Mostrar código-fonte de Usuário(a):ASCLM/Testes

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<!-- Edite abaixo desta linha -->
== Definição formal ==
Se {{mvar|T}} é uma transformação linear de um espaço vetorial {{mvar|V}} sobre um corpo {{mvar|F}} em si mesmo e {{math|'''v'''}} é um vetor diferente de zero em {{mvar|V}}, então {{math|'''v'''}} é um autovetor de {{mvar|T}}  se {{mvar|T}}({{math|'''v'''}}) é um múltiplo escalar de {{math|'''v'''}}. Isso pode ser escrito como

<math display="block">T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v},</math><br />
onde {{mvar|λ}} é um escalar em {{mvar|F}}, conhecido como '''autovalor''', '''valor característico''', ou '''raiz característica''' associada a {{math|'''v'''}}.

Existe uma correspondência direta entre [[matrizes quadradas]] ''n-''por-''n'' e transformações lineares de um espaço vetorial [[Dimensional|''n''-dimensional]] para si mesmo, dada qualquer [[Base (álgebra linear)|base]] do espaço vetorial. Portanto, em um espaço vetorial de dimensão finita, é equivalente a definir autovalores e autovetores usando a linguagem de [[Matriz (matemática)|matrizes]], ou a linguagem de transformações lineares.{{sfn|Herstein|1964|pp=228, 229}}{{sfn|Nering|1970|p=38}}

Se {{mvar|V}} é de dimensão finita, a equação acima é equivalente a{{sfn|Weisstein|n.d.}}<math display="block">A\mathbf{u} = \lambda \mathbf{u}.</math>onde {{mvar|A}} é a representação matricial de {{mvar|T}} e {{math|'''u'''}} é o vetor de coordenadas de {{math|'''v'''}}.


==História==
Os autovalores são frequentemente introduzidos no contexto da [[álgebra linear]] ou da [[Matriz (matemática)|teoria das matrizes]]. Historicamente, no entanto, eles surgiram no estudo de [[Forma quadrática|formas quadráticas]] e [[Equação diferencial|equações diferenciais]].

No século XVIII, [[Leonhard Euler]] estudou o movimento rotacional de um [[corpo rígido]], e descobriu a importância dos [[Momento de inércia|eixos principais]].{{efn|Note:
*  In 1751, Leonhard Euler proved that any body has a principal axis of rotation: Leonhard Euler (presented: October 1751; published: 1760) [https://archive.org/stream/histoiredelacad07unkngoog#page/n196/mode/2up "Du mouvement d'un corps solide quelconque lorsqu'il tourne autour d'un axe mobile"] (On the movement of any solid body while it rotates around a moving axis), ''Histoire de l'Académie royale des sciences et des belles lettres de Berlin'', pp. 176–227.  [https://archive.org/stream/histoiredelacad07unkngoog#page/n232/mode/2up On p. 212], Euler proves that any body contains a principal axis of rotation: ''"Théorem.  44.  De quelque figure que soit le corps, on y peut toujours assigner un tel axe, qui passe par son centre de gravité, autour duquel le corps peut tourner librement & d'un mouvement uniforme."''  (Theorem.  44.  Whatever be the shape of the body, one can always assign to it such an axis, which passes through its center of gravity, around which it can rotate freely and with a uniform motion.)
*  In 1755, [[Johann Andreas Segner]] proved that any body has three principal axes of rotation: Johann Andreas Segner, ''Specimen theoriae turbinum'' [Essay on the theory of tops (i.e., rotating bodies)] ( Halle ("Halae"), (Germany): Gebauer, 1755).  ({{google books|plainurl=y|id=89NMAAAAcAAJ|29}} p. xxviiii [29]), Segner derives a third-degree equation in ''t'', which proves that a body has three principal axes of rotation.  He then states (on the same page): ''"Non autem repugnat tres esse eiusmodi positiones plani HM, quia in aequatione cubica radices tres esse possunt, et tres tangentis t valores."''  (However, it is not inconsistent [that there] be three such positions of the plane HM, because in cubic equations, [there] can be three roots, and three values of the tangent t.)
*  The relevant passage of Segner's work was discussed briefly by [[Arthur Cayley]].  See: A. Cayley (1862) "Report on the progress of the solution of certain special problems of dynamics," ''Report of the Thirty-second meeting of the British Association for the Advancement of Science; held at Cambridge in October 1862'', '''32''': 184–252; see especially [{{google books|plainurl=y|id=S_RJAAAAcAAJ|page=225}} pp. 225–226.]}} [[Joseph-Louis Lagrange]] percebeu que os eixos principais são os autovetores da matriz de inércia.{{sfn|Hawkins|1975|loc=§2}}

No início do século XIX, [[Augustin-Louis Cauchy]] viu como seu trabalho poderia ser usado para classificar as [[Quádrica|superfícies quádricas]], e generalizou-o para dimensões arbitrárias.{{sfn|Hawkins|1975|loc=§3}} Cauchy também cunhou o termo ''racine caractéristique'' (raiz característica), para o que agora é chamado de ''autovalor''; seu termo sobrevive na [[Polinômio característico|''equação característica'']].{{efn|{{harvnb|Kline|1972|loc=pp. 807–808}} Augustin Cauchy (1839) "Mémoire sur l'intégration des équations linéaires" (Memoir on the integration of linear equations), ''Comptes rendus'', '''8''': 827–830, 845–865, 889–907, 931–937.  [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2967c/f833.item.r{{=}}.zoom From p. 827:] ''"On sait d'ailleurs qu'en suivant la méthode de Lagrange, on obtient pour valeur générale de la variable prinicipale une fonction dans laquelle entrent avec la variable principale les racines d'une certaine équation que j'appellerai l'''équation caractéristique'', le degré de cette équation étant précisément l'order de l'équation différentielle qu'il s'agit d'intégrer."''  (One knows, moreover, that by following Lagrange's method, one obtains for the general value of the principal variable a function in which there appear, together with the principal variable, the roots of a certain equation that I will call the "characteristic equation", the degree of this equation being precisely the order of the differential equation that must be integrated.)}}

