Fórmula integral de Cauchy

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Em matemática, a fórmula integral de Cauchy, nomeada em homenagem a Augustin Louis Cauchy, é um teorema central na análise complexa. Ela pode ser expressa pelo fato de que uma função holomorfa, definida sobre e dentro de uma curva simples fechada C, é completamente determinada pelos seus valores na fronteira dessa curva.[1]

O teorema[editar | editar código-fonte]

Seja f uma função holomorfa sobre e dentro um contorno simplesmente fechado C no plano complexo. Então, temos que para todo z0 no interior de C

f(z_0) = {1 \over 2\pi i} \oint_C {f(z) \over z-z_0}\, dz

onde a integral de contorno é tomada em sentido anti-horário.[1]

A prova dessa equação utiliza o teorema de integral de Cauchy e, assim como o teorema, necessita apenas que f seja analítica. Pode-se, a partir dessa fórmula e dessa exigência, deduzir que

f^{(n)}(z_0) = {n! \over 2\pi i} \oint_C {f(z) \over (z-z_0)^{n+1}}\, dz.

denominada integral de Cauchy generalizada.[2] [3] A integral de Cauchy em sua versão generalizada afirma que, se uma função é analítica em um ponto, então suas derivadas de todas as ordens existem nesse ponto e, além disso, são analíticas nesse ponto.[2]

Referências

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • ARFKEN, G. B.; WEBER, H. J. (2005). Mathematical Methods for Physicists 6th ed. (Amsterdã: Academic Press). p. 1118. 
  • BROWN, James Ward; CHURCHILL, Ruel V. (2003). Complex Variable and Applications 7th ed. (Boston: McGrall-Hill). p. 458. 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]