Primitiva

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Em matemática, se A é um conjunto de números reais e f é uma função de A em R, diz-se que uma função F de A em R é uma primitiva de f se a derivada de F for igual a f. Se f tiver uma primitiva, diz-se que f é primitivável. Pode-se provar que, se A for um intervalo com mais do que um ponto:

  • quaisquer duas primitivas diferem por uma constante, ou seja, se F1 e F2 forem primitivas de f, então F1 − F2 é constante;
  • se f for contínua então f é primitivável, o que resulta do teorema fundamental do Cálculo.

Quando se primitiva uma função num intervalo (aberto, fechado ou semi-aberto) obtém-se uma família de primitivas na forma:

\int f(x) dx = F(x) + C, C \in \R

Exemplo no cálculo de uma primitiva[editar | editar código-fonte]

Tentemos achar a seguinte primitiva:

P sen{\sqrt{x}}

Usaremos o método da primitivação por substituição e da primitivação por partes.

Façamos a seguinte substituição: \sqrt{x}=t

Temos então que:

x=t^2 \ \ \frac{dx}{dt}=2t

Substituindo ficamos então com: P sen{\sqrt{x}} = P sen{(t)}2t

Aplicamos agora a primitivação por partes

u'=sen{t} \ \ u=-cos{t}
v=2t \ \ v'=2

P sen{(t)}2t = -cos(t)2t-P2(-cos(t))= -cos(t)2t+2Pcos(t)=
=-cos(t)2t+2.sen(t) + C =  2 (-t.cos(t)+sen(t)) + C

fazendo agora a substituição inicial t=\sqrt{x} temos o resultado final:

P sen{\sqrt{x}}=2(-\sqrt{x}.cos{\sqrt{x}}+sen{\sqrt{x}}) + C

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]