Mais tarde, [[Joseph Fourier]] usou o trabalho de Lagrange e [[Pierre-Simon Laplace]] para resolver a [[equação do calor]] por [[separação de variáveis]] em seu famoso livro de 1822, ''[[Jean Baptiste Joseph Fourier|Théorie analytique de la chaleur]]''.{{sfn|Kline|1972|loc=p. 673}} [[Jacques Charles François Sturm|Charles-François Sturm]] desenvolveu ainda mais as ideias de Fourier e chamou a atenção de Cauchy, que as combinou com suas próprias ideias e chegou ao fato de que [[Matriz simétrica|matrizes simétricas]] reais têm autovalores reais.{{sfn|Hawkins|1975|loc=§3}} Isso foi estendido por [[Charles Hermite]] em 1855 para o que hoje é chamado de [[Matriz hermitiana|matrizes hermitianas]].{{sfn|Kline|1972|loc=pp. 807–808}}

Na mesma época, [[Francesco Brioschi]] provou que os autovalores de [[matrizes ortogonais]] estão no [[círculo unitário]],{{sfn|Hawkins|1975|loc=§3}} e [[Alfred Clebsch]] encontrou o resultado correspondente para [[Matriz antissimétrica|matrizes assimétricas]].{{sfn|Kline|1972|loc=pp. 807–808}} Finalmente, [[Karl Weierstrass]] esclareceu um aspecto importante na teoria da estabilidade iniciada por Laplace, ao perceber que matrizes defeituosas podem causar instabilidade.{{sfn|Hawkins|1975|loc=§3}}

Nesse ínterim, [[Joseph Liouville]] estudou problemas de autovalor semelhantes aos de Sturm; a disciplina que surgiu de seu trabalho agora é chamada de [[teoria de Sturm-Liouville]].{{sfn|Kline|1972|loc=pp. 715–716}} Schwarz estudou o primeiro autovalor da [[equação de Laplace]] em domínios gerais no final do século XIX, enquanto [[Henri Poincaré|Poincaré]] estudou a [[equação de Poisson]] alguns anos depois.{{sfn|Kline|1972|loc=pp. 706–707}}

No início do século 20, [[David Hilbert]] estudou os autovalores dos operadores integrais, visualizando os operadores como matrizes infinitas.{{sfn|Kline|1972|p=1063|loc=p.}} Ele foi o primeiro a usar a palavra [[Língua alemã|alemã]] ''eigen'', que significa "próprio",<ref>www.mathsisfun.com.Retrieved 19 August 2020."Eigenvector and Eigenvalue"</ref> para denotar autovalores e autovetores em 1904,{{efn|See:
*  David Hilbert (1904) [http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN{{=}}PPN252457811_1904&DMDID{{=}}dmdlog11&LOGID{{=}}log11&PHYSID{{=}}phys57#navi "Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen.  (Erste Mitteilung)"] (Fundamentals of a general theory of linear integral equations. (First report)), ''Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse'' (News of the Philosophical Society at Göttingen, mathematical-physical section), pp. 49–91.  [http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN{{=}}PPN252457811_1904&DMDID{{=}}dmdlog11&LOGID{{=}}log11&PHYSID{{=}}phys57#navi From p. 51:] {{lang|de|"Insbesondere in dieser ersten Mitteilung gelange ich zu Formeln, die die Entwickelung einer willkürlichen Funktion nach gewissen ausgezeichneten Funktionen, die ich 'Eigenfunktionen' nenne, liefern: ..."}} (In particular, in this first report I arrive at formulas that provide the [series] development of an arbitrary function in terms of some distinctive functions, which I call ''eigenfunctions'': ... )  Later on the same page: {{lang|de|"Dieser Erfolg ist wesentlich durch den Umstand bedingt, daß ich nicht, wie es bisher geschah, in erster Linie auf den Beweis für die Existenz der Eigenwerte ausgehe, ... "}} (This success is mainly attributable to the fact that I do not, as it has happened until now, first of all aim at a proof of the existence of eigenvalues, ... )
*  For the origin and evolution of the terms eigenvalue, characteristic value, etc., see: [http://jeff560.tripod.com/e.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (E)]}} embora possa ter seguido um uso relacionado por [[Hermann von Helmholtz]]. Por algum tempo, o termo padrão em inglês era "valor adequado", mas o termo mais distinto "valor próprio" é o padrão hoje.{{sfn|Aldrich|2006}}

O primeiro algoritmo numérico para calcular autovalores e autovetores apareceu em 1929, quando [[Richard von Mises]] publicou o [[Método das potências|método da potência]]. Um dos métodos mais populares hoje, o algoritmo QR, foi proposto independentemente por John G. F. Francis{{sfn|Francis|1961|pp=265–271}} e [[Vera Kublanovskaya|Vera Kublanovskaya{{sfn|Kublanovskaya|1962}}]] em 1961.{{sfn|Golub|Van Loan|1996|loc=§7.3}}{{sfn|Meyer|2000|loc=§7.3}}
<references />



== Autovalores e autovetores de matrizes ==
{{See also|Matriz (matemática)|}}

Autovalores e autovetores são frequentemente apresentados aos alunos no contexto de cursos de álgebra linear focados em matrizes.<ref name="CornellMathCourses">Cornell University Department of Mathematics (2016) [http://www.math.cornell.edu/m/Courses/Catalog/lowerlevel ''Lower-Level Courses for Freshmen and Sophomores'']. Accessed on 2016-03-27.</ref><ref name="UMichMathCourses">University of Michigan Mathematics (2016) [https://www.lsa.umich.edu/UMICH/math/Home/Undergrad/Ugrad_Courses.pdf ''Math Course Catalogue''] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151101101339/https://www.lsa.umich.edu/UMICH/math/Home/Undergrad/Ugrad_Courses.pdf|date=2015-11-01}}. Accessed on 2016-03-27.</ref>
Além disso, transformações lineares em um espaço vetorial de dimensão finita podem ser representadas usando matrizes,{{sfn|Herstein|1964|pp=228,229}}{{sfn|Nering|1970|p=38}} o que é especialmente comum em aplicações numéricas e computacionais.{{sfn|Press|Teukolsky|Vetterling|Flannery|2007|p=38}}

[[File:Eigenvalue equation.svg|thumb|right|250px|A matriz ''A'' atua alongando o vetor '''x''', não mudando sua direção, então '''x''' é um autovetor de ''A''.]]

