Coeficientes a determinar

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O método dos coeficientes a determinar fornece uma solução particular para uma equação linear não homogênea

ay''+by'+cy=d(x)

Se conhecemos a função d=d(x), o objetivo será obter uma solução particular y_{p}=y_{p}(x) que possa ser escrita como combinação linear de um conjunto linearmente independente de funções.[1]

O problema fica mais fácil quando esta função d=d(x) tem alguma das formas abaixo.

Polinômio de grau n na variável independente[editar | editar código-fonte]

A solução procurada deverá estar na forma:

y_{p}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}

Múltiplo de uma função exponencial[editar | editar código-fonte]

A solução procurada deverá estar na forma:

y_{p}(x)=ke^{rx}

Combinação linear das funções cos(kx) e sen(kx)[editar | editar código-fonte]

Solução procurada na forma:

y_{p}(x)=A \cos (kx) + B \sin (kx)

Soma das formas anteriores[editar | editar código-fonte]

A solução deverá estar na forma:

=y_{p}(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x)

onde y_{1}=y_{1}(x) é a solução obtida na primeira forma e y_{2}=y_{2}(x) é a solução obtida na segunda forma.

Produto das formas anteriores[editar | editar código-fonte]

A solução deverá estar na forma:

=y_{p}(x)=y_{1}(x)y_{2}(x)

onde y_{1}=y_{1}(x) é a solução obtida na primeira forma e y_{2}=y_{2}(x) é a solução obtida na segunda forma.

Observação: Se as funções sugeridas já aparecerem na solução geral da equação homogênea associada, então a sugestão para a nova função deverá ser a mesma função sugerida, multiplicada por x.[2]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Consideremos o operador diferencial linear L com coeficientes constantes e uma equação diferencial linear L(y)=d(x).[3]

L(y)=d(x) Forma da solução procurada
L(y)=3x^{2} y(x)=ax^{2}+bx+c
L(y)=7e^{3x} ae^{3x}
L(y)=17\cos (3x) y(x)=a\cos (3x)+b\sin (3x)
L(y)=7\sin (2x) y(x)=a\cos (2x)+b\sin (2x)
L(y)=7\sin (2x)+8\cos (2x) y(x)=a\cos (2x)+b\sin (2x)
L(y)=3e^{5x}+(x^{2}+7x+3) y(x)=de^{5x}+[ax^{2}+bx+c]
L(y)=y(x)=3e^{5x}(x^{2}+7x+3) y(x)=e^{5x}[ax^{2}+bx+c]
L(y)=3e^{5x}\sin(2x) y(x)=e^{5x}[a\cos(2x)+b\sin(2x)

Referências

  1. SODRÉ, U. (2003). «Equações Diferenciais Ordinárias» (PDF). p. 36. Consultado em 12 de novembro de 2012.  Texto "notas de aula" ignorado (Ajuda); Texto "Computação, Engenharia Elétrica e Engenharia Civil" ignorado (Ajuda)
  2. SODRÉ, U. (2003). «Equações Diferenciais Ordinárias» (PDF). p. 37. Consultado em 12 de novembro de 2012.  Texto "notas de aula" ignorado (Ajuda); Texto "Computação, Engenharia Elétrica e Engenharia Civil" ignorado (Ajuda)
  3. SODRÉ, U. (2003). «Equações Diferenciais Ordinárias» (PDF). p. 38. Consultado em 12 de novembro de 2012.  Texto "notas de aula" ignorado (Ajuda); Texto "Computação, Engenharia Elétrica e Engenharia Civil" ignorado (Ajuda)

Ver também[editar | editar código-fonte]