Integração numérica

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Disambig grey.svg Nota: Este artigo é sobre métodos para aproximar integrais definidas. Para métodos para resolver equações diferenciais ordinárias, veja métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias.
Integração por retângulos.
Integração pelo método de Simpson.
Integração trapezoidal.

Em matemática, em especial na análise numérica, existe uma grande família de algoritmos, cujo principal objetivo é aproximar o valor de uma dada integral definida de uma função sem o uso de uma expressão analítica para a sua primitiva.[1]

Normalmente, estes métodos adotam as seguintes três fases:[2]

  • Decomposição do domínio em pedaços ( um intervalo contido de sub-intervalos);
  • Integração aproximada da função de cada pedaço;
  • Soma dos resultados numéricos obtidos.

A necessidade de se usar a integração numérica surge de razões como:[2] [3]

  • nem todas as funções admitem uma primitiva de forma explícita (por exemplo, a função erro);
  • a primitiva da função é muito complicada para ser avaliada;
  • quando não se dipões de uma expressão analítica para o integrando, mas se conhece seus valores em um conjunto de pontos do domínio.

O método básico envolvido nesta aproximação é chamado de quadratura numérica e consiste na seguinte expressão:

onde são coeficientes reais(peso da função) e são pontos de .[2]

Ordem de aproximação[editar | editar código-fonte]

Um esquema de integração numérica é dito ter ordem de aproximação N se for exato para cada polinômio de grau menor ou igual a N.[3]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Superfície em vermelho representa o valor estimado da integral pelo método do ponto médio ou dos retângulos
Superfície em vermelho representa o valor estimado da integral pelo método dos trapézios
Superfície em vermelho representa o valor estimado da integral pelo método Simpson
As regras abaixo são conhecidas como Fórmulas de Newton-Cotes,

há dois tipos delas as abertas e as fechadas.A regra do ponto médio é uma fórmula de Newton-Cotes aberta. A regra trapezoidal e de Simpson são exemplos de uma categoria de métodos conhecida como fórmulas de Newton-Cotes fechada. A fórmula de Newton-Cotes é chamada fechada porque seus pontos externos do intervalo fechado estão inclusos.

  • Regra do Ponto Médio ou dos retângulos:
Integral Valor exato Regra dos retângulos Regra trapezoidal Regra de Simpson

[4]

[1] [2]

Erro de aproximação[editar | editar código-fonte]

Pode-se mostrar que o erro assumido ao aproximar a integral de uma função suficientemente diferenciável pelo método do ponto médio é de ; método trapezoidal é , onde é um ponto do intervalo de integração e h é o comprimento deste intervalo. Um resultado análogo indica que o erro do método de Simpson é .

Observação:Na medida em que o termo do erro para a regra do trapezoidal envolve , a regra dá o resultado exato quando aplicada a qualquer função cuja derivada de 2ªordem é,seja igual a zero,qualquer polinômio de primeiro grau ou menor. Já o erro do método de Simpson envolve a derivada 4º grau, a regra de Simpson dá resultados exatos quando aplicada a qualquer polinômio de 3º grau ou menor.

Métodos compostos[editar | editar código-fonte]

Os chamados métodos compostos consistem em dividir o intervalo de integração em diversos subintervalos e aplicar um método de quadratura em cada um dos intervalos:

onde , e . O princípio básico destes métodos é o fato de o erro decrescer rapidamente com o comprimento do intervalo.[1]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Os seguintes exemplos foram construídos subdividindo o intervalo de integração em subintervalos de comprimento constante e sob a notação , e .

  • Regra trapezoidal composta:
  • Regra de Simpson composta:

aqui n deve ser um número ímpar.[1]

Outros métodos de quadratura numérica[editar | editar código-fonte]

Método do Cálculo multi-dimensional integrante[editar | editar código-fonte]

Método de Cálculo determinante forma integral[editar | editar código-fonte]

  • Método de Laplace para integrais do tipo ;
  • Método de ponto-neck para integrais do tipo .

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. a b c d Sperandio, Mendes e Monken (2003). Calculo Numérico. características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos Pearson [S.l.] 
  2. a b c d Análise Numérica Thomson [S.l.] 2003.  |nome1= sem |sobrenome1= em Authors list (Ajuda)
  3. a b Ruggiero, Lopes. Calculo Numérico. Aspectos teóricos e computação 2 ed. Pearson [S.l.]  Parâmetro desconhecido |volumes= ignorado (|volume=) (Ajuda)
  4. «Confira estes dois exemplos e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-28. 

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