Índice de Miller: diferenças entre revisões
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Em [[cristalografia]], o '''índice de Miller''' é usado para descrever o conjunto de planos existentes num [[cristal]]. |
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'''Índices de Miller''' são uma notação utilizada em cristalografia para definir famílias de planos em uma rede cristalina de Bravais. Isto é feito indicando-se as coordenadas de um vetor no espaço recíproco, que é normal à família de planos. Em três dimensões, os índices de Miller são representados pela tripla entre parênteses (hkl), onde h,k e l são inteiros com maior divisor comum igual a 1. Se algum dos inteiros é negativo, a convenção é escrever o número com uma barra em cima, no lugar do sinal de negativo, como no caso <math>\bar{h}</math> no lugar de <math>-h</math>. |
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Uma outra convenção é denotar uma direção no espaço direto com os índices entre colchetes [uvw] onde u, v e w são inteiros com maior divisor comum igual a 1. Assim, o eixo <math>\mathbf{a}_1</math> é a direção <math>[100]</math>, o eixo <math>-\mathbf{a}_2</math> a direção <math>[0\bar{1}0]</math>. Como no caso u, v e w são as coordenadas com respeito à base direta, essa direção não é, em geral, perpendicular ao plano (uvw). Em particular, em sistemas com base direta ortogonal, a direção [uvw] é de fato perpendicular ao plano (uvw). |
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A posição e orientação do plano de um cristal é determinada por três pontos (do eixo cristalino) não colineares. Os índices de Miller não são exatamente o valor da interseção dos planos com o eixo. |
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Quando temos um plano que intercepta 3 eixos e um valor (x,0,0),(0,y,0)e(0,0,z) representamos essas interseções por x y z. Invertendo a presentação obtemos 1/x 1/y 1/z, onde daí tiramos os três menores inteiros que satifazem a relação (1/x 1/y 1/z) representando tais números como (hkl). |
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==Definição== |
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Exemplo: Supondo um paralelepípedo de arestas 1,2,3 com um dos vértices na origem. Ou seja os planos que interceptam os eixos x,y,z são: (1,0,0),(0,2,0) e (0,0,3) então a interseção é:1 2 3 |
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A orientação de um plano cristalino é unicamente determinada por três pontos não colineares do plano. Se cada ponto é a interseção do plano com cada um dos três eixos cristalinos (se o plano é paralelo ao eixo, toma-se a interseção como sendo no infinito), o plano pode ser determinado fornecendo-se a coordenada da interseção com cada eixo em função dos vetores da base, <math>\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3</math>. |
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invertendo os números temos 1 1/2 1/3 os menores inteiros que satisfazem essa relação são os números: (1,2,3) os quais são os índices de miller. |
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Uma vez definido o plano a ser estudado, a determinação dos índices de Miller segue as seguintes etapas<ref>Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics (7th Edition)</ref>: |
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* Determinar as interseções do plano nos eixos da base direta. Os eixos podem ser de uma célula primitiva ou não. |
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O índice de Miller com 4 números (h k l m) é usado nos sistemas cristalográficos [[Sistema cristalino hexagonal|hexagonal]] e [[Sistema cristalino romboédrico|romboédrico]]. |
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* Tomar os valores recíprocos e reduzir para números inteiros através da multiplicação por um fator comum. Geralmente são escolhidos o menor conjunto de inteiros. A tripla entre parênteses (hkl), é denominada índice de Miller. |
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{{esboço-cristalografia}} |
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{{esboço-química}} |
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{{esboço-mineralogia}} |
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Por exemplo, se as interseções x, y e z forem 1, 3, 5, os índices de Miller são calculados da seguinte forma. |
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[[Categoria:Cristalografia|I]] |
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* Tomar os valores recíprocos: <math>\frac{1}{1},\frac{1}{3},\frac{1}{5}</math> |
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[[ar:مؤشرات ميلر البلورية]] |
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* Reduzir aos menores termos inteiros: (15 5 3) |
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[[bg:Индекс на Милър]] |
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[[de:Millersche Indizes]] |
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Por convenção, os índices de Miller de um plano são representados entre parênteses, dessa forma, o plano utilizado como exemplo pode ser descrito pelos seguintes índices de Miller: (15 5 3). |
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[[en:Miller index]] |