Considere vetores {{mvar|n}}-dimensionais que são formados como uma lista de {{mvar|n}} escalares, como os vetores tridimensionais.
<math display="block">\mathbf x = \begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}\quad\mbox{e}\quad \mathbf y = \begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}.</math>

Esses vetores são ditos múltiplos escalares um do outro, ou [[Paralelismo|paralelos]] ou colineares, se existe um escalar {{mvar|λ}} tal que

<math display="block">\mathbf x = \lambda \mathbf y.</math><br />Nesse caso <math>\lambda = -\frac{1}{20} </math>.

Agora considere a transformação linear de vetores {{mvar|n}}-dimensionais definidos por uma matriz {{mvar|A}} {{mvar|n}}-por-{{mvar|n}},
<math display="block">A \mathbf v = \mathbf w,</math>

ou
<math display="block">\begin{bmatrix}
    A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\
    A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \\
  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
    v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n
  \end{bmatrix}
</math>

onde, para cada linha,
<math display="block">w_i = A_{i1} v_1 + A_{i2} v_2 + \cdots + A_{in} v_n = \sum_{j = 1}^n A_{ij} v_j.</math>

Se ocorrer que {{mvar|v}} e {{mvar|w}} são múltiplos escalares, isto é, se
{{NumBlk|:|<math>A \mathbf v = \mathbf w = \lambda \mathbf v,</math>|{{EquationRef|1}}}}
então {{math|'''v'''}} é um '''autovetor''' da transformação linear {{mvar|A}} e o fator de escala {{mvar|λ}} é o '''autovalor''' correspondente a esse autovetor. A equação ({{EquationNote|1}}) é a '''equação de autovalor''' para a matriz {{mvar|A}}.

A equação ({{EquationNote|1}})  pode ser expressa de forma equivalente como
{{NumBlk|:
 |<math>\left(A - \lambda I \right) \mathbf v = \mathbf 0,</math>
 |{{EquationRef|2}}
}}

onde {{mvar|I}} é a [[matriz identidade]] {{mvar|n}}-por-{{mvar|n}} e '''0''' é o vetor zero.

=== Autovalores e o polinômio característico ===
{{main|Polinômio característico}}

A equação ({{EquationNote|2}}) tem solução ''v'' diferente de zero se e somente se o [[determinante]] da matriz {{nowrap|(''A'' − ''λI'')}} for zero. Portanto, os autovalores de ''A'' são valores de ''λ'' que satisfazem a equação
{{NumBlk|:
 |<math>|A-\lambda I| = 0</math>
 |{{EquationRef|3}}
}}

Usando a [[fórmula de Leibniz para determinantes]], o lado esquerdo da Equação ({{EquationNote|3}}) é uma [[função polinomial]] da variável ''λ'' e o [[Grau de um polinômio|grau]] deste polinômio é ''n'', a ordem da matriz ''A''. Seus [[Coeficiente|coeficientes]] dependem das entradas de ''A'', exceto que seu termo de grau ''n'' é sempre (−1)<sup>''n''</sup>''λ''<sup>''n''</sup>. Este polinômio é chamado de [[polinômio característico]] de ''A''. A equação ({{EquationNote|3}}) é chamada de ''equação característica'' ou ''equação secular'' de ''A''.

O [[teorema fundamental da álgebra]] implica que o polinômio característico de uma matriz ''A'' ''n''-por-''n'', sendo um polinômio de grau ''n'', pode ser [[Fatoração|fatorado]] no produto de ''n'' termos lineares,{{NumBlk|:
 |<math>|A - \lambda I| = (\lambda_1 - \lambda )(\lambda_2 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda),</math>
 |{{EquationRef|4}}
}}

onde cada ''λ''<sub>''i''</sub> pode ser real, mas em geral é um número complexo. Os números ''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>, ..., ''λ''<sub>''n''</sub>, que podem não ter valores distintos, são raízes do polinômio e são os autovalores de ''A''.

Como um breve exemplo, que é descrito em mais detalhes na seção de exemplos mais adiante, considere a matriz<math display=block>A = \begin{bmatrix}
  2 & 1\\
  1 & 2
\end{bmatrix}.</math>Tomando o determinante de {{nowrap|(''A'' − ''λI'')}}, o polinômio característico de ''A'' é<math display="block">|A - \lambda I| = \begin{vmatrix}
    2 - \lambda & 1 \\
    1           & 2 - \lambda
  \end{vmatrix} =
  3 - 4\lambda + \lambda^2.
</math>


Definindo o polinômio característico igual a zero, ele tem raízes em λ=1 e {{nowrap|1=λ=3}}, que são os dois autovalores de ''A''. Os autovetores correspondentes a cada autovalor podem ser encontrados resolvendo os componentes de '''v''' na equação {{nowrap|<math>\left(A - \lambda I\right) \mathbf v = \mathbf 0</math>.}} Neste exemplo, os autovetores são quaisquer múltiplos escalares diferentes de zero de
<math display="block">\mathbf v_{\lambda=1} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf v_{\lambda=3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.</math>

Se as entradas da matriz ''A'' forem todas números reais, então os coeficientes do polinômio característico também serão números reais, mas os autovalores ainda podem ter partes imaginárias diferentes de zero. As entradas dos autovetores correspondentes, portanto, também podem ter partes imaginárias diferentes de zero. Da mesma forma, os autovalores podem ser [[Número irracional|números irracionais]], mesmo que todas as entradas de ''A'' sejam [[Número racional|números racionais]] ou mesmo que sejam todos inteiros. No entanto, se as entradas de ''A'' são todos [[Número algébrico|números algébricos]], que incluem os racionais, os autovalores são números algébricos complexos.

As raízes não reais de um polinômio real com coeficientes reais podem ser agrupadas em pares de [[Conjugado de um número complexo|conjugados complexos]], ou seja, com os dois membros de cada par tendo partes imaginárias que diferem apenas em sinal e a mesma parte real. Se o grau for ímpar, pelo [[teorema do valor intermediário]], pelo menos uma das raízes é real. Portanto, qualquer [[Matriz (matemática)|matriz real]] de ordem ímpar tem pelo menos um autovalor real, enquanto uma matriz real de ordem par pode não ter nenhum autovalor real. Os autovetores associados a esses autovalores complexos também são complexos e também aparecem em pares conjugados complexos.

