Algoritmo de Briot-Ruffini

Algoritmo de Briot-Ruffini, por vezes denominado apenas como regra de Ruffini, é um método de resolução de frações polinomiais, criado por Paolo Ruffini. Esse algoritmo consiste em efetuar a divisão fazendo cálculos apenas com coeficientes e só serve para divisões de um polinômio por um binômio.

As divisões de polinômios por binômios, como por exemplo: (x-2), (x+3/2) e (x+5), surgem em problemas de matemática mais frequentemente do que quaisquer outras divisões de polinômios e desempenham papel importante na pesquisa de zeros de funções e na resolução de equações.

O quociente e o resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo (x-a) podem ser obtidos através de um dispositivo prático, conhecido como divisão sintética ou algoritmo de Briot-Ruffini.

Exemplo

Divisão de um Polinômio por x − a

Seja:

$P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!$ KAYO E LETICIA

$D(x)=x+1.\,\!$

Queremos dividir P(x) por D(x) usando a regra de Ruffini. Primeiro observamos que D(x) não é um binômio da forma x − a, mas da forma x + a. Então reescrevemos D(x) deste modo:

$D(x)=x+1=x-(-1).\,\!$

Agora aplicamos o algoritmo:

1. Transcrevemos os coeficientes e a. Note que, como P(x) não contém um coeficiente para x, então escrevemos 0:

    |     2     3     0     -4
    |                                    
 -1 |                                    
----|----------------------------
    |                                    
    |

2. Passe o primeiro coeficiente para baixo:

    |     2     3     0     -4
    |                                    
 -1 |                                    
----|----------------------------
    |     2                              
    |

3. Multiplique-o por a:

    |     2     3     0     -4
    |                                    
 -1 |          -2                         
----|----------------------------
    |     2                              
    |

4. Some os valores da coluna:

    |     2     3     0     -4
    |
 -1 |          -2
----|----------------------------
    |     2     1
    |

5. Repita os passos 3 e 4 até a última coluna:

    |     2     3     0     -4
    |
 -1 |          -2    -1      1
----|----------------------------
    |     2     1    -1     -3
    |    {coeficientes}   {resto}

$P(x)=D(x)Q(x)+r\,\!$, onde

$Q(x)=2x^{2}+x-1\,\!$ e $r=-3.\,\!$

isto é,

$(2x^{3}+3x^{2}-4)=(x+1)(2x^{2}+x-1)-3\,\!$