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Página de teste: Eduardo Araujo e Franciele Krein

= Números Inteiros =
Os '''números inteiros''' são constituídos dos números naturais e seus simétricos negativos, podendo ou não incluir o zero. O conjunto de todos os números inteiros é representado pela letra <math>\mathbb{Z}</math> (originada da palavra alemã [[wikt:Zahl|Zahl]]).

<math>\mathbb{Z}=[...-3,-2,-1,0,1,2,3...]</math>

== Subconjuntos de <math>\mathbb{Z}</math> ==
<math>\mathbb{Z}^*=</math> Conjunto dos inteiros não-nulos <math>=\mathbb{Z}-[0]</math>

<math>\mathbb{Z}</math><sub>+</sub>  <math>=</math> Conjunto dos inteiros não negativos <math>=[0,1,2,3...]</math>

<math>\mathbb{Z}^*</math><sub>+</sub>  <math>=</math> Conjunto dos inteiros não negativos, excluindo zero <math>=[1,2,3...]</math>

<math>\mathbb{Z}</math><sub>-</sub>   <math>=</math> Conjunto dos inteiros não positivos <math>=[...-3,-2,-1,0]</math>

<math>\mathbb{Z}^*</math><sub>-</sub>  <math>=</math> Conjunto dos inteiros não positivos, excluindo zero <math>=[...-3,-2,-1]</math>

== Propriedades Básicas das operações <math>+</math> (adição) e <math>\cdot</math> (multiplicação): ==
Há diversos campos numéricos verificando as propriedades abaixo. Dizemos que eles têm  uma mesma estrutura algébrica, a qual é chamada de '''anel de integridade'''. O campo dos inteiros, <math>[\mathbb{Z},+,\cdot]</math>, é o mais simples e conhecido dos anéis de integridade, e tem o seguinte conjunto de propriedades básicas:

Para todos <math>a, b, c\in \mathbb{Z}</math>:

=== Fechamento das operações: ===
* <math>a+b \in \mathbb{Z}</math><math>\qquad</math><math>\qquad</math>[a operação <math>+</math> é fechada]
* <math>a\cdot b \in \mathbb{Z}</math><math>\qquad \qquad</math>[a operação <math>\cdot</math> é fechada]

=== Associatividade das operações: ===
* <math>a+(b+c)=(a+b)+c</math><math>\qquad \qquad</math>[associatividade da <math>+</math>]
* <math>a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c</math><math>\qquad \qquad</math>[associativa da <math>\cdot</math>]

=== Existência de elemento neutro: ===
* <math>a+0=a</math><math>\qquad \qquad</math>[0 é o elemento neutro da <math>+</math>]
* <math>a\cdot 1=a</math><math>\qquad \qquad</math>[1 é o elemento neutro da <math>\cdot</math>]

=== Comutatividade: ===
* <math>a+b=b+a</math><math>\qquad \qquad</math>[comutatividade da <math>+</math>]
* <math>a\cdot b=b\cdot a</math><math>\qquad \qquad</math>[comutatividade da <math>\cdot</math>]

=== Existência de inverso na adição: ===
* <math>\exists a' \in \mathbb{Z}</math> tal que <math>a+a'=0</math><math>\qquad \qquad</math>[<math>a'</math> é o simétrico de <math>a</math>]

=== Distributividade da multiplicação: ===
* <math>a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)</math><math>\qquad \qquad</math>[distributividade da <math>\cdot</math>]

=== Integridade da multiplicação: ===
* <math>a\cdot b=0\Rightarrow</math> <math>a=0</math> ou <math>b=0</math><math>\qquad \qquad</math>[integridade da <math>\cdot</math>]

=== Demonstrações usando as propriedades básicas ===
<math>i) </math> '''Unicidade do elemento neutro da multiplicação'''

Vamos supor por absurdo que existem dois elementos neutros da multiplicação <math>1</math> e <math>1'</math>, com <math>1 \neq 1'</math>

Como <math>1</math> é elemento neutro da multiplicação, então: <math>1'\cdot 1=1'</math>

Como <math>1'</math> é elemento neutro da multiplicação, então:  <math>1\cdot 1'=1</math>

Temos: <math>1'=1'\cdot 1 = 1\cdot 1'=1</math> [Comutatividade da multiplicação]

<math>\qquad \quad\Rightarrow 1'=1</math> ABSURDO!!!

Pois <math>1'</math> é diferente de <math>1</math> por hipótese.

Então o elemento neutro da multiplicação é único.

<math>ii)</math> '''Unicidade do elemento simétrico'''

Vamos supor que existem dois simétricos <math>a'</math> e <math>a''</math> de <math>a</math>, tal que <math>a' \neq a''</math>.

<math>a'=0+a'</math> [Existência do elemento neutro]

<math>\quad=(a+a'')+a'</math> [Existência do inverso na adição]

<math>\quad=a+(a''+a'')</math> [Associativa]

<math>\quad=a+(a'+a'')</math> [Comutativa]

<math>\quad=(a+a')+a''</math> [Associativa]

<math>\quad=0+a'=a''</math> [Existência do elemento neutro]

Como por hipótese <math>a'\neq a''</math> não podemos ter <math>a'=a''</math>, por isso é ABSURDO!

