Função de Weierstrass

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O gráfico da função de Weierstrass é um fractal

Em matemática, a função de Weierstrass é um importante contra-exemplo mostrando a existência de uma função contínua em toda a reta real que não possui derivada em nenhum ponto do domínio. Recebe o nome em honra a seu descobridor o matemático Karl Weierstrass. A função de Weierstrass é primeira função publicada a apresentar tal patologia.

Embora seja considerada por muitos como um caso patológico, pode-se afirmar que, em certo sentido, o comportamento da função de Weierstrass é o caso mais comum. Sendo o conjunto das funções diferenciáveis em pelo menos um ponto um conjunto magro dentro do espaço de Banach das funções contínuas com a norma do supremo.

Definição[editar | editar código-fonte]

A função de Weierstrass é definida pela seguinte série de Fourier:

onde e é um inteiro positivo ímpar tal que:

Nova Demonstração do Teorema de Weierstrass[editar | editar código-fonte]

O nosso objetivo aqui é apresentar uma demonstração do teorema de Weierstrass
usando apenas noções relativas às séries de Fourier.

Teorema de Weierstrass[editar | editar código-fonte]

A função dita de Weierstrass definida por :

onde e é um inteiro positivo ímpar tal que

,é contínua em e não diferenciável em qualquer ponto.

Demonstração do Teorema de Weierstrass[editar | editar código-fonte]

Continuidade de W[editar | editar código-fonte]

Observe que :
implica :
.
Isso junto com
nos permite estabelecer , usando o Weierstrass [1] , que
converge uniformemente para em .
A Continuidade de vem então da convergência uniforme das séries.
(Definição 2.41 e Teorema 2.59 do livro [1] ).

Não Diferenciabilidade de W (em qualquer ponto)[editar | editar código-fonte]

Aqui, usamos os lemas 3.2 e 3.3 do Capítulo 4 do livro de Shakarchi [2]
Quando:
, então
Supondo que é diferenciável em , obtemos o seguinte resultado :
,
ou seja,
, onde .
Para obter a contradição, precisamos apenas escolher de modo que:
 ;
Tomando:
,
onde
,
para algum , temos:
quando ,
pois
.
Contradição,
pois :
.
Portanto, não é diferenciável em .
Como é arbitrário,
temos que não é diferenciável em qualquer ponto.

Conclusão[editar | editar código-fonte]

A função de Weierstrass é contínua em todos os pontos de
mas não é diferenciável em qualquer ponto de .

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Harmonic Analysis:from Fourier to Wavelets / María Cristina Pereyra , Lesley A. Ward/ ISBN 978-0-8218-7566-7
  • Fourier Analysis:An introduction /Shakarchi; pp 116–117
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  1. a b Lesley A.Ward, María Craistina Pereyra (2012). Harmonic Analysis:From Fourier to Wavelets American Mathematical Society, Providence, Rholde Island [S.l.] p. "40-46". ISBN 978-0-8218-7566-7. 
  2. Rami Shakarchi, Elias M. Stein (2003). Fourier Analysis:An introduction Princeton University Press [S.l.] p. "116-117". ISBN 0-691-11384-X.