=== Multiplicidade algébrica ===
Seja ''λ''<sub>''i''</sub> um autovalor de uma matriz ''A'' ''n-''por-''n''. A '''multiplicidade algébrica''' ''μ''<sub>''A''</sub>(''λ''<sub>''i''</sub>) do autovalor é sua multiplicidade como raiz do polinômio característico, ou seja, o maior inteiro ''k'' tal que (''λ'' − ''λ''<sub>''i''</sub>)<sup>''k''</sup> [[Divisão polinomial|divide igualmente]] esse polinômio.{{sfn|Nering|1970|p=107}}{{sfn|Fraleigh|1976|p=358}}{{sfn|Golub|Van Loan|1996|p=316}}

Suponha que uma matriz ''A'' tenha dimensão ''n'' e ''d ≤ n'' autovalores distintos. Considerando que a Equação ({{EquationNote|4}}) fatora o polinômio característico de ''A'' no produto de ''n'' termos lineares com alguns termos potencialmente repetidos, o polinômio característico pode, em vez disso, ser escrito como o produto de ''d'' termos, cada um correspondendo a um autovalor distinto e elevado à potência do multiplicidade algébrica,
<math display=block>|A - \lambda I| = (\lambda_1 - \lambda)^{\mu_A(\lambda_1)}(\lambda_2 - \lambda)^{\mu_A(\lambda_2)} \cdots (\lambda_d - \lambda)^{\mu_A(\lambda_d)}.</math>

Se ''d = n'' então o lado direito é o produto de ''n'' termos lineares e isso é o mesmo que a Equação ({{EquationNote|4}}). O tamanho da multiplicidade algébrica de cada autovalor está relacionado com a dimensão ''n'' como
<math display=block>\begin{align}
      1 &\leq \mu_A(\lambda_i) \leq n, \\
  \mu_A &= \sum_{i=1}^d \mu_A\left(\lambda_i\right) = n.
\end{align} </math>

Se ''μ''<sub>''A''</sub>(''λ''<sub>''i''</sub>) = 1, então ''λ''<sub>''i''</sub> é um autovalor simples.{{sfn|Golub|Van Loan|1996|p=316}} Se ''μ''<sub>''A''</sub>(''λ''<sub>''i''</sub>) é igual à multiplicidade geométrica de ''λ''<sub>''i''</sub>, ''γ''<sub>''A''</sub>(''λ''<sub>''i''</sub>), definida na próxima seção, então ''λ''<sub>''i''</sub> é dito ser um autovalor semisimples.

=== Autoespaços, multiplicidade geométrica e autobase para matrizes ===

Dado um autovalor particular ''λ'' da matriz ''A'' ''n'' por ''n'', defina o [[conjunto]] ''E'' como sendo todos os vetores '''v''' que satisfazem a Equação ({{EquationNote|2}}),
<math display=block>E = \left\{\mathbf{v} : \left(A - \lambda I\right) \mathbf{v} = \mathbf{0}\right\}.</math>

Por um lado, esse conjunto é justamente o [[Núcleo (álgebra linear)|núcleo]] ou espaço nulo da matriz (''A'' − ''λI''). Por outro lado, por definição, qualquer vetor diferente de zero que satisfaça esta condição é um autovetor de ''A'' associado a ''λ''. Assim, o conjunto ''E'' é a [[União (matemática)|união]] do vetor nulo com o conjunto de todos os autovetores de ''A'' associados a ''λ'', e ''E'' é igual ao espaço nulo de (''A'' − ''λI''). E é chamado de '''autoespaço''' ou '''espaço característico''' de ''A'' associado a ''λ''.{{sfn|Anton|1987|pp=305,307}}{{sfn|Nering|1970|p=107}} Em geral ''λ'' é um número complexo e os autovetores são matrizes ''n'' por 1 complexas. Uma propriedade do espaço nulo é que ele é um [[Subespaço vetorial|subespaço linear]], então ''E'' é um subespaço linear de <math>\mathbb{C}^n</math>.

Como o autoespaço ''E'' é um subespaço linear, ele é fechado sob adição. Ou seja, se dois vetores '''u''' e '''v''' pertencem ao conjunto ''E'', escrito {{nowrap|'''u''', '''v''' ∈ ''E''}}, então {{nowrap|('''u''' + '''v''') ∈ ''E''}} ou equivalentemente {{nowrap|1=''A''('''u''' + '''v''') = ''λ''('''u''' + '''v''')}}. Isso pode ser verificado usando a propriedade [[Distributividade|distributiva]] da multiplicação de matrizes. Da mesma forma, como ''E'' é um subespaço linear, ele é fechado sob multiplicação escalar. Ou seja, se {{nowrap|'''v''' ∈ ''E''}} e ''α'' é um número complexo, {{nowrap|(''α'''''v''') ∈ ''E''}} ou equivalentemente {{nowrap|1=''A''(''α'''''v''') = ''λ''(''α'''''v''')}}. Isso pode ser verificado observando que a multiplicação de matrizes complexas por números complexos é [[Comutatividade|comutativa]]. Desde que '''u''' + '''v''' e ''α'''''v''' não sejam zero, eles também são autovetores de ''A'' associados a ''λ''.

A dimensão do autoespaço ''E'' associado a ''λ'', ou equivalentemente o número máximo de autovetores linearmente independentes associados a ''λ'', é referido como a '''multiplicidade geométrica''' do autovalor ''γ''<sub>''A''</sub>(''λ''). Como ''E'' também é o espaço nulo de (''A'' − ''λI''), a multiplicidade geométrica de ''λ'' é a dimensão do espaço nulo de (''A'' − ''λI''), também chamada de nulidade de (''A'' − ''λI''), que se relaciona com a dimensão e o posto de (''A'' − ''λI'') como

<math display="block">\gamma_A(\lambda) = n - \operatorname{rank}(A - \lambda I).</math>


Devido à definição de autovalores e autovetores, a multiplicidade geométrica de um autovalor deve ser pelo menos um, ou seja, cada autovalor tem pelo menos um autovetor associado. Além disso, a multiplicidade geométrica de um autovalor não pode exceder sua multiplicidade algébrica. Além disso, lembre-se de que a multiplicidade algébrica de um autovalor não pode exceder ''n''.