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Se o plano é paralelo a um eixo, a interseção é considerada como ocorrendo no infinito, portanto, o índice de Miller é igual a zero. |
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[[es:Índice de Miller]] |
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[[fi:Millerin indeksit]] |
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[[fr:Indices de Miller et indices de direction]] |
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[[he:אינדקס מילר]] |
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[[it:Indici di Miller]] |
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==Propriedades== |
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[[ja:ミラー指数]] |
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[[kk:Кристаллографиялық индекстер]] |
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Para entender algumas das propriedades do índice de Miller, considere a seguinte definição dos vetores da base recíproca de uma rede de bravais: |
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[[nl:Miller-index]] |
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Dado uma base do cristal no espaço direto, <math>\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3</math>, a base no espaço recíproco é dada pelas seguintes relações: |
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[[pl:Wskaźniki Millera]] |
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[[ru:Индексы Миллера]] |
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<math>\mathbf{b}_1 = 2\pi\frac{\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3}{\mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3}</math>, |
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[[sk:Millerov symbol]] |
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<math>\mathbf{b}_2 = 2\pi\frac{\mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3}</math>, |
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[[sl:Millerjevi indeksi]] |
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<math>\mathbf{b}_3 = 2\pi\frac{\mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2}{\mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3}</math> |
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[[sr:Милерови индекси]] |
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[[sv:Millerindex]] |
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De modo que cada vetor da base recíproca é perpendicular a dois vetores da base direta. Tomando o produto escalar entre os vetores das duas bases conclui-se que: |
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[[uk:Індекси Міллера]] |
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[[zh:密勒指数]] |
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<math>\mathbf{a}_i \cdot \mathbf{b}_j=2\pi\partial_{ij}</math> |
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===Índices determinam um vetor normal no espaço recíproco=== |
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'''Teorema:''' Um vetor do espaço recíproco (<math>\mathbf{G} = h\mathbf{b}_1 + k\mathbf{b}_2 + l\mathbf{b}_3</math>) com coordenadas iguais aos índices de Miller de um plano (hkl) é perpendicular a esse plano. |
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'''Demonstração:''' |
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Da definição, o plano (hkl) intercepta os eixos da base direta nos pontos <math>\frac{1}{h}, \frac{1}{k}, \frac{1}{l}</math> respectivamente. Logo, dois vetores que pertencem ao plano são: |
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<math>\mathbf{u} = \frac{1}{h}\mathbf{a}_1 - \frac{1}{l}\mathbf{a}_3</math> e <math>\mathbf{v} = \frac{1}{k}\mathbf{a}_2 - \frac{1}{l}\mathbf{a}_3</math> |
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Tomando o produto escalar de '''G''' com um vetor genérico do plano, e usando <math>\mathbf{a}_i \cdot \mathbf{b}_j=2\pi\partial_{ij}</math> tem-se: |
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<math> \mathbf{G} \cdot ( x \mathbf{u} + y \mathbf{v} ) = x ( \mathbf{b}_1 \cdot \mathbf{a}_1 - \mathbf{b}_3 \cdot \mathbf{a}_3 )+ y ( \mathbf{b}_2 \cdot \mathbf{a}_2-\mathbf{b}_3 \cdot \mathbf{a}_3)=0</math> |
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onde x,y são números reais arbitrários. |
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Logo, '''G''' é perpendicular ao plano (hkl). |
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===Distância entre planos adjacentes=== |
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'''Teorema:''' A distância entre planos adjacentes é <math>\frac{2\pi}{|\mathbf{G}|}</math>. |
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'''Demonstração:''' |
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Ao traçar uma família de planos cristalinos paralelos, sempre é possível escolher uma célula (primitiva ou não) cuja origem pertence a um plano dessa família. Desse modo, a distância entre planos adjacentes é a distância do plano (hkl) até a origem do sistema da célula cristalina. O problema se resume então a determinar a distância de um plano até a origem. |
