Derivada

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

No cálculo, a derivada em um ponto de uma função y=f(x) representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade. Geometricamente, a derivada no ponto x=a de y = f(x) representa a inclinação da reta tangente ao gráfico desta função no ponto (a,~f(a)).[1] [2] A função que a cada ponto x associa a derivada neste ponto de f(x) é chamada de função derivada de f(x).

Click para uma maior imagem. Em cada ponto, a derivada de \scriptstyle f(x)=1 + x\sin x^2 é a tangente do ângulo que a reta tangente à curva faz em relação ao eixo das abscissas. A reta é sempre tangente à curva azul; a tangente do ângulo que ela faz com o eixo das abscissas é a derivada. Note-se que a derivada é positiva quando verde, negativa quando vermelha, e zero quando preta.

Notação[editar | editar código-fonte]

Duas distintas notações são comumente utilizados para a derivada, o resultante de Leibniz e o outro a partir de Joseph Louis Lagrange

Na notação de Leibniz, uma mudança infinitesimal em x é denotada por dx, e a derivada de y em relação a x é escrito 

\frac{dy}{dx} \,\!

sugerindo que a razão de duas quantidades infinitesimais. (A expressão acima é lido como "a derivada de y em relação a x", "dy por dx", ou "dy sobre dx". A forma oral "dydx" é usado frequentemente em tom de conversa, embora possa levar a confusão.) 

Em notação de Lagrange, a derivada em relação a x de uma função F (x) é denotada f'(x) ou fx '(x), em caso de ambiguidade da variável implicada pela derivação. Notação de Lagrange é por vezes incorretamente atribuída a Newton

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja I um intervalo aberto não-vazio e seja f:I\to\mathbb{R}, y = f(x), uma função de I em \mathbb{R}. Diz-se que função f(x) é derivável no ponto a\in I se existir o seguinte limite:[3]

f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.

Se for esse o caso, o número real f'(a) é chamado de derivada da função f no ponto a. Notações equivalentes são:

f'(a) = \frac{d f}{dx}(a) = \left. \frac{df}{dx}\right|_{x=a}.

Equivalentemente, escrevemos:

f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

o que é obtido fazendo h = x-a no limite acima. Desta forma, define-se a função derivada de f(x) por:

f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

para todo x para o qual este limite existe.

Uma função é dita derivável (ou diferenciável) quando sua derivada existe em cada ponto do seu domínio.

Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente.
Inclinação da secante ao gráfico de f
Inclinação da tangente à curva como a derivada de f(x)

Seja f uma função real definida em uma vizinhança aberta de um número real a.  

Na geometria clássica, a linha tangente ao gráfico da função f em a foi a única linha que passou pelo ponto (a, f(a)) que não encontrou o gráfico de f transversalmente, significando que a linha não passou diretamente pelo gráfico.

O declive da secante ao gráfico de f, na imagem acima, que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:

\frac{f(x+h)-f(x)}h.

Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φa de I em R contínua em a tal que

(\forall x\in I):f(x)=f(a)+\varphi_a(x).(x-a).

Então define-se a derivada de f em a como sendo φa(a).

Funções com valores em R^n

Se I for um intervalo de R com mais do que um ponto e se f for uma função de I em \mathbb{R}^n, para algum número natural n, as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função

\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\&x&\mapsto&(\cos(x),\operatorname{sen}(x))\end{array} (ou seja: uma função que a cada x do domínio em \mathbb{R} responde com uma coordenada no contradomínio em \mathbb{R}^n. Esta coordenada é (cosx,senx)).

é derivável e

(\forall x\in\mathbb{R}):f'(x)=(-\operatorname{sen}(x),\cos(x)).
O gráfico de uma função, desenhadas em preto, e uma linha tangente a essa função, elaborado em vermelho. A inclinação da linha tangente é igual a derivada da função no ponto marcado.

De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.