<math display="block"> 1 \le \gamma_A(\lambda) \le \mu_A(\lambda) \le n</math>

Para provar a desigualdade <math>\gamma_A(\lambda)\le\mu_A(\lambda)</math>, considere como a definição de multiplicidade geométrica implica a existência de <math>\gamma_A(\lambda)</math>  autovetores ortonormais <math>\boldsymbol{v}_1,\, \ldots,\, \boldsymbol{v}_{\gamma_A(\lambda)}</math>, de tal modo que <math>A \boldsymbol{v}_k = \lambda \boldsymbol{v}_k</math>. Podemos, portanto, encontrar uma matriz (unitária) <math>V</math> cujo primeiro <math>\gamma_A(\lambda)</math> colunas são esses autovetores e cujas colunas restantes podem ser qualquer conjunto ortonormal de <math>n - \gamma_A(\lambda)</math> vetores ortogonais a esses autovetores de <math>A</math>. Então <math>V</math> tem posto completo e, portanto, é invertível, e <math>AV=VD</math> com <math>D</math> uma matriz cujo bloco superior esquerdo é a matriz diagonal <math>\lambda I_{\gamma_A(\lambda)}</math>. Isso implica que <math>(A - \xi I)V = V(D - \xi I)</math>. Em outras palavras, <math>A - \xi I</math> é similar a <math>D - \xi I</math>, o que implica que <math>\det(A - \xi I) = \det(D - \xi I)</math>. Mas a partir da definição de <math>D</math> nós sabemos isso <math>\det(D - \xi I)</math> contém um fator <math>(\xi - \lambda)^{\gamma_A(\lambda)}</math>, o que significa que a multiplicidade algébrica de <math>\lambda</math> deve satisfazer <math>\mu_A(\lambda) \ge \gamma_A(\lambda)</math>.

Suponha <math>A</math> tem <math>d \leq n</math> autovalores distintos <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_d</math>, onde a multiplicidade geométrica de <math>\lambda_i</math> é <math>\gamma_A (\lambda_i)</math>. A multiplicidade geométrica total de <math>A</math>,<math display="block">\begin{align}
  \gamma_A &= \sum_{i=1}^d \gamma_A(\lambda_i), \\
         d &\le \gamma_A \le n,
\end{align}</math>


é a dimensão da soma de todos os autoespaços de autovalores de <math>A</math>, ou equivalentemente o número máximo de autovetores linearmente independentes de <math>A</math>. Se <math>\gamma_A=n</math>, então
* A soma direta dos autoespaços de todos os autovalores de <math>A</math> é todo o espaço vetorial <math>\mathbb{C}^n</math>.
* Uma base de <math>\mathbb{C}^n</math> pode ser formado a partir de <math>n</math> autovetores linearmente independentes de <math>A</math>; tal base é chamada de '''autobase'''.
* Qualquer vetor em <math>\mathbb{C}^n</math> pode ser escrita como uma combinação linear de autovetores de <math>A</math>. 

=== Propriedades adicionais de autovalores ===
Deixar <math>A</math> ser um arbitrário <math>n \times n</math> matriz de números complexos com autovalores <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n</math>. Cada autovalor aparece <math>\mu_A(\lambda_i)</math> vezes nesta lista, onde <math>\mu_A(\lambda_i)</math> é a multiplicidade algébrica do autovalor. A seguir estão as propriedades desta matriz e seus autovalores:
* O [[Traço (álgebra linear)|traço]] de <math>A</math>, definido como a soma de seus elementos diagonais, é também a soma de todos os autovalores,{{sfn|Beauregard|Fraleigh|1973|p=307}}{{sfn|Herstein|1964|p=272}}{{sfn|Nering|1970|pp=115–116}}
*: <math>\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii} = \sum_{i=1}^n \lambda_i = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n.</math>
* O [[determinante]] de <math>A</math> é o produto de todos os seus autovalores,{{sfn|Beauregard|Fraleigh|1973|p=307}}{{sfn|Herstein|1964|p=290}}{{sfn|Nering|1970|p=116}}
*: <math>\det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i = \lambda_1\lambda_2 \cdots \lambda_n.</math>
* Os autovalores do <math>k</math> o poder de <math>A</math>; ou seja, os autovalores de <math>A^k</math>, para qualquer inteiro positivo <math>k</math>, está <math>\lambda_1^k, \ldots, \lambda_n^k</math>.
* O Matrix <math>A</math> é [[Matriz inversa|invertível]] se e somente se todo autovalor for diferente de zero.
* Se <math>A</math> é invertível, então os autovalores de <math>A^{-1}</math> são <math display="inline">\frac{1}{\lambda_1}, \ldots, \frac{1}{\lambda_n}</math> e a multiplicidade geométrica de cada autovalor coincide. Além disso, como o polinômio característico da inversa é o polinômio recíproco do original, os autovalores compartilham a mesma multiplicidade algébrica. 
* Se <math>A</math> é igual a sua transposta conjugada <math>A^*</math>, ou equivalente se <math>A</math> é hermitiana, então todo autovalor é real. O mesmo vale para qualquer matriz real [[Matriz simétrica|simétrica]]. 
* Se <math>A</math> não é apenas hermitiana, mas também [[Matriz positiva definida|positiva definida]], semidefinida positiva, definida negativa ou semidefinida negativa, então todo autovalor é positivo, não negativo, negativo ou não positivo, respectivamente. 
* Se <math>A</math> é [[Matriz unitária|unitário]], todo autovalor tem valor absoluto <math>|\lambda_i|=1</math>.
* E se <math>A</math> é um <math>n\times n</math> matriz e <math>\{\lambda_1,\ldots,\lambda_k\}</math> são seus autovalores, então os autovalores da matriz <math>I+A</math> (Onde <math>I</math> é a matriz identidade) são <math>\{\lambda_1+1,\ldots,\lambda_k+1\}</math>. Além disso, se <math>\alpha\in\mathbb C</math>, os autovalores de <math>\alpha I+A</math> são <math>\{\lambda_1+\alpha,\ldots,\lambda_k+\alpha\}</math>. Mais geralmente, para um polinômio <math>P</math> os autovalores da matriz <math>P(A)</math> são <math>\{P(\lambda_1), \ldots, P(\lambda_k)\}</math>.