Logo o simétrico da adição é único.

Com isso podemos definir a subtração:

<math>\qquad a+b'=a+(-b)=a-b</math>

<math>iii)\quad 0\cdot a=0   </math>         <math>\forall a \in \mathbb{Z}</math>

<math>\qquad\Rightarrow 0\cdot a=(b-b)a</math>

<math>\qquad\Rightarrow 0\cdot a=ab-ab</math>

<math>\qquad\Rightarrow 0\cdot a=0</math>

<math>iv) (b+c)a=ba+ca</math>

<math>(b+c)a=a(b+c)</math> [Comutativa]

<math>\Rightarrow ab+ac=ba+ca</math> [Distributiva e Comutativa]

== Proposição (leis do cancelamento) ==
<math>i)</math>Sendo <math>a</math> e <math>b</math> números inteiros:

<math>\qquad a+c=b+c \Rightarrow a=b,</math>      <math>\forall c\in \mathbb{Z}</math>

Observe que, para <math>x=y,</math>  <math>\quad x,y \in \mathbb{Z}</math> e <math>z \in \mathbb{Z}</math>

Logo temos, <math>x+z=y+z</math> (vem da definição de soma em <math>\mathbb{N}</math>)   

Agora podemos provar:

<math>\qquad a+c=b+c</math>

<math>\qquad\Rightarrow (a+c)+(-c)=(b+c)+ (-c)</math>

<math>\qquad\Rightarrow a+(c-c)=b+(c-c)</math> [Associatividade]

<math>\qquad\Rightarrow a+0=b+0</math>

<math>\qquad\Rightarrow a=b</math>

<math>ii)</math> Sendo <math>a, b </math> e <math>c</math> números inteiros

<math>\qquad a\cdot c=b\cdot c \Rightarrow a=b,</math>         <math>\forall c\neq0</math>

<math>\qquad\Rightarrow ac-bc=bc-bc</math>

<math>\qquad\Rightarrow ca-cb=0</math> [Comutatividade]

<math>\qquad\Rightarrow c(a-b)=0</math> [Distributiva]

Logo <math>c=0</math> ou <math>a-b=0</math>, como <math>c\neq 0</math>, por hipótese temos:

<math>\qquad a-b=0</math>

<math>\qquad\Rightarrow a-b+b=0+b</math>

<math>\qquad a+0=0+b</math>

<math>\qquad a=b</math>

== Relação de ordem nos inteiros ==
Temos que se <math>a>b</math> ou <math>b<a</math> isso significa que <math>a-b>0</math>

Com isso os números inteiros ficam divididos em:

<math>\mathbb{Z}^+ =\{0,1,2,3...\}\Rightarrow</math> '''''Inteiros não negativos''''' 

<math>\qquad x \in \mathbb{Z} : x\geq 0</math>

<math>\mathbb{Z}^- = \{...,-3,-2,-1,0\} \Rightarrow </math> '''''Inteiros não positivos'''''

<math>\qquad x \in \mathbb{Z}: x\leq 0</math>

<math>\mathbb{Z}_*^+ = \{1,2,3,...\} \Rightarrow</math> '''''Inteiros positivos'''''

<math>\qquad x \in \mathbb{Z}: x>0</math>

<math>\mathbb{Z}_*^- = \{...,-3,-2,-1\} \Rightarrow</math> '''''Inteiros negativos'''''

<math>\qquad x \in \mathbb{Z}: x<0</math>

'''Observação:''' temos <math>a>b \Rightarrow a-b>0,</math> no caso particular <math>a-0=a</math>, temos <math>a>0</math>, somente se <math>a \in \{1,2,3,...\}</math>

Notação:<math>\begin{cases}  a\geq b(a>b \quad ou \quad a=b) \\  a\leq b(a<b \quad ou \quad a=b) \\ \end{cases}
</math>

As relações <math><</math> e <math>\leq</math> são compatíveis com a adição e a multiplicação, conforme nos resultados:

Proposição:

Sendo   <math>a,b,c \in\mathbb{Z} </math>

<math>i)</math> A relação de ordem é preservada na adição:

<math>*\quad a<b\Leftrightarrow a+c<b+c, \quad \forall c \in\mathbb{Z}</math>

<math>a<b\Rightarrow b-a>0</math>

<math>\qquad\Rightarrow b-a+c-c>0</math>

<math>\qquad\Rightarrow b+c-a-c>0</math>

<math>\qquad\Rightarrow (b+c)-(a+c)>0</math>

<math>\qquad\Rightarrow a+c<b+c</math>

<math>a+c<b+c\Rightarrow a<b</math>

<math>\qquad\qquad\quad \Rightarrow (b+c)-(a+c)>0</math>

<math>\qquad\qquad\quad\Rightarrow b+c-a-c>0</math>

<math>\qquad\qquad\quad\Rightarrow (b-a)+(c-c)>0</math>

<math>\qquad\qquad\quad\Rightarrow b-a>0</math>

<math>\qquad\qquad\quad\Rightarrow a<b</math>

<math>*\quad a\leq b\Leftrightarrow a+c\leq b+c,\quad \forall c \in\mathbb{Z}</math>

