutativa]]
# A operação de adição é [[Associatividade|associativa]]
# Existe um [[elemento neutro]] na [[adição]], chamado de '''0'''
# Existe um [[elemento inverso]] para a [[adição]], escrito como <math>-x</math>
# A operação de [[multiplicação]] (<math>\cdot </math>) é associativa
# A operação de multiplicação se distribui sobre a adição: <math>a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\quad \forall a,b,c \in S </math> ([[distributividade]])

Um anel que também possua um elemento neutro com relação à multiplicação é chamado de '''anel com unidade'''. Alguns autores incluem este [[axioma]] na definição de anel. {{Carece de fontes|data=junho de 2017}} <!-- devia ter algo como "X inclui", "Y não inclui" //-->

Um anel é chamado '''anel sem divisores de zero''' se:
: <math>\forall a,b \in S \quad a \cdot b = 0 \rightarrow a=0\ ou\ b=0</math>

Note que a estrutura <math>(S,+)</math> que satisfaz às condições de 1 a 4 forma um [[grupo abeliano]]

== Exemplos ==
A última frase acima sobre '''[[divisor de zero|divisores de zero]]''' pode parecer óbvia se o único exemplo que conhecermos de anel forem os números inteiros.

No entanto, a definição é válida para qualquer conjunto, portanto o conjunto de matrizes reais 2x2, juntamente com as operações de adição e multiplicação de matrizes usuais, fornece um exemplo de '''anel com divisor de zero'''

: unidade <math>1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
: zero <math>0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
: '''divisor de zero''': seja <math>a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math> e <math>b = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>, da multiplicação de matrizes temos <math>a\cdot b = 0 </math>, mas nem a ou b são iguais a zero.


{{Álgebra}}

{{DEFAULTSORT:Teoria Aneis}}
[[Categoria:Teoria dos anéis|*]]