=== Autovetores esquerdo e direito ===
Muitas disciplinas tradicionalmente representam vetores como matrizes com uma única coluna em vez de matrizes com uma única linha. Por essa razão, a palavra "autovetor" no contexto de matrizes quase sempre se refere a um '''autovetor à direita''', ou seja, um vetor ''coluna'' que multiplica à ''direita'' o <math>n \times n</math> matriz <math>A</math> na equação definidora, Equação ({{EquationNote|1}}),

<math display="block">A \mathbf v = \lambda \mathbf v.</math>


O problema de autovalor e autovetor também pode ser definido para vetores de ''linha que deixaram'' a matriz de multiplicação <math>A</math>. Nesta formulação, a equação definidora é

<math display="block">\mathbf u A = \kappa \mathbf u,</math>


Onde <math>\kappa</math> é um escalar e <math>u</math> é uma matriz <math>1 \times n</math>. Qualquer vetor linha <math>u</math> satisfazendo esta equação é chamado de '''autovetor esquerdo''' de <math>A</math> e <math>\kappa</math> é o seu autovalor associado. Fazendo a transposta dessa equação,
<math display="block">A^\textsf{T} \mathbf u^\textsf{T} = \kappa \mathbf u^\textsf{T}.</math>

Comparando esta equação com a Equação ({{EquationNote|1}}), segue-se imediatamente que um autovetor esquerdo de <math>A</math> é o mesmo que a transposição de um autovetor à direita de <math>A^\textsf{T}</math>, com o mesmo autovalor. Além disso, como o polinômio característico de <math>A^\textsf{T}</math> é o mesmo que o polinômio característico de <math>A</math>, os autovalores dos autovetores esquerdos de <math>A</math> são os mesmos que os autovalores dos autovetores corretos de <math>A^\textsf{T}</math>.

=== Diagonalização e autodecomposição ===
Suponha que os autovetores de ''A'' formem uma base, ou equivalentemente ''A'' tem ''n'' autovetores linearmente independentes '''v'''<sub>1</sub>, '''v'''<sub>2</sub>, ..., '''v'''<sub>''n''</sub> com autovalores associados ''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>, ..., ''λ''<sub>''n''</sub>. Os autovalores não precisam ser distintos. Defina uma [[Matriz (matemática)|matriz quadrada]] ''Q'' cujas colunas são os ''n'' autovetores linearmente independentes de ''A'',
: <math>Q = \begin{bmatrix} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \cdots & \mathbf v_n \end{bmatrix}.</math>

Como cada coluna de ''Q'' é um autovetor de ''A'', a multiplicação à direita de ''A'' por ''Q'' escala cada coluna de ''Q'' por seu autovalor associado,
: <math>AQ = \begin{bmatrix} \lambda_1 \mathbf v_1 & \lambda_2 \mathbf v_2 & \cdots & \lambda_n \mathbf v_n \end{bmatrix}.</math>

Com isso em mente, defina uma matriz diagonal Λ onde cada elemento diagonal Λ<sub>''ii''</sub> é o autovalor associado à i-ésima coluna de ''Q''. Então
: <math>AQ = Q\Lambda.</math>

Como as colunas de ''Q'' são linearmente independentes, ''Q'' é invertível. Multiplicando à direita ambos os lados da equação por ''Q''<sup>−1</sup>,
: <math>A = Q\Lambda Q^{-1},</math>

ou, em vez disso, multiplicando ambos os lados por ''Q''<sup>−1</sup>,
: <math>Q^{-1}AQ = \Lambda.</math>

''A'' pode, portanto, ser decomposto em uma matriz composta por seus autovetores, uma matriz diagonal com seus autovalores ao longo da diagonal e o inverso da matriz de autovetores. Isso é chamado de autodecomposição e é uma transformação de similaridade. Tal matriz ''A'' é dita ''similar'' à matriz diagonal Λ ou [[Matriz diagonalizável|diagonalizável]]. A matriz ''Q'' é a matriz de mudança de base da transformação de similaridade. Essencialmente, as matrizes ''A'' e Λ representam a mesma transformação linear expressa em duas bases diferentes. Os autovetores são usados como base ao representar a transformação linear como Λ.

Reciprocamente, suponha que uma matriz ''A'' seja diagonalizável. Seja ''P'' uma matriz quadrada não singular tal que ''P''<sup>−1</sup>''AP'' seja alguma matriz diagonal ''D''. Esquerda multiplicando ambos por ''P'', ''AP'' = ''PD''. Cada coluna de ''P'' deve, portanto, ser um autovetor de ''A'' cujo autovalor é o elemento diagonal correspondente de ''D''. Como as colunas de ''P'' devem ser linearmente independentes para que ''P'' seja invertível, existem ''n'' autovetores linearmente independentes de ''A''. Segue-se então que o autovetores de ''A'' formam uma base se e somente se ''A'' é diagonalizável.

Uma matriz que não é diagonalizável é dita defeituosa. Para matrizes defeituosas, a noção de autovetores generaliza para [[Autovetor generalizado|autovetores generalizados]] e a matriz diagonal de autovalores generaliza para a [[Forma canônica de Jordan|forma normal de Jordan]]. Sobre um corpo algebricamente fechado, qualquer matriz ''A'' tem uma [[Forma canônica de Jordan|forma normal de Jordan]] e, portanto, admite uma base de autovetores generalizados e uma decomposição em autoespaços generalizados.

=== Exemplos de matrizes ===

==== Exemplo de matriz bidimensional ====
[[File:Eigenvectors.gif|right|frame|A matriz de transformação ''A'' = <math>\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right]</math> preserva a direção dos vetores roxos paralelos a '''v'''<sub>''λ''=1</sub> = [1 −1]<sup>T</sup> e vetores azuis paralelos a '''v'''<sub>''λ''=3</sub> = [1 1]<sup>T</sup>. Os vetores vermelhos não são paralelos a nenhum dos autovetores, portanto, suas direções são alteradas pela transformação. Os comprimentos dos vetores roxos permanecem inalterados após a transformação (devido ao seu autovalor de 1), enquanto os vetores azuis são três vezes o comprimento do original (devido ao seu autovalor de 3). Veja também: [[:File:Eigenvectors-extended.gif|An extended version, showing all four quadrants]].]]

