Função holomorfa

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Funções holomorfas são o objeto central do estudo da análise complexa. Estas funções são definidas sobre um subconjunto aberto do plano complexo com valores em que são diferenciáveis em cada ponto.[1]

Esta condição é muito mais forte que a diferenciabilidade em caso real e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua série de Taylor. O termo função analítica é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa",[1] entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz função inteira. A frase "holomorfa em um ponto" significa não só diferenciável em , mas diferenciável em algum disco aberto centrado em , no plano complexo.

Definição[editar | editar código-fonte]

Se é um subconjunto aberto de e é uma função[2], dizemos que é diferenciável complexa ou -diferenciável no ponto se o limite

existir.[3]

Este limite se toma aqui sobre todas as sucessões de números complexos que se aproximam de , e para todas essa sucessões o quociente de diferenciais tem que resultar no mesmo número . Intuitivamente, se é diferenciável complexa em e nas proximidades ao ponto da direção , então as imagens se aproximarão ao ponto a partir da direção , onde o último produto é a multiplicação de números complexos. Este conceito de diferenciabilidade compartilha várias propriedades com a diferenciabilidade em caso real: é linear e obedece as regras da derivação do produto, do quociente, da cadeia e da função inversa.[3]

Se é complexa diferenciável em cada ponto , dizemos que é holomorfa em .[1]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A derivada de uma função complexa tem várias propriedades análogas à derivada de uma função real, como, por exemplo:

etc. [3]

Algumas propriedades de funções holomorfas, porém, não tem equivalentes nas funções reais. Por exemplo:

  • Se a parte real, ou a parte imaginária, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.[1]
  • Se o módulo, ou o argumento, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.[3] O argumento, aqui, é o ângulo obtido pela transformação

Pelas propriedades acima, a função , dada por não é holomorfa em nenhum aberto (pode-se provar diretamente que esta função não é diferenciável em nenhum ponto[3]).

Além disso, se uma função é holomorfa no aberto e é dada por, então satisfaz as equações de Cauchy-Riemann e para todo o . O recíproco não é, em geral, verdade. A condição torna-se necessária e suficiente se for exigido que e sejam funções de classe no ponto tal que .

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d Robert Friedman, Columbia University, Department of Mathematics, 2. Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations, 2.4 The Cauchy-Riemann equations
  2. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 24 de março de 2016 
  3. a b c d e Robert Friedman, Columbia University, Department of Mathematics, 2. Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations, 2.3 Complex derivatives [em linha]
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