Equações separáveis

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Definição[editar | editar código-fonte]

Uma equação diferencial é dita separável ou de variáveis separáveis se pode ser escrita na forma[1] .:

ou

Para resolvermos uma equação diferencial separável, basta separarmos as variáveis e em seguida integramos ambos os membros.

Observação[editar | editar código-fonte]

Quando ita variável independente não aparece explicitamente, ou seja, quando g(x) = 1, a equação diferencial é chamada autônoma.[2]

Método[editar | editar código-fonte]

Seja a EDO de 1ª ordem (1). Podemos obter a solução geral para esta EDO por separação de variáveis:

que pode ser integrada diretamente como:

onde C é a constante de integração. Para obtermos uma solução particular (ou seja, um valor específico para a constante C), é necessário fornecer uma condição de contorno para a equação (1).[3] .

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Propagação de Praga

Sabendo que em uma população isolada com P indivíduos, o número de contaminados por uma doença no instante t, , varia em uma taxa proporcional ao número de indivíduos contaminados e não-contaminados. Escrever e resolver a Equação diferencial ordinária associada a este problema.

Solução

, como esta equação é do tipo separável, temos:
.


Integrando em ambos os lados, segue que:

.

Resolvendo por frações parciais, obtemos:

.


Segue um sistema onde:

, com isso , .


Logo temos a seguinte integral:

.


Resolvendo a integral, temos:


, onde C é uma constante.


, assim:


 ;


 ;


.


Com isso, a solução desta equação é expressa por:

.


Referências

  1. BOYCE, W. E; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. Rio de Janeiro: LTC,2006. Página 24
  2. «Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis». Consultado em 06 de novembro de 2012. 
  3. LIMA, H.G. Equações Diferenciais Lineares. Pombal-PB: Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar. Página 13

Ver também[editar | editar código-fonte]