Considere a matriz
<math display="block">A = \begin{bmatrix}
  2 & 1\\
  1 & 2
\end{bmatrix}.</math>

A figura à direita mostra o efeito desta transformação nas coordenadas do ponto no plano. Os autovetores ''v'' desta transformação satisfazem a Equação ({{EquationNote|1}}), e os valores de ''λ'' para os quais o determinante da matriz (''A'' − ''λI'') é igual a zero são os autovalores.

Tomando o determinante para encontrar o polinômio característico de ''A'',<math display="block">\begin{align}
     |A - \lambda I| 
  &= \left|\begin{bmatrix}
    2 & 1 \\
    1 & 2
  \end{bmatrix} - \lambda\begin{bmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix}\right| = \begin{vmatrix}
    2 - \lambda & 1 \\
    1           & 2 - \lambda
  \end{vmatrix} \\[6pt]
     &= 3 - 4\lambda + \lambda^2 \\[6pt]
     &= (\lambda - 3)(\lambda - 1).
\end{align}</math>

Igualando o polinômio característico a zero, ele tem raízes em {{nowrap|1=''λ''=1}} e {{nowrap|1=''λ''=3}}, que são os dois autovalores de ''A''.

Para {{nowrap|1=''λ''=1}}, a Equação ({{EquationNote|2}}) torna-se,
<math display="block">(A - I)\mathbf{v}_{\lambda=1} = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1 \\ v_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}</math>
<math display="block">1v_1 + 1v_2 = 0</math>

Qualquer vetor diferente de zero com ''v''<sub>1</sub> = −''v''<sub>2</sub> resolve esta equação. Portanto,
<math display="block">\mathbf{v}_{\lambda=1} = \begin{bmatrix} v_1 \\ -v_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}</math>
é um autovetor de ''A'' correspondente a ''λ'' = 1, assim como qualquer múltiplo escalar desse vetor.

Para {{nowrap|1=''λ''=3}}, a Equação ({{EquationNote|2}}) torna-se
<math display="block">\begin{align}
  (A - 3I)\mathbf{v}_{\lambda=3} &=
  \begin{bmatrix} -1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} =
    \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\
  -1v_1 + 1v_2 &= 0;\\
   1v_1 - 1v_2 &= 0
\end{align}</math>

Qualquer vetor diferente de zero com ''v''<sub>1</sub> = ''v''<sub>2</sub> resolve esta equação. Portanto,
<math display="block">\mathbf v_{\lambda=3} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}</math>

é um autovetor de ''A'' correspondente a ''λ'' = 3, assim como qualquer múltiplo escalar desse vetor.

Assim, os vetores '''v'''<sub>''λ''=1</sub> e '''v'''<sub>''λ''=3</sub> são autovetores de ''A'' associados aos autovalores {{nowrap|1=''λ''=1}} e {{nowrap|1=''λ''=3}}, respectivamente.

==== Exemplo de matriz tridimensional ====
Considere a matriz
<math display="block">A = \begin{bmatrix}
  2 & 0 & 0 \\
  0 & 3 & 4 \\
  0 & 4 & 9
\end{bmatrix}.</math>

O polinômio característico de ''A'' é
<math display="block">\begin{align}
  |A-\lambda I| &= \left|\begin{bmatrix}
    2 & 0 & 0 \\
    0 & 3 & 4 \\
    0 & 4 & 9
  \end{bmatrix} - \lambda\begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}\right| =
  \begin{vmatrix}
    2 - \lambda & 0 & 0 \\
    0 & 3 - \lambda & 4 \\
    0 & 4 & 9 - \lambda
  \end{vmatrix}, \\[6pt]
                &= (2 - \lambda)\bigl[(3 - \lambda)(9 - \lambda) - 16\bigr]
                 = -\lambda^3 + 14\lambda^2 - 35\lambda + 22.
\end{align}</math>

As raízes do polinômio característico são 2, 1 e 11, que são os únicos três autovalores de ''A''. Esses autovalores correspondem aos autovetores {{nowrap|<math>\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^\textsf{T}</math>,}} {{nowrap|<math>\begin{bmatrix} 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}^\textsf{T}</math>,}} e {{nowrap|<math>\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}^\textsf{T}</math>,}} ou qualquer múltiplo diferente de zero.

==== Exemplo de matriz tridimensional com autovalores complexos ====
Considere a [[matriz de permutação]] cíclica
<math display=block>A = \begin{bmatrix}
  0 & 1 & 0\\
  0 & 0 & 1\\
  1 & 0 & 0
\end{bmatrix}.</math>

Esta matriz desloca as coordenadas do vetor para cima em uma posição e move a primeira coordenada para baixo. Seu polinômio característico é 1 −''λ''<sup>3</sup>, cujas raízes são
<math display=block>\begin{align}
  \lambda_1 &= 1 \\
  \lambda_2 &= -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \\
  \lambda_3 &= \lambda_2^* = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{align}</math>

onde <math>i</math> é uma [[unidade imaginária]] com {{nowrap|<math>i^2 = -1</math>.}}

Para o autovalor real ''λ''<sub>1</sub> = 1, qualquer vetor com três entradas iguais diferentes de zero é um autovetor. Por exemplo,
<math display=block>
    A \begin{bmatrix} 5\\ 5\\ 5 \end{bmatrix} =
    \begin{bmatrix} 5\\ 5\\ 5 \end{bmatrix} =
    1 \cdot \begin{bmatrix} 5\\ 5\\ 5 \end{bmatrix}.
</math>

Para o par complexo conjugado de autovalores imaginários,
<math display=block>\lambda_2\lambda_3 = 1, \quad \lambda_2^2 = \lambda_3, \quad \lambda_3^2 = \lambda_2.</math>

Então
<math display=block>
  A \begin{bmatrix} 1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{bmatrix} =
    \begin{bmatrix} \lambda_2 \\ \lambda_3 \\ 1 \end{bmatrix} =
    \lambda_2 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{bmatrix},
</math>

e
<math display=block>
  A \begin{bmatrix} 1 \\ \lambda_3 \\ \lambda_2 \end{bmatrix} =
    \begin{bmatrix} \lambda_3 \\ \lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix} =
    \lambda_3 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ \lambda_3 \\ \lambda_2 \end{bmatrix}.
</math>

