Fórmula integral de Cauchy

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Em matemática, a fórmula integral de Cauchy, nomeada em homenagem a Augustin Louis Cauchy, é um teorema central na análise complexa. Ela pode ser expressa pelo fato de que uma função holomorfa, definida sobre e dentro de uma curva simples fechada C, é completamente determinada pelos seus valores na fronteira dessa curva.1

O teorema[editar | editar código-fonte]

Seja f uma função holomorfa sobre e dentro um contorno simplesmente fechado C no plano complexo. Então, temos que para todo z0 no interior de C

f(z_0) = {1 \over 2\pi i} \oint_C {f(z) \over z-z_0}\, dz

onde a integral de contorno é tomada em sentido anti-horário.1

A prova dessa equação utiliza o teorema de integral de Cauchy e, assim como o teorema, necessita apenas que f seja analítica. Pode-se, a partir dessa fórmula e dessa exigência, deduzir que

f^{(n)}(z_0) = {n! \over 2\pi i} \oint_C {f(z) \over (z-z_0)^{n+1}}\, dz.

denominada integral de Cauchy generalizada.2 3 A integral de Cauchy em sua versão generalizada afirma que, se uma função é analítica em um ponto, então suas derivadas de todas as ordens existem nesse ponto e, além disso, são analíticas nesse ponto.2

Referências

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • ARFKEN, G. B.; WEBER, H. J.. Mathematical Methods for Physicists. 6th ed. Amsterdã: Academic Press, 2005. 1118 p.
  • BROWN, James Ward; CHURCHILL, Ruel V.. Complex Variable and Applications. 7th ed. Boston: McGrall-Hill, 2003. 458 p.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]