Seno

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Gráfico da função seno[1], em função do ângulo em radianos
Em um círculo trigonométrico unitário, o seno do ângulo α é a medida do segmento de reta em vermelho.

O seno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a define-se como sendo a razão entre o cateto oposto a e a hipotenusa deste triângulo. Ou seja:

Semelhancafigurasen.PNG

Exemplo: Um triângulo retângulo cuja hipotenusa é de valor 10 e seus catetos são de valores 6 e 8. O seno do ângulo oposto ao lado de valor 6 é 6/10 , ou seja, 0,6.

Definição analítica[editar | editar código-fonte]

Pode-se definir função seno pela série de Taylor[2]:

[3] Esta série possui raio de convergência infinito e as bem conhecidas propriedades da função seno podem ser demonstradas diretamente através dela.

Tal definição tem sentido tanto no conjunto dos números reais como no conjunto dos números complexos, e desta maneira pode-se definir o seno de um número complexo como:

Onde é a unidade imaginária, é a função seno hiperbólico e é a função cosseno hiperbólico.

Além disso, o seno pode ser expresso como uma soma de exponenciais complexas, devido á relação de Euler.

A recíproca do seno é a cossecante, e sua inversa é arco seno.

Aproximações[editar | editar código-fonte]

Uma lista de aproximações, das mais simples às mais complexas.

Aproximação 0[editar | editar código-fonte]

[4][5][6]

Aproximação 1[editar | editar código-fonte]

[7][8][9]

Aproximação 2[editar | editar código-fonte]

[10][11][12]

Aproximação 3[editar | editar código-fonte]

[13][14][15]

Aproximação 4[editar | editar código-fonte]

[16][17][18]

Aproximação 5[editar | editar código-fonte]

[19][20]

Aproximação 6[editar | editar código-fonte]

[21][22]

Aproximação 7[editar | editar código-fonte]

[23][24]

Aproximação 8[editar | editar código-fonte]

[25][26]

História do nome "seno"[editar | editar código-fonte]

Foi através dos árabes que a trigonometria baseada na meia corda de uma circunferência, que foi apresentada pelos hindus, chegou à Europa.

Os árabes haviam traduzido textos de trigonometria do sânscrito. Os hindus tinham dado o nome de jiva à metade da corda, e os árabes a transformaram em jiba. Na língua árabe é comum escrever apenas as consoantes de uma palavra, deixando que o leitor acrescente mentalmente as vogais. Desse modo, os tradutores árabes registraram jb. Na sua tradução do árabe para o latim, Robert de Chester interpretou jb como as consoantes da palavra jaib, que significa "baía" ou "enseada", e escreveu sinus, que é o equivalente em latim.[27] A partir daí, a jiba, ou meia corda hindu passou a ser chamada de sinus, e, em português, seno.

Referências

  1. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 25 de março de 2016 
  2. Lars Ahlfors, Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, second edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 1966.
  3. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 25 de março de 2016 
  4. «plot abs(0-sin(x)), 0 < x < pi/2 - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  5. «integral from 0 to pi/2 of abs(0-sin(x)) dx - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  6. «integral from 0 to pi/2 of (0-sin(x))^2 dx - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  7. «plot abs(1-sin(x)), 0 < x < pi/2 - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  8. «integral from 0 to pi/2 of abs(1-sin(x)) dx - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  9. «integral from 0 to pi/2 of (1-sin(x))^2 dx - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  10. «plot abs(1/2-sin(x)), 0 < x < pi/2 - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  11. «integral from 0 to pi/2 of abs(1/2-sin(x)) dx - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  12. «integral from 0 to pi/2 of (1/2-sin(x))^2 dx - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  13. «plot abs(sqrt(2)/2-sin(x)), 0 < x < pi/2 - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  14. «integral from 0 to pi/2 of abs(sqrt(2)/2-sin(x)) dx - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  15. «integral from 0 to pi/2 of (sqrt(2)/2-sin(x))^2 dx - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  16. «plot abs(2/pi-sin(x)), 0 < x < 1 - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  17. «integral from 0 to pi/2 of abs(2/pi-sin(x)) dx - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  18. «integral from 0 to pi/2 of (2/pi-sin(x))^2 dx - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  19. «(integral from 0 to pi/6 of sin(x) dx) (integral from pi/6 to pi/2 of (sin(x)-1/2) dx) - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  20. «(integral from 0 to pi/6 of (sin(x))^2 dx) (integral from pi/6 to pi/2 of (sin(x)-1/2)^2 dx) - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  21. «integral from 0 to pi/5 of sin(x) dx integral from pi/5 to pi/2 of (sin(x)-sin(pi/5)) dx - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  22. «integral from 0 to pi/5 of sin(x)^2 dx integral from pi/5 to pi/2 of (sin(x)-sin(pi/5))^2 dx - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  23. «integral from 0 to pi/4 of sin(x) dx integral from pi/4 to pi/2 of (sin(x)-sin(pi/4)) dx - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  24. «integral from 0 to pi/4 of sin(x)^2 dx integral from pi/4 to pi/2 of (sin(x)-sin(pi/4))^2 dx - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  25. «integral from 0 to pi/6 of (1/2-sin(x)) dx integral from pi/6 to pi/2 of (1-sin(x)) dx - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  26. «integral from 0 to pi/6 of (1/2-sin(x))^2 dx integral from pi/6 to pi/2 of (1-sin(x))^2 dx - Wolfram|Alpha». www.wolframalpha.com. Consultado em 24 de fevereiro de 2021 
  27. Maor, Eli, Trigonometric Delights Arquivado em 4 de abril de 2004, no Wayback Machine., Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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