Portanto, os outros dois autovetores de ''A'' são complexos e são <math>\mathbf v_{\lambda_2} = \begin{bmatrix} 1 & \lambda_2 & \lambda_3\end{bmatrix}^\textsf{T}</math> e <math>\mathbf v_{\lambda_3} = \begin{bmatrix} 1 & \lambda_3 & \lambda_2\end{bmatrix}^\textsf{T}</math> com autovalores ''λ''<sub>2</sub> e ''λ''<sub>3</sub>, respectivamente. Os dois autovetores complexos também aparecem em um par conjugado complexo,
<math display=block>\mathbf v_{\lambda_2} = \mathbf v_{\lambda_3}^*.</math>

==== Exemplo de matriz diagonal ====
Matrizes com entradas apenas ao longo da diagonal principal são chamadas de ''[[Matriz diagonal|matrizes diagonais]]''. Os autovalores de uma matriz diagonal são os próprios elementos diagonais. Considere a matriz
<math display=block>A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}.</math>

O polinômio característico de ''A'' é<math display=block>|A - \lambda I| = (1 - \lambda)(2 - \lambda)(3 - \lambda),</math>


que tem as raízes {{nowrap|1=''λ''<sub>1</sub> = 1}}, {{nowrap|1=''λ''<sub>2</sub> = 2}} e {{nowrap|1=''λ''<sub>3</sub> = 3}}. Essas raízes são os elementos diagonais, bem como os autovalores de ''A''.

Cada elemento da diagonal corresponde a um autovetor cujo único componente diferente de zero está na mesma linha daquele elemento da diagonal. No exemplo, os autovalores correspondem aos autovetores,
<math display="block">
  \mathbf v_{\lambda_1} = \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix},\quad
  \mathbf v_{\lambda_2} = \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix},\quad
  \mathbf v_{\lambda_3} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix},
</math>

respectivamente, bem como múltiplos escalares desses vetores.

==== Exemplo de matriz triangular ====
Uma matriz cujos elementos acima da diagonal principal são todos nulos é chamada de ''[[matriz triangular]] inferior'', enquanto uma matriz cujos elementos abaixo da diagonal principal são todos nulos é chamada de ''matriz triangular superior''. Assim como nas matrizes diagonais, os autovalores das matrizes triangulares são os elementos da diagonal principal.

Considere a matriz triangular inferior,
<math display="block">A = \begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0\\
  1 & 2 & 0\\
  2 & 3 & 3
\end{bmatrix}.</math>

O polinômio característico de ''A'' é
<math display="block">|A - \lambda I| = (1 - \lambda)(2 - \lambda)(3 - \lambda),</math>

que tem as raízes {{nowrap|1=''λ''<sub>1</sub> = 1}}, {{nowrap|1=''λ''<sub>2</sub> = 2}} e {{nowrap|1=''λ''<sub>3</sub> = 3}}. Essas raízes são os elementos diagonais, bem como os autovalores de ''A''.

Esses autovalores correspondem aos autovetores,<math display="block">
  \mathbf v_{\lambda_1} = \begin{bmatrix} 1\\ -1\\  \frac{1}{2}\end{bmatrix},\quad
  \mathbf v_{\lambda_2} = \begin{bmatrix} 0\\  1\\ -3\end{bmatrix},\quad
  \mathbf v_{\lambda_3} = \begin{bmatrix} 0\\  0\\  1\end{bmatrix},
</math>

respectivamente, bem como múltiplos escalares desses vetores.

==== Exemplo de matriz com autovalores repetidos ====
Como no exemplo anterior, a matriz triangular inferior
<math display="block">A = \begin{bmatrix}
  2 & 0 & 0 & 0 \\
  1 & 2 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 3 & 0  \\
  0 & 0 & 1 & 3
\end{bmatrix},</math>

tem um polinômio característico que é o produto de seus elementos diagonais,
<math display="block">|A - \lambda I| = \begin{vmatrix}
    2 - \lambda & 0 & 0 & 0 \\
    1 & 2- \lambda & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 3- \lambda & 0  \\
    0 & 0 & 1 & 3- \lambda
  \end{vmatrix} =
  (2 - \lambda)^2(3 - \lambda)^2.
</math>

As raízes deste polinômio e, portanto, os autovalores, são 2 e 3. A ''multiplicidade algébrica'' de cada autovalor é 2; em outras palavras, ambas são raízes duplas. A soma das multiplicidades algébricas de todos os autovalores distintos é ''μ''<sub>''A''</sub> = 4 = ''n'', a ordem do polinômio característico e a dimensão de ''A''.

Por outro lado, a ''multiplicidade geométrica'' do autovalor 2 é apenas 1, porque seu autoespaço é gerado por apenas um vetor <math>\begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}^\textsf{T}</math> e é, portanto, unidimensional. Da mesma forma, a multiplicidade geométrica do autovalor 3 é 1 porque seu autoespaço é gerado por apenas um vetor <math>\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^\textsf{T}</math>. A multiplicidade geométrica total ''γ''<sub>''A''</sub> é 2, que é a menor que poderia ser para uma matriz com dois autovalores distintos. Multiplicidades geométricas são definidas em uma seção posterior.

=== Identidade autovetor-autovalor ===
Para uma [[matriz hermitiana]], a norma ao quadrado do componente j-ésima de um autovetor normalizado pode ser calculada usando apenas os autovalores da matriz e os autovalores da [[Menor (álgebra linear)|matriz menor]] correspondente,
<math display="block">|v_{i,j}|^2 = \frac{\prod_{k}{(\lambda_i-\lambda_k(M_j))}}{\prod_{k \neq i}{(\lambda_i-\lambda_k)}},</math>
Onde <math display="inline">M_j</math> é a submatriz formada pela remoção da j-ésima linha e coluna da matriz original.{{sfn|Wolchover|2019}}{{sfn|Denton|Parke|Tao|Zhang|2022}}{{sfn|Van Mieghem|2014}} Essa identidade também se estende a [[Matriz diagonalizável|matrizes diagonalizáveis]] e foi redescoberta muitas vezes na literatura.{{sfn|Denton|Parke|Tao|Zhang|2022}}
<references group="lower-alpha" />