Diferenciabilidade[editar | editar código-fonte]

Derivabilidade num ponto[editar | editar código-fonte]

  • Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e seja f uma função de I em R derivável em a. Então f é contínua em a. O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo.
  • Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e sejam f e g funções de I em R deriváveis em a. Então as funções f ± g, f.g e (caso g(a) ≠ 0) f/g também são deriváveis em a e:
    • (f\pm g)'(a)=f'(a)\pm g'(a)
    • (f.g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)
    • (f/g)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}

Em particular, se c ∈ R, então (c.f)'=c.f'. Resulta daqui e de se ter (f+g)'=f'+g' que a derivação é uma aplicação linear.

  • Sejam I e J intervalos de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I, seja f uma função de I em J derivável em a e seja seja g uma função de J em R derivável em f(a). Então g o f é derivável em a e
(g\circ f)'(a)=g'(f(a)).f'(a).

Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia.

  • Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e seja f uma função contínua de I em R derivável em a com derivada não nula. Então a função inversa f^{-1} é derivável em f(a) e
(f^{-1})'(f(a))=\frac1{f'(a)}\cdot

Outra maneira de formular este resultado é: se a está na imagem de f e se f for derivável em f^{-1}(a) com derivada não nula, então

(f^{-1})'(a)=\frac1{f'\bigl(f^{-1}(a)\bigr)}\cdot

Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R em R definida por f(x) = x² + x − 1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive 1). De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,f(0)) mais perto estará este de ser linear.

Gráfico de uma função derivável.

Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura abaixo.

Gráfico da função modular, que não é derivável em 0.

Derivabilidade em todo o domínio[editar | editar código-fonte]

Diz-se que f é derivável ou diferenciável se o for em todos os pontos do domínio.

Uma função diferenciável
  • Uma função derivável f de I em R é constante se e só se a derivada for igual a 0 em todos os pontos. Isto é uma consequência do teorema da média.
  • Uma função derivável f de I em R é crescente se e só se a derivada for maior ou igual a 0 em todos os pontos. Isto também é uma consequência do teorema da média.

Uma função cuja derivada seja sempre maior que 0 é estritamente crescente. Uma observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada assume o valor 0 em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de R em R definida por f(x)=x^3. Naturalmente, existem enunciados análogos para funções decrescentes.

  • Se f for uma função derivável de I em R, sendo I um intervalo de R com mais do que um ponto, então f'(I) também é um intervalo de R. Outra maneira de formular este resultado é: se f for uma função derivável de [a,b] em R e se y for um número real situado entre f'(a) e f'(b) (isto é, f'(a) ≤ y ≤ f'(b) ou f'(a) ≥ y ≥ f'(b)), então existe algum c ∈ [a,b] tal que f'(c)=y. Este resultado é conhecido por teorema de Darboux.

Funções continuamente deriváveis[editar | editar código-fonte]

Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto e seja f uma função de I em R. Diz-se que f é continuamente derivável ou de classe C^1 se f for derivável e, além disso, a sua derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável é

\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\&x&\mapsto&\begin{cases}x^2\mathop{\mathrm{sen}}(\frac1x)&\text{ se }x\neq0\\0&\text{ se }x=0\text{,}\end{cases}\end{array}

pois o limite \lim_{x\rightarrow0}f'(x) não existe; em particular, f' não é contínua em 0.

Derivadas de ordem superior[editar | editar código-fonte]

Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a segunda derivada da função f. De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de terceira derivada e assim por diante. Podemos nos referir às derivadas subsequentes de f por:

\frac{df}{dx},\quad \frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right),\quad \frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right)\right)

e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregada é:

\frac{df}{dx},\quad \frac{d^{2}f}{dx^2},\quad \frac{d^{3}f}{dx^3}

ou alternativamente,

f'(x),\quad f''(x),\quad f'''(x)

ou ainda

f^{(1)}(x),\quad f^{(2)}(x),\quad f^{(3)}(x)

Se, para algum k ∈ N, f for k vezes derivável e, além disso, f(k) for uma função contínua, diz-se que f é de classe Ck.

Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que f é infinitamente derivável ou indefinidamente derivável ou ainda de classe C.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Se c ∈ R, a função f de R em R definida por f(x)=c é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a 0 em todos os pontos, pois, para cada a ∈ R:

\lim_{x\rightarrow a}\frac{c-c}{x-a}=0.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir \phi_a de R em R por \phi_a(x)=0, então \phi_a é contínua e, para cada x e cada a reais, tem-se

c=c+0.(x-a)=c+\varphi_a(x).(x-a);

além disso, f'(a)=\phi_a(a)=0.

A função f de R em R definida por f(x)=x é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a 1 em todos os pontos, pois, para cada a ∈ R:

\lim_{x\rightarrow a}\frac{x-a}{x-a}=1.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir \phi_a de R em R por \phi_a(x)=1, então \phi_a é contínua e, para cada x e cada a reais, tem-se

x=a+1.(x-a)=a+\varphi_a(x).(x-a);

além disso, f'(a)=\phi_a(a)=1.

A função f de R em R definida por f(x)=x^2 é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada no ponto a ∈ R é igual a 2a, pois:

\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^2-a^2}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{(x-a)(x+a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}x+a=2a.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir \phi_a de R em R por \phi_a(x)=x+a, então \phi_a é contínua e, para cada x e cada a reais, tem-se

x^2=a^2+(x^2-a^2)=a^2+\varphi_a(x).(x-a);

além disso, f'(a)=\phi_a(a)=2a.

A função módulo de R em R não é derivável em 0 pois

(\forall x\in\mathbb{R}):\frac{|x|-|0|}{x-0}=\begin{cases}1&\text{ se }x>0\\-1&\text{ se }x<0\end{cases}

No entanto, é derivável em todos os outros pontos de R: a derivada em a é igual a 1 quando a>0 e é igual a -1 quando a<0.

Ponto de inflexão[editar | editar código-fonte]

Um ponto em que a segunda derivada de uma função muda de sinal é chamado de um ponto de inflexão. Em um ponto de inflexão, a segunda derivada pode ser zero, como no caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = x³, ou ele pode deixar de existir, como é o caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = x^ \frac{1}{3} \,\!. Em um ponto de inflexão, uma função convexa passa a ser uma função côncava, ou vice-versa.

Pontos críticos, estacionários ou singulares[editar | editar código-fonte]

Pontos onde a derivada da função é igual a 0 chamam-se normalmente de pontos críticos. Existem cinco tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a derivada é igual ao declive da tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem onde a reta tangente é paralela ao eixo dos x. Estes pontos podem acontecer:

  1. onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados máximos locais da função
  2. onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de mínimos locais da função
  3. em pontos de inflexão (horizontais) da função, que ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função f(x)=x^3: no ponto x=0 a função tem um ponto de inflexão (horizontal).
  4. em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo, um exemplo típico é a função f(x) = x^3 sin(1/x)
  5. em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe um intervalo contendo o ponto para o qual a restrição da função ao intervalo é a função constante. Um exemplo típico é a função f(x) = |x + 1| + |x - 1| no ponto x=0.

Os pontos críticos são ferramentas úteis para examinar e desenhar gráficos de funções.

Derivadas notáveis[editar | editar código-fonte]

A derivada de uma função pode, em princípio, ser calculado a partir da definição, considerando o quociente de diferença, e computar o seu limite. Na prática, uma vez que as derivadas de algumas funções simples são conhecidos, as derivadas de outras funções são mais facilmente calculado usando regras para a obtenção de derivadas de funções mais complicadas das mais simples.

A maioria dos cálculos de derivadas, eventualmente, exige a tomada da derivada de algumas funções comuns. A seguinte lista incompleta é de algumas das funções mais frequentemente utilizadas de uma única variável real e seus derivados. 

