Em álgebra, a divisão polinomial é um algoritmo para dividir um polinômio por outro polinômio de menor ou igual grau, ou seja, uma versão generalizada da técnica aritmética de divisão [1]. Considerando os polinômios
e
, em que o grau de
é maior ou igual ao grau do polinômio não nulo
, existe um único par de polinômios
e
tal que
, ou seja,
,
sendo que, ou o grau de
é menor do que o de
, ou
é nulo. Dividir o dividendo
pelo divisor não nulo
, significa obter os polinômios
e
[2][3]. O grau do quociente
é igual ao grau do dividendo
menos o grau do divisor
. Se o resto
for zero, o polinômio
tem o polinômio
como fator e diz-se que
é divisível por
.
Como
e
são unicamente definidos, não dependem do método utilizado para determiná-los.
O método da chave consiste em um algoritmo baseado na clássica divisão de Euclides para números inteiros (também conhecida como método da chave), com as devidas adequações[4]:
.
Encontre o quociente e o resto da divisão de
(dividendo) pelo divisor
.
No dividendo, todos os termos com expoentes inferiores ao maior devem ser escritos explicitamente, mesmo que os seus coeficientes sejam zero:

O quociente e o resto podem ser determinados como segue:
1. Divide-se o primeiro termo do dividendo pelo termo de maior grau do divisor (aquele com a maior potência de
) e insere-se o resultado (
) abaixo do divisor:

2. Multiplica-se o divisor pelo resultado obtido (o primeiro termo de eventual quociente) e escreve-se o resultado (
) sob o dividendo:

3. Subtrai-se o produto recém obtido do dividendo e escreve-se o resultado (
) embaixo:

4. Repete-se as três etapas anteriores, com a observação que desta vez o polinômio que acaba de ser escrito é usado como dividendo:

5. Repete-se a etapa 4 até que o polinômio resultado da subtração fique com grau menor do que o grau do divisor. Tal polinômio é o resto da divisão, sendo neste exemplo obtido no passo seguinte:

Finalizado o processo, pode-se escrever:
.
O método dos coeficientes a determinar, também chamado de método de Descartes, consiste em encontrar os coeficientes dos polinômios
e
pela relação

de acordo com o grau que tais polinômios podem apresentar[5]. Usam-se os fatos de que o grau do quociente
é igual à subtração dos graus de
e
e de que o grau do resto
é menor do que o grau de
(ou igual no caso em que
tem grau
.
Encontre o quociente e o resto da divisão de
(dividendo) pelo divisor
.
Nota-se, inicialmente, que os graus de
e
são, respectivamente,
e
, de modo que o grau de
é
, ou seja,
, com
. Ainda, como o grau do resto é menor do que o grau de
,
tem grau zero, ou seja,
. Substituindo em

obtém-se:

o que conduz ao seguinte sistema linear
,
o qual fornece
,
e
. Assim,
e
. Ou seja,
.
Divisões por polinômios do tipo
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Ao dividir um polinômio qualquer por um de grau 1 do tipo
, pode ser utilizado o Teorema do resto, o Teorema de D’Alembert[1][3] e o Teorema do fator[2].
O Teorema do resto garante o resto de uma divisão de um polinômio
qualquer por um polinômio do tipo
, com
, é igual a
, ou seja,
. Já o Teorema de D’Alembert afirma que para que um polinômio
seja divisível por
é necessário e suficiente que
seja raiz de
, ou seja, que
.
O Teorema do fator diz que se
é uma raiz de
, com grau maior que zero, então o polinômio
é um fator de
. Assim,
é divisível por
e por
, com
, se, e somente se,
for divisível por
.
Com o disposto acima, para realizar a divisão de um polinômio
por um polinômio do tipo
podemos utilizar o dispositivo ou algoritmo de Briot-Ruffini.
Algoritmo de Briot-Ruffini
Teorema fundamental da álgebra
Teorema do resto
Referências