O mesmo acontece nesta demostração

<math>ii)</math> A relação de ordem é preservada na multiplicação por inteiros positivos:

<math>*\quad a<b\Leftrightarrow a\cdot c<b\cdot c,\quad \forall c\in\mathbb{Z}</math>

Observe que quando <math>n>0</math>

<math>3n>2n>n>0</math> ou seja, <math>cn>0</math>, <math>c>0</math>

<math>a<b\Rightarrow b-a>0</math>

<math>\qquad \Rightarrow c(b-a)>0</math>

<math>\qquad\Rightarrow cb-ca>0</math>

<math>\qquad\Rightarrow ca<cb</math>

== Valor absoluto de um número inteiro ==
O valor absoluto de um número inteiro é definido como:

<math>|a|=\begin{cases}a\ se\ a \geq0\\-a\ se\ a<0\\ \end{cases}
</math>

Tomar o valor absoluto de um número inteiro consiste basicamente em deixá-lo inalterado se o número for positivo ou nulo; e apagar seu sinal, caso ele seja negativo.

''Exemplo:''

<math>|-2|=2=|2|
</math>,

<math>|0|=0
</math>

== Conceitos básicos de divisibilidade ==
O divisor de um número inteiro <math>a
</math>, é todo inteiro <math>b</math> capaz de transformar o inteiro <math>a</math> num produto de inteiros: <math>a=b.c</math> (para algum número inteiro <math>c</math>).

Sempre que <math>b</math> for divisor de <math>a</math>, também costuma-se empregar as seguintes terminologias alternativas, sinônimas:

<math>\qquad</math>"o inteiro <math>b</math> divide <math>a</math>", o que pode ser abreviado com a notação: <math>b|a</math> ;

<math>\qquad</math>"o inteiro <math>a</math> é múltiplo de <math>b</math>"

''Exemplo:''

Os divisores de <math>a=4</math> são <math>b=-2, -1, 1, 2</math>

Todos eles são não-nulos, e temos respectivamente:

<math>4=(-2)\cdot(-2),\quad 4=(-1)\cdot(-4),\quad 4=1\cdot4,\quad 4=2\cdot2</math>

''Atenção:''
* zero só é divisor dele mesmo;
* todos os inteiros são divisores de zero.

== Número primo e números relativamente primos ==
Como <math>1,-1,a,-a</math> sempre são divisores de cada número inteiro <math>a\neq0</math>, dizemos que eles são os ''divisores triviais,'' ou os ''divisores impróprios, de'' <math>a</math>.

'''Número primo''' é todo inteiro <math>p\neq0,\pm1</math> cujos divisores são todos triviais. Isto equivale a dizer que um número primo é todo inteiro <math>p</math> com exatamente quatro divisores: <math>p,-p,1,-1</math>.

'''Número composto''' é todo inteiro <math>k\neq0</math> que tem ao menos um divisor não trivial. Isto equivale a dizer que um número composto é todo inteiro <math>k\neq0</math> com cinco ou mais divisores.

Chamamos de '''divisor comum''' de dois ou mais números inteiros, todo inteiro que seja divisor de cada um desses inteiros.

''Exemplo:''

Os divisores de <math>8</math> são <math>\pm1,\pm2,\pm4,\pm8</math>, enquanto que os divisores de <math>12</math> são <math>\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12</math>. Assim, os divisores comuns de <math>8</math> e <math>12</math> são <math>\pm1,\pm2,\pm4</math>.

Dizemos que dois números inteiros são '''relativamente primos''' se tiverem como divisores comuns apenas os divisores triviais <math>+1</math> e <math>-1</math>. Todo número primo que não dividir um inteiro dado, é relativamente primo com o mesmo.

== Máximo divisor comum (mdc) ==
Chamamos de máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros, o maior dos divisores comuns desses inteiros. A notação <math>mdc(a,b)</math> indicará o máximo divisor comum dos inteiros <math>a</math>, <math>b</math>.

''Exemplo:''

Temos <math>mdc(6,9)=3</math>, pois os divisores comuns de <math>6</math> e <math>9</math> são <math>\pm1</math> e <math>\pm3</math>.

Note que:
* o <math>mdc(a,b)</math> sempre existe, a menos que <math>a=b=0</math>.
* o conjunto de divisores comuns de qualquer conjunto de dois ou mais números inteiros nunca é vazio (pois <math>\pm1</math> sempre são divisores comuns deles) e é finito (pois os divisores de <math>c\neq0</math>estão entre <math>c</math> e <math>-c</math>).
* o <math>mdc(a,b)\geq1</math>, em particular, sempre é positivo.
* <math>mdc(a,b)=mdc(-a,b)=mdc(a,-b)=mdc(-a,-b)</math>.