Alguns exemplos de derivadas notáveis são:

\frac{d}{dx}e^x=e^x.
\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x},\quad x>0.

Estes dois fatos não são independentes. De fato, como o logaritmo natural é a inversa da função exponencial, resulta da igualdade \frac{d}{dx}e^x=e^x e da fórmula para a derivada da inversa que

(\forall x>0):\log'(x)=(\exp^{-1})'(x)=\frac1{\exp'\bigl(\exp^{-1}(x)\bigr)}=\frac1{\exp(\log(x))}=\frac1x\cdot

Reciprocamente, supondo-se que, para cada x>0, \log'(x)=1/x, então \exp'(x)=(\log^{-1})'(x)=\frac1{\log'\bigl(\log^{-1}(x)\bigr)}=\frac1{1/\exp(x)}=\exp(x).

\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x).

\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x).

\frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x).

\frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, -1<x<1.

\frac{d}{dx}\arccos(x)= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, -1<x<1.

\frac{d}{dx}\arctan(x)= \frac{1}{{1+x^2}}

Neste último caso, as derivadas resultam das fórmulas para as derivadas das funções trigonométricas juntamente com a fórmula para a derivada da inversa e a fórmula fundamental da trigonometria.

Regras para funções combinadas[editar | editar código-fonte]

Em muitos casos, a aplicação direta do quociente de diferença de Newton pode ser evitado usando regras de diferenciação, evitando complicados cálculos de limite.  Algumas das regras mais básicas são as seguintes:

  • Regra da constante: se f(x) é constante, então:

f' = 0. \,

  • Regra da soma:

(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' \,

para todas as funções f e g e todos os números reais \alpha e \ beta

(fg)' = f 'g + fg' \,

para todas as funções f e g. Por conseguinte, isso significa que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função

\frac{d}{dr}\pi r^2=2 \pi r. \,

\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

para todas as funções f e g, em que g ≠ 0.

Se f(x) = h(g(x)),

então:

f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x). \,

Exemplo de uso[editar | editar código-fonte]

A derivada de f(x) = x^4 + \sin (x^2) - \ln(x) e^x + 7\,

é \begin{align}
f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ \frac{d\left(x^2\right)}{dx}\cos (x^2) - \frac{d\left(\ln {x}\right)}{dx} e^x - \ln{x} \frac{d\left(e^x\right)}{dx} + 0 \\
      &= 4x^3 + 2x\cos (x^2) - \frac{1}{x} e^x - \ln(x) e^x.
\end{align}

As derivadas conhecidas de funções elementares x^2, x^4, sen(x) e exp(x)=e^x, assim como a constante 7, também foram usadas. 

Funções de uma variável complexa[editar | editar código-fonte]

Se A for um conjunto de números complexos, se f for uma função de A em C e se a for um ponto não isolado de A (isto é, se tão perto quanto se queira de a houver outros elementos de A), então as duas definições da derivada de f no ponto a continuam a fazer sentido. De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, mais uma vez, as que dizem respeito à monotonia de funções.

Física[editar | editar código-fonte]

Uma das mais importantes aplicações da Análise à Física (senão a mais importante), é o conceito de derivada temporal — a taxa de mudança ao longo do tempo — que é necessária para a definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, as derivadas temporais da posição s de um objecto são importantes na física newtoniana:

  • Velocidade (velocidade instantânea; o conceito de velocidade média é anterior à Análise) v é a derivada (com respeito ao tempo) da posição do objeto.
  • Aceleração a é a derivada (com respeito ao tempo) da velocidade de um objecto.

Posto de outro modo:

\begin{align}v(t)&=\frac{ds}{dt}\\a(t)&=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}\end{align}

Por exemplo, se a posição de um objecto é s(t) = −16t² + 16t + 32, então a velocidade do objecto é s′(t) = −32t + 16 e a aceleração do objecto é s′′(t) = −32. Uma forma de enunciar a segunda lei de Newton é F = dp/dt , sendo p o momento linear do objecto.