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Um vetor normal ao plano é G = hb1 + kb2 + lb3, então, os pontos (x,y,z) que pertencem a uma reta perpendicular ao plano e que passa pela origem é: |
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(x,y,z) = G |
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Como a reta é perpendicular ao plano, a distância deste até a origem é dada pela projeção de um vetor qualquer que liga a origem ao plano, na direção da reta. Um destes vetores éu=1/la3. |
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Logo: |
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u.G/|G| = 2Pi/|G| |
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==Direções cristalográficas e variação nas propriedades dos materiais== |
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As direções cristalográficas estão ligadas aos determinados índices de Miller dos planos tratados. Uma vez que é sabida a anisotropia de diversas propriedades dos materiais, é possível associá-las as diferentes direções cristalográficas, por exemplo: |
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Uma vez que o estudo dos materiais foi intensificado, ficou-se cada vez mais claro a possibilidade de análise de propriedades térmicas, elétricas, mecânicas entre outras em diferentes direções do material. Por exemplo: |
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*Propriedades Ópticas: Espalhamento da radiação depende do fator de forma de um material. Assim sendo, átomos mais próximos apresentam um efeito diferente do de átomos mais afastados. |
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*Propriedades Elétricas: A condução em um determinado material é influenciada pela direção do cristal na qual é analisada. Um exemplo é o grafite, que conduz eletricidade na direção dos planos atômicos, porém perpendicularmente a eles apresenta comportamento isolante. <ref>Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, Solid State Physics (Harcourt: New York, 1976)</ref> |
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[[File:Cristal de carbono hexagonal.png|thumb|Cristal de carbono hexagonal]] |
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*Propriedades mecânicas: Diversas quantidades importantes nos estudos de mecânica, como módulo de Young, razão de Poisson e módulo de cisalhamento de um material apresentam diferenças entre seus respectivos valores para direções cristalográficas diferentes. Tomemos como exemplo um cristal de Silício. Seu módulo de Young na direção [100] é igual a 130 GPa, porém, quando tensionado na direção [111], seu módulo apresenta valor igual a 189 GPa. <ref>J. J.Wortman and R. A. Evans, “Young’s modulus, shear modulus, and Poisson’s ratio in silicon and germanium”, J. Applied Physics, vol. 36(1), pp. 153–156, Jan. 1965.</ref> |
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Cabe-se mencionar que o desenvolvimento de instrumental específico propiciou a análise das diferentes facetas das propriedades dos materiais. Equipamentos como o microscópio de transmissão, difratômetros, ressonâncias nucleares magnéticas entre outros fazem parte do pilar destas análises. |
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== Referências == |
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Revisão das 15h56min de 2 de outubro de 2011
Índices de Miller são uma notação utilizada em cristalografia para definir famílias de planos em uma rede cristalina de Bravais. Isto é feito indicando-se as coordenadas de um vetor no espaço recíproco, que é normal à família de planos. Em três dimensões, os índices de Miller são representados pela tripla entre parênteses (hkl), onde h,k e l são inteiros com maior divisor comum igual a 1. Se algum dos inteiros é negativo, a convenção é escrever o número com uma barra em cima, no lugar do sinal de negativo, como no caso no lugar de .
Uma outra convenção é denotar uma direção no espaço direto com os índices entre colchetes [uvw] onde u, v e w são inteiros com maior divisor comum igual a 1. Assim, o eixo é a direção , o eixo a direção . Como no caso u, v e w são as coordenadas com respeito à base direta, essa direção não é, em geral, perpendicular ao plano (uvw). Em particular, em sistemas com base direta ortogonal, a direção [uvw] é de fato perpendicular ao plano (uvw).
Definição
A orientação de um plano cristalino é unicamente determinada por três pontos não colineares do plano. Se cada ponto é a interseção do plano com cada um dos três eixos cristalinos (se o plano é paralelo ao eixo, toma-se a interseção como sendo no infinito), o plano pode ser determinado fornecendo-se a coordenada da interseção com cada eixo em função dos vetores da base, .
Uma vez definido o plano a ser estudado, a determinação dos índices de Miller segue as seguintes etapas[1]:
- Determinar as interseções do plano nos eixos da base direta. Os eixos podem ser de uma célula primitiva ou não.
- Tomar os valores recíprocos e reduzir para números inteiros através da multiplicação por um fator comum. Geralmente são escolhidos o menor conjunto de inteiros. A tripla entre parênteses (hkl), é denominada índice de Miller.
Por exemplo, se as interseções x, y e z forem 1, 3, 5, os índices de Miller são calculados da seguinte forma.
