Primitiva

Em matemática, se $A$ é um conjunto de números reais e $f$ é uma função de $A$ em $R$, diz-se que uma função F de $A$ em $R$ é uma primitiva ou antiderivada de $f$ se a derivada de $F$ for igual a $f$. Se f tiver uma primitiva, diz-se que $f$ é primitivável. Pode-se provar que, se A for um intervalo com mais do que um ponto:

• quaisquer duas primitivas diferem por uma constante, ou seja, se F₁ e F₂ forem primitivas de $f$, então F₁ − F₂ é constante;
• se $f$ for contínua então f é primitivável, o que resulta do teorema fundamental do cálculo.

Quando se primitiva uma função num intervalo (aberto, fechado ou semiaberto) obtém-se uma família de primitivas na forma:

$\int f(x) dx = F(x) + C, C \in \R$

Exemplo no cálculo de uma primitiva

Tentemos achar a seguinte primitiva:

$P sen{\sqrt{x}}$

Usaremos o método da primitivação por substituição e da primitivação por partes.

Façamos a seguinte substituição: $\sqrt{x}=t$

Temos então que:

$x=t^2 \ \ \frac{dx}{dt}=2t$

Substituindo ficamos então com: $P sen{\sqrt{x}} = P sen{(t)}2t$

Aplicamos agora a primitivação por partes

$u'=sen{t} \ \ u=-cos{t}$
$v=2t \ \ v'=2$

$P sen{(t)}2t = -cos(t)2t-P2(-cos(t))= -cos(t)2t+2Pcos(t)=$
$=-cos(t)2t+2.sen(t) + C = 2 (-t.cos(t)+sen(t)) + C$

fazendo agora a substituição inicial $t=\sqrt{x}$ temos o resultado final:

$P sen{\sqrt{x}}=2(-\sqrt{x}.cos{\sqrt{x}}+sen{\sqrt{x}}) + C$

Ver também

• Integral

Ligações externas

• Cálculo de primitivas online (The Wolfram Integrator)