Parte inteira

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Função chão
Função teto

Em matemática, a função piso, denotada por , converte um número real no maior número inteiro menor ou igual a , enquanto a função teto, denotada por , converte um número real no menor número inteiro maior ou igual a .[1] As definições formais para essas função são

,
.

O conceito de parte inteira ou valor inteiro de um número é definido de duas maneiras por diferentes autores[2]. Para Graham et al.[3], a parte inteira de é o mesmo que . Para Spanier e Oldham, a parte inteira de é igual a para positivo e igual a para negativo. A segunda definição será representada neste artigo como .

O mesmo acontece para parte fracionária ou valor fracionário. Para Graham et al., a parte fracionária de é igual a . Para Spanier e Oldham, a parte fracionária de é igual a . A segunda definição será representada neste artigo como .

Tanto os nomes floor e ceiling (piso e teto em inglês) como as notações e foram introduzidos por Kenneth E. Iverson em 1962[1].

A parte inteira de um número fracionário () é dada por:

Propriedades da função piso[editar | editar código-fonte]

  • Tem-se
com igualdade à esquerda se e só se x for inteiro.
  • a função piso é idempotente: .
  • Para qualquer inteiro k e real x,
  • O habitual arredondamento de x ao inteiro mais próximo expressa-se como piso(x + 0,5).
  • A função piso não é contínua, mas semi-contínua. É linear por troços e a sua derivada é zero onde existe, ou seja, em todos os não inteiros.
  • Se x for um real e n um inteiro, então nx se e só se n ≤ piso(x). A função piso é parte de uma correspondência de Galois; é o adjunto superior da função que aplica os inteiros nos reais.
  • Para os reais não inteiros, a função piso tem uma representação de série de Fourier
  • Se m e n são inteiros positivos coprimos, então
  • É fácil ver que:
  • e:
  • É possível verificar que:

Referências

  1. a b Graham et al., p. 67
  2. MathWorld, Integer Part
  3. Graham et al., p. 70

Bibliografia[editar | editar código-fonte]