Fórmula integral de Cauchy

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Em matemática, a fórmula integral de Cauchy, nomeada em homenagem a Augustin Louis Cauchy, é um teorema central na análise complexa. Ela pode ser expressa pelo fato de que uma função holomorfa, definida sobre e dentro de uma curva simples fechada C, é completamente determinada pelos seus valores na fronteira dessa curva.[1]

O teorema[editar | editar código-fonte]

Seja uma função holomorfa definida no conjunto simplesmente conexo e um contorno simplesmente fechado C em . Então, temos que para todo z0 no interior de C

onde a integral de contorno é tomada em sentido anti-horário.[1]

A prova dessa equação utiliza o teorema de integral de Cauchy e, assim como o teorema, necessita apenas que f seja analítica. Pode-se, a partir dessa fórmula e dessa exigência, deduzir que

denominada integral de Cauchy generalizada.[2][3] A integral de Cauchy em sua versão generalizada afirma que, se uma função é analítica em um ponto, então suas derivadas de todas as ordens existem nesse ponto e, além disso, são analíticas nesse ponto.[2]

A ideia da prova[editar | editar código-fonte]

Para demonstrarmos a fórmula, começamos observando que a função holomorfa definida por , por ter derivada nesse ponto, possui uma singularidade removível em , e portanto vale o teorema integral de Cauchy: . Portanto, , o que implica o teorema.

Funções Não Holomorfas[editar | editar código-fonte]

Para uma função não holomorfa, as condições de Cauchy-Riemann não são satisfeitas, ou seja:

e a fórmula de Cauchy torna-se

importante notar que a 2-forma se anula sempre que f é analítica, e retornamos à Fórmula de Cauchy usual.

Referências

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • ARFKEN, G. B.; WEBER, H. J. (2005). Mathematical Methods for Physicists 6th ed. Amsterdã: Academic Press. 1118 páginas 
  • BROWN, James Ward; CHURCHILL, Ruel V. (2003). Complex Variable and Applications 7th ed. Boston: McGrall-Hill. 458 páginas 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]