Derivadas em maiores dimensões[editar | editar código-fonte]

Derivadas de funções vetoriais[editar | editar código-fonte]

Uma função vetorial y(t) de uma variável real de uma variável real envia números reais de vetores em R^n algum espaço vetorial. A função vetorial pode ser dividido em suas funções coordenadas y1(t), y2(t),...,yn(t), significando que y(t) = (y_1 (t), ..., y_n (t)). Isto inclui, por exemplo, curvas paramétricas em R² ou R³.

As funções de coordenadas são funções de valores reais, de modo que a definição acima de derivada aplica-se a eles. A derivada de y (t) é definida como sendo o vetor, chamado o vetor tangente, cujas coordenadas são as derivadas das funções de coordenadas. Isto é,  

\mathbf{y}'(t) = (y'_1(t), \ldots, y'_n(t)).

equivalentemente, 

\mathbf{y}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{y}(t+h) - \mathbf{y}(t)}{h}, se o limite existe.

A subtração no numerador é a subtração de vetores, não escalares. Se a derivada de y existe para cada valor de t, então y' é outra função vetorial. 

Se e_1, ..., e_n é a base padrão para R^n, então y (t) também pode ser escrito como y_1(t)e_1 + ... + y_n(t)e_n. Se assumirmos que a derivada de uma função vetorial mantém a propriedade da linearidade, então a derivada de y (t) deve ser

y'_1(t)\mathbf{e}_1 + \cdots + y'_n(t)\mathbf{e}_n

   porque cada um dos vetores de base é uma constante. 


 Esta generalização é útil, por exemplo, se y (t) é o vetor de posição de uma partícula no tempo t; em seguida, o derivado y '(t) é o vetor de velocidade da partícula no tempo t. 

Derivadas parciais[editar | editar código-fonte]

Quando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito de derivada parcial. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de uma função para uma determinada variável, enquanto as outras se mantêm fixadas. No gráfico, é usada para determinar a variação da função em um determinado eixo. Derivadas parciais são representadas como, por exemplo, ∂z/∂x, sendo x a variável fixada sobre uma função em z.

Suponha que f é uma função que depende mais de uma variável, por exemplo, 

f(x,y) = x^2 + xy + y^2.\,

f pode ser reinterpretado como uma família de funções de uma variável indexada pelas outras variáveis: 

f(x,y) = f_x(y) = x^2 + xy + y^2.\,

Em outras palavras, cada valor de x escolhe uma função,  denotando f_x, que é uma função de um número real.  Ou seja, 

x \mapsto f_x,\,

f_x(y) = x^2 + xy + y^2.\,

Uma vez que um valor de x é escolhido,  digamos a, então f(x,y) determina a função f_a que envia y a a2+ay+y2: 

f_a(y) = a^2 + ay + y^2.\,

Nesta expressão, a é uma constante, e não uma variável, de modo que f_a é uma função de uma única variável real. Consequentemente, a definição da derivada para uma função de uma variável aplica-se: 

f_a'(y) = a + 2y.\,

O procedimento acima pode ser realizada por qualquer escolha de a. Montando as derivadas juntas em uma função, dá uma função que descreve a variação de f na direção y: 

\frac{\part f}{\part y}(x,y) = x + 2y.

Esta é a derivada parcial de f em relação a y. Aqui, ∂ é o símbolo derivada parcial. 

Em geral, a derivada parcial de uma função f (x_1, ..., x_n) na direção de x_i, no ponto (a_1 ..., a_n) é definido como sendo:  

\frac{\part f}{\part x_i}(a_1,\ldots,a_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_i+h,\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots,a_i,\ldots,a_n)}{h}. 


Na diferença de quociente acima, todas as variáveis, exceto x_i, são mantidos fixos. Essa escolha de valores fixos determina uma função de uma variável. 

{f_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}(x_i) = f(a_1,\ldots,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\ldots,a_n),

e por definição, 

\frac{df_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(a_i) = \frac{\part f}{\part x_i}(a_1,\ldots,a_n).