- Tomar os valores recíprocos:
- Reduzir aos menores termos inteiros: (15 5 3)
Por convenção, os índices de Miller de um plano são representados entre parênteses, dessa forma, o plano utilizado como exemplo pode ser descrito pelos seguintes índices de Miller: (15 5 3). Se o plano é paralelo a um eixo, a interseção é considerada como ocorrendo no infinito, portanto, o índice de Miller é igual a zero.
Propriedades
Para entender algumas das propriedades do índice de Miller, considere a seguinte definição dos vetores da base recíproca de uma rede de bravais: Dado uma base do cristal no espaço direto, , a base no espaço recíproco é dada pelas seguintes relações:
, ,
De modo que cada vetor da base recíproca é perpendicular a dois vetores da base direta. Tomando o produto escalar entre os vetores das duas bases conclui-se que:
Índices determinam um vetor normal no espaço recíproco
Teorema: Um vetor do espaço recíproco () com coordenadas iguais aos índices de Miller de um plano (hkl) é perpendicular a esse plano.
Demonstração: Da definição, o plano (hkl) intercepta os eixos da base direta nos pontos respectivamente. Logo, dois vetores que pertencem ao plano são:
e
Tomando o produto escalar de G com um vetor genérico do plano, e usando tem-se:
onde x,y são números reais arbitrários.
Logo, G é perpendicular ao plano (hkl).
Distância entre planos adjacentes
Teorema: A distância entre planos adjacentes é .
Demonstração: Ao traçar uma família de planos cristalinos paralelos, sempre é possível escolher uma célula (primitiva ou não) cuja origem pertence a um plano dessa família. Desse modo, a distância entre planos adjacentes é a distância do plano (hkl) até a origem do sistema da célula cristalina. O problema se resume então a determinar a distância de um plano até a origem.
Um vetor normal ao plano é G = hb1 + kb2 + lb3, então, os pontos (x,y,z) que pertencem a uma reta perpendicular ao plano e que passa pela origem é: (x,y,z) = G
Como a reta é perpendicular ao plano, a distância deste até a origem é dada pela projeção de um vetor qualquer que liga a origem ao plano, na direção da reta. Um destes vetores éu=1/la3. Logo: u.G/|G| = 2Pi/|G|
Direções cristalográficas e variação nas propriedades dos materiais
As direções cristalográficas estão ligadas aos determinados índices de Miller dos planos tratados. Uma vez que é sabida a anisotropia de diversas propriedades dos materiais, é possível associá-las as diferentes direções cristalográficas, por exemplo: Uma vez que o estudo dos materiais foi intensificado, ficou-se cada vez mais claro a possibilidade de análise de propriedades térmicas, elétricas, mecânicas entre outras em diferentes direções do material. Por exemplo:
- Propriedades Ópticas: Espalhamento da radiação depende do fator de forma de um material. Assim sendo, átomos mais próximos apresentam um efeito diferente do de átomos mais afastados.
- Propriedades Elétricas: A condução em um determinado material é influenciada pela direção do cristal na qual é analisada. Um exemplo é o grafite, que conduz eletricidade na direção dos planos atômicos, porém perpendicularmente a eles apresenta comportamento isolante. [2]
- Propriedades mecânicas: Diversas quantidades importantes nos estudos de mecânica, como módulo de Young, razão de Poisson e módulo de cisalhamento de um material apresentam diferenças entre seus respectivos valores para direções cristalográficas diferentes. Tomemos como exemplo um cristal de Silício. Seu módulo de Young na direção [100] é igual a 130 GPa, porém, quando tensionado na direção [111], seu módulo apresenta valor igual a 189 GPa. [3]
Cabe-se mencionar que o desenvolvimento de instrumental específico propiciou a análise das diferentes facetas das propriedades dos materiais. Equipamentos como o microscópio de transmissão, difratômetros, ressonâncias nucleares magnéticas entre outros fazem parte do pilar destas análises.
Referências
- ↑ Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics (7th Edition)
- ↑ Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, Solid State Physics (Harcourt: New York, 1976)
- ↑ J. J.Wortman and R. A. Evans, “Young’s modulus, shear modulus, and Poisson’s ratio in silicon and germanium”, J. Applied Physics, vol. 36(1), pp. 153–156, Jan. 1965.