Função de Dirichlet

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Em matemática, sobretudo na análise real, a função de Dirichlet, em honra a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet fornece um exemplo de função que é descontínua em todos os pontos do domínio.

A função de Dirichlet é uma exemplo de função real limitada que não é integrável à Riemann.

Definição[editar | editar código-fonte]

A função de Dirichlet está definida em todos os números reais atribuindo o valor 1 aos pontos racionais e 0 aos pontos irracionais:

Também pode ser definida como o limite duplo:

Em notação moderna, a função de Dirichlet nada mais é que a função indicadora de em .

Integrabilidade[editar | editar código-fonte]

A função de Dirichlet não é integrável a Riemman em nenhum intervalo do tipo . Pois seu supremo é 1 e seu ínfimo é 0 em qualquer partição de comprimento positivo.

Não obstante, a função de Dirichlet é quase-sempre nula, ou seja, exceto em um conjunto de medida zero. Sendo assim, é uma função mensurável à Lebesgue e sua integral de Lebesgue é nula em qualquer mensurável.

Variantes[editar | editar código-fonte]

Uma variante bem conhecida da função de Dirichlet é a seguinte função:

Onde e são inteiros e é o máximo divisor comum de e .

Esta função é contínua em cada irracional e descontínua em cada racional. Observe que os pontos de descontinuidade de uma função formam um conjunto (veja álgebra de Borel) e, portanto, não há tal função contínua em cada racional e descontínua em cada irracional.