Equação diferencial ordinária

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Em matemática e em particular na análise, uma equação diferencial ordinária (ou EDO) é uma equação que envolve as derivadas de uma função desconhecida de uma variável. Um exemplo simples de uma equação diferencial ordinária é

onde é uma função desconhecida, e a sua derivada.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja y uma função de x e que

denote as suas derivadas

.

Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma equação que envolve

.

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada na equação.

Uma solução de uma EDO é uma função y(x) cujas derivadas satisfazem a equação. Não está garantido que tal função exista, e caso exista, normalmente ela não é única.

Quanto à linearidade de uma equação diferencial ordinária de ordem n pode ser vista como uma função

, dizemos que a equação diferencial é linear se for linear em . [1]

Ao que se refere aos coeficientes, uma equação diferencial pode ter coeficientes constantes ou funções da variável independente.

Quando uma equação diferencial de ordem n tem a forma

é designada equação diferencial implícita, enquanto que a forma

é designada equação diferencial explícita.

Uma equação diferencial é autônoma se não depender explicitamente de x, e homogênea se todos os termos da equação diferencial dependem exclusivamente de x.

Exemplos práticos[editar | editar código-fonte]

Equações diferenciais são usadas muito frequentemente para descrever processos nos quais a mudança de uma medida ou dimensão é causada pelo próprio processo.

Historicamente, as primeiras equações diferenciais foram as relativas à aceleração igual ou desigual, que Galileo Galilei pôde medir, ainda que com métodos geométricos.

Isaac Newton e Gottfried Leibniz introduziram o cálculo diferencial e, este último, as equações diferenciais como as conhecemos hoje.

Por exemplo na Física, a lei da vida média prevê que o número de átomos que se decompõem por unidade de tempo numa massa de átomos instáveis dependem do total N dos átomos existentes (aqui é necessário considerar-se que, por ser N um número muito grande, pode-se considerar sua variação contínua e determinística; no caso de N ser um número pequeno deve-se considerar sua variação discreta e estocástica, e o método mais adequado é outro).

Desta forma, a diminuição do número de átomos é proporcional ao total de átomos:

Pelo cálculo da função nesta equação diferencial, torna-se possível determinar o número total de átomos a cada momento no tempo.

Um outro exemplo simples é o oscilador inalterado harmónico com a equação diferencial

A função procurada aqui é a função , cuja segunda derivada em relação ao tempo advém das leis do movimento.

Equações diferenciais específicas[editar | editar código-fonte]

Equações diferenciais lineares[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Equação diferencial linear

Uma EDO é linear quando os termos envolvendo a função a ser determinada aparecem apenas de forma linear, ou seja, podemos escrever a EDO como

Esta equação é de grau n quando a função fn(x) não é identicamente nula.


Outros casos[editar | editar código-fonte]


Solução de uma Equação Diferencial Ordinária[editar | editar código-fonte]

Uma solução para uma equação diferencial é uma função que satisfaz a identidade da equação. A solução mais geral possível que admite uma equação diferencial é denominada solução geral enquanto que outra solução é chamada uma solução particular.[2]

Exemplo

Solução particular:

Solução geral: (C constante)

As soluções se classificam em:

  • Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n=ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas
  • Solução particular - obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou condições de contorno).[3]

Métodos para resolução de EDO[editar | editar código-fonte]

A habilidade em encontrar soluções exatas em geral depende da habilidade em reconhecer certos tipos de equações diferenciais e da aplicação de um método específico. Em outras palavras, o que funciona para um tipo de equações diferenciais não necessariamente se aplica a outro tipo.[4] Os métodos mais conhecidos são:

Os métodos citados são todos analíticos, ou seja, a solução pode ser encontrada de forma explícita. Duas formas adicionais são aplicadas:

Referências

  1. E. Boyce, William; Diprima, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. ISBN 978-85-216-1499-9 
  2. «Equações Diferenciais Ordinárias» (PDF). Consultado em 09 de outubro de 2012  Texto "Notas de aula" ignorado (ajuda); Verifique data em: |acessodata= (ajuda)
  3. «Equações Diferenciais». Consultado em 26 de outubro de 2012 
  4. «Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis». Consultado em 06 de novembro de 2012  Verifique data em: |acessodata= (ajuda)

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]