Divisão polinomial

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Em álgebra, a divisão polinomial é um algoritmo para dividir um polinômio por outro polinômio de menor ou igual grau, ou seja, uma versão generalizada da técnica aritmética de divisão [1]. Considerando os polinômios e , em que o grau de é maior ou igual ao grau do polinômio não nulo , existe um único par de polinômios e tal que

, ou seja, ,

sendo que, ou o grau de é menor do que o de , ou é nulo. Dividir o dividendo pelo divisor não nulo , significa obter os polinômios e [2][3]. O grau do quociente é igual ao grau do dividendo menos o grau do divisor . Se o resto for zero, o polinômio tem o polinômio como fator e diz-se que é divisível por .

Como e são unicamente definidos, não dependem do método utilizado para determiná-los.

Método da chave[editar | editar código-fonte]

O método da chave consiste em um algoritmo baseado na clássica divisão de Euclides para números inteiros (também conhecida como método da chave), com as devidas adequações[4]:

.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Encontre o quociente e o resto da divisão de (dividendo) pelo divisor .

No dividendo, todos os termos com expoentes inferiores ao maior devem ser escritos explicitamente, mesmo que os seus coeficientes sejam zero:

O quociente e o resto podem ser determinados como segue:

1. Divide-se o primeiro termo do dividendo pelo termo de maior grau do divisor (aquele com a maior potência de ) e insere-se o resultado () abaixo do divisor:


2. Multiplica-se o divisor pelo resultado obtido (o primeiro termo de eventual quociente) e escreve-se o resultado () sob o dividendo:


3. Subtrai-se o produto recém obtido do dividendo e escreve-se o resultado () embaixo:

4. Repete-se as três etapas anteriores, com a observação que desta vez o polinômio que acaba de ser escrito é usado como dividendo:

5. Repete-se a etapa 4 até que o polinômio resultado da subtração fique com grau menor do que o grau do divisor. Tal polinômio é o resto da divisão, sendo neste exemplo obtido no passo seguinte:

Finalizado o processo, pode-se escrever:

.

Método dos coeficientes a determinar[editar | editar código-fonte]

O método dos coeficientes a determinar, também chamado de método de Descartes, consiste em encontrar os coeficientes dos polinômios e pela relação

de acordo com o grau que tais polinômios podem apresentar[5]. Usam-se os fatos de que o grau do quociente é igual à subtração dos graus de e e de que o grau do resto é menor do que o grau de (ou igual no caso em que tem grau .

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Encontre o quociente e o resto da divisão de (dividendo) pelo divisor .

Nota-se, inicialmente, que os graus de e são, respectivamente, e , de modo que o grau de é , ou seja, , com . Ainda, como o grau do resto é menor do que o grau de , tem grau zero, ou seja, . Substituindo em

obtém-se:

o que conduz ao seguinte sistema linear

,

o qual fornece , e . Assim, e . Ou seja, .

Divisões por polinômios do tipo [editar | editar código-fonte]

Ao dividir um polinômio qualquer por um de grau 1 do tipo , pode ser utilizado o Teorema do resto, o Teorema de D’Alembert[1][3] e o Teorema do fator[2].

O Teorema do resto garante o resto de uma divisão de um polinômio qualquer por um polinômio do tipo , com , é igual a , ou seja, . Já o Teorema de D’Alembert afirma que para que um polinômio seja divisível por é necessário e suficiente que seja raiz de , ou seja, que .

O Teorema do fator diz que se é uma raiz de , com grau maior que zero, então o polinômio é um fator de . Assim, é divisível por e por , com , se, e somente se, for divisível por .

Com o disposto acima, para realizar a divisão de um polinômio por um polinômio do tipo podemos utilizar o dispositivo ou algoritmo de Briot-Ruffini.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Algoritmo de Briot-Ruffini

Teorema fundamental da álgebra

Teorema do resto

Referências

  1. a b RIBEIRO, Jackson (2010). Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, 3. São Paulo: Scipione. ISBN 9788526277342 
  2. a b DANTE, Luiz Roberto (2004). Matemática: livro do aluno. São Paulo: Ática. ISBN 9788508091324 
  3. a b PAIVA, Manoel (2009). Matemática: Paiva. São Paulo: Moderna. ISBN 9788516063696 
  4. «Divisão de Polinômios - Método da Chave». Consultado em 18 de março de 2020 
  5. LEONARDO, Fábio Martins de (2016). Conexões com a matemática. São Paulo: Moderna. ISBN 9788516105068 
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