Primitiva

Em matemática, se $A$$A$ é um conjunto de números reais e $f$$f$ é uma função de $A$$A$ em $R$$R$, diz-se que uma função $F$$F$ de $A$$A$ em $R$$R$ é uma primitiva ou antiderivada de $f$$f$ se a derivada de $F$$F$ for igual a $f$$f$. Se f tiver uma primitiva, diz-se que $f$$f$ é primitivável. Pode-se provar que, se $A$$A$ for um intervalo com mais do que um ponto:

• quaisquer duas primitivas diferem por uma constante, ou seja, se F₁ e F₂ forem primitivas de $f$$f$, então F₁ − F₂ é constante;
• se $f$$f$ for contínua então f é primitivável, o que resulta do teorema fundamental do cálculo.

Quando se primitiva uma função num intervalo (aberto, fechado ou semiaberto) obtém-se uma família de primitivas na forma:

$\int f(x)dx=F(x)+C,C\in \mathbb {R}$$\int f(x)dx=F(x)+C,C\in \mathbb{R}$

Exemplo no cálculo de uma primitiva

Tentemos achar a seguinte primitiva:

$Psen{\sqrt {x}}$$Psen{{\sqrt {x}}}$

Usaremos os métodos da primitivação por substituição e da primitivação por partes.

Façamos a seguinte substituição: ${\sqrt {x}}=t$${\sqrt {x}}=t$

Temos então que:

$x=t^{2}\ \ {\frac {dx}{dt}}=2t$$x=t^{2}\ \ {\frac {dx}{dt}}=2t$

Substituindo ficamos então com:

$Psen{\sqrt {x}}=Psen{(t)}2t$$Psen{{\sqrt {x}}}=Psen{(t)}2t$

Aplicamos agora a primitivação por partes

$u'=sen{t}\ \ u=-cos{t}$$u'=sen{t}\ \ u=-cos{t}$

$v=2t\ \ v'=2$$v=2t\ \ v'=2$

$Psen{(t)}2t=-cos(t)2t-P2(-cos(t))=-cos(t)2t+2Pcos(t)=$$Psen{(t)}2t=-cos(t)2t-P2(-cos(t))=-cos(t)2t+2Pcos(t)=$

$=-cos(t)2t+2.sen(t)+C=2(-t.cos(t)+sen(t))+C$$=-cos(t)2t+2.sen(t)+C=2(-t.cos(t)+sen(t))+C$

fazendo agora a substituição inicial $t={\sqrt {x}}$$t={\sqrt {x}}$ temos o resultado final:

$Psen{\sqrt {x}}=2(-{\sqrt {x}}.cos{\sqrt {x}}+sen{\sqrt {x}})+C$$Psen{{\sqrt {x}}}=2(-{\sqrt {x}}.cos{{\sqrt {x}}}+sen{{\sqrt {x}}})+C$

Ver também

• Integral

Ligações externas

• Cálculo de primitivas online (The Wolfram Integrator)

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