Série de Laurent

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico

Em matemática, a série de Laurent de uma função complexa f(z) é sua representação como uma série de potências que inclui termos de grau negativo. Pode ser utilizada para expressar funções complexas nos casos em que uma expansão em série de Taylor não pode ser feita. A série de Laurent tem o nome de quem a primeiro publicou, em 1843: Pierre Alphonse Laurent. Karl Weierstrass pode tê-la descoberto primeiro em um artigo escrito em 1841, mas este foi publicado postumamente.

A série de Laurent para uma função complexa f(z) sobre um ponto c é dada por:

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$

em que a_n são constantes, definidas pela integral de linha, que é uma generalização da fórmula integral de Cauchy:

$a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,\mathrm {d} z}{(z-c)^{n+1}}}.\,$

O caminho de integração $\gamma$ é anti-horário ao redor de uma curva de Jordan ao redor de c e estando em uma coroa circular A em que $f(z)$ é holomórfica (analítica). A expansão para $f(z)$ vai então ser válida em qualquer lugar dentro da coroa.

Séries de Laurent de funções analíticas

Os coeficientes de uma série de Laurent de uma função analítica f cujo domínio contenha um anel A são calculados a partir de um lacete γ cuja imagem está contida no anel em questão.

Pierre Alphonse Laurent

Considere-se um anel A em C, ou seja, um conjunto da forma

$A=\left\{z\in \mathbb {C} \,\vert \,r<|z-c|<R\right\},$

onde c ∈ C e onde r, R ∈ [0,+∞] são tais que r < R. Se f for uma função analítica cujo domínio contenha A então é possível representar f(z), para cada z ∈ A, sob a forma

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a_{n}(z-c)^{n}$

de uma e uma só maneira.

Os coeficientes da série de Laurent da função analítica f no anel A:

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$

podem ser obtidos pelo seguinte processo:

$a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,\mathrm {d} z}{(z-c)^{n+1}}}.\,$

em que γ é um lacete (ou caminho fechado) com imagem no anel dado e cujo índice relativamente a c seja igual a 1. A representação de f(z) pela série de Laurent dada é então válida para qualquer ponto do anel.

Bibliografia

• Complex Analysis , L. Ahlfors, 1979, 3rd ed. McGraw Hill