Em outras palavras, as diferentes opções de classificar uma família de funções de uma variável tal como no exemplo acima. Esta expressão também mostra que o cálculo das derivadas parciais reduz para o cálculo dos derivados de uma variável. 

Um exemplo importante de uma função de várias variáveis é o caso de uma função de valor escalar f (x_1, ..., x_n) em um domínio no espaço Euclidiano R^n (por exemplo, em R² ou R²). Neste caso, f tem uma derivada parcial ∂f / ∂xj em relação a cada variável x_j. No ponto a, estas derivadas parciais definem o vetor 

\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).

Este vetor é denominado gradiente de f em a. Se f é diferenciável em todos os pontos em algum domínio, então o gradiente é uma função vetorial ∇f  que leva o ponto a para o vetor ∇f(a). 

Consequentemente, o gradiente determina um campo vetorial.

Derivadas Direcionais [editar | editar código-fonte]

Se f é uma função com valores reais em R^n, então a derivada parcial de f mede a sua variação na direção dos eixos das coordenadas. Por exemplo, se f é uma função de x e y, então sua derivada parcial mede a variação em f na direção x e na direção y. Contudo, elas (derivadas parciais) não medem diretamente a variação de f em qualquer outra direção, tal como aquela ao longo da linha diagonal y=x. Estas são medidas usando-se as derivadas direcionais. Escolha um vetor: 

\mathbf{v} = (v_1,\ldots,v_n).

 A derivada direcional de f na direção de v no ponto x é o limite  

D_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x})}{h}}.

Em alguns casos pode ser mais fácil computar ou estimar a derivada direcional depois de mudar o comprimento do vetor. Frequentemente isso é feito para transformar o problema numa computação de uma derivada direcional na direção de um vetor unitário. Para ver como isso funciona, suponha v = λu. Substitua h = k/λ no quociente da diferença. 

O quociente da diferença torna-se: 

\frac{f(\mathbf{x} + (k/\lambda)(\lambda\mathbf{u})) - f(\mathbf{x})}{k/\lambda}
= \lambda\cdot\frac{f(\mathbf{x} + k\mathbf{u}) - f(\mathbf{x})}{k}.

Isso é λ vezes o quociente da diferença para a derivada direcional de f  no que diz respeito a u. Além disso, tomar o limite como h tendendo a zero é o mesmo que tomar o limite como k tendendo a zero, pois h e k são múltiplos um do outro. 

Portanto, Dv(f) = λDu(f). Devido a essa propriedade de redirecionamento, derivadas direcionais são frequentemente consideradas apenas para vetores unitários.    

Se todas as derivadas parciais de f existem e são contínuas em x, então elas determinam a derivada direcional de f na direção de v  pela fórmula: 

D_{\mathbf{v}}{f}(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^n v_j \frac{\partial f}{\partial x_j}. 

 Essa é a consequência da definição de derivada total. Diz-se que a derivada direcional é linear em v, significando que D_V + _W(f) = D_V(f) + D_W(f).  

A mesma definição também é aplicável quando f é a função com valores em R^m. . A definição acima é aplicada a cada componente dos vetores. Nesse caso, a derivada direcional é um vetor em R^m


Referências

  1. STEWART, James. Curso de cálculo volume 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 4ªa edição. ISBN 85-221-0236-8. Página 159.
  2. Anton, Howard. Cálculo - Volume 1. 8 ed. [S.l.]: Bookman, 2009. ISBN 9788560031634
  3. STEWART, James. Curso de cálculo volume 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 4ªa edição. ISBN 85-221-0236-8. Página 156.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Agudo, F. R. Dias, Análise Real (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994
  • Ostrowski, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral (3 volumes), Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1981
  • Ricieri, A. P., Derivada Fracionária, Transformada de Laplace e outros bichos, Prandiano, 1993, S. José dos Campos - SP - Brasil.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]