Equação de Laplace

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Equação de Laplace, em matemática, é uma equação diferencial parcial cujo nome honra seu criador, Pierre Simon Laplace. Trata-se de uma equação diferencial elíptica de alta relevância, pois é descritora modelar de comportamentos em vários campos da ciência, como, por exemplo, a astronomia, o eletromagnetismo, a mecânica dos fluidos, formulando-lhes as funções potencial gravitacional, elétrica, fluídica, entre outras aplicações. Com efeito, a teoria geral de soluções para a equação de Laplace é conhecida como teoria do potencial.

Definição[editar | editar código-fonte]

Em um conjunto aberto , a equação de Laplace é definida por[1]:

onde, denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):

Aqui, a incógnita é uma função de em Uma tal função é dita ser harmônica, se é solução da equação de Laplace e é duas vezes continuamente diferenciável, i.e. e . Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por . Esta notação é motivada pelo fato de que , onde denota o gradiente.

Definição em [editar | editar código-fonte]

Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano , a equação de Laplace toma a forma[2] (em coordenadas cartesianas):

Em coordenadas polares , a equação torna-se:

Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis , e .

Definição em [editar | editar código-fonte]

Em três dimensões, o problema consiste em determinar funções reais duplamente diferenciáveis, de variáveis reais , e , tais que:

- em coordenadas cartesianas

- em coordenadas cilíndricas,

- em coordenadas esféricas,

Solução fundamental[editar | editar código-fonte]

A função definida por:

é chamada de solução fundamental da equação de Laplace.[1] Aqui, denota o volume da bola unitária em . Verifica-se, por substituição direta, que em .

Condições de contorno[editar | editar código-fonte]

A equação de Laplace deve ser complementada com condições de contorno.

Problema de Dirichlet[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Problema de Dirichlet

Quando como condição de contorno é especificado o valor da função sobre o contorno do domínio , esta é denominada condição de contorno de Dirichlet:

.

Unicidade[editar | editar código-fonte]

Como consequência do princípio do máximo forte para funções harmônicas, mostra-se que se é conexo, e é uma função não-negativa (não-positiva), então é não-negativa (não-positiva) em . Como consequência, existe no máximo uma solução para o problema de Dirichlet sobre tais hipóteses.[1]

Observamos que a unicidade de solução para o problema de Dirichlet pode ser garantida mesmo sem a hipótese de conexidade sobre . Para tanto, veja condição de contorno de Dirichlet para equação de Poisson.

Representação da Solução[editar | editar código-fonte]

Se é solução do problema de Dirichlet acima, então:[1]

onde, é a normal unitária exterior a e é a derivada normal da função de Green:

Aqui, é a solução fundamental (veja acima) e, para cada , é solução de:

Fórmula de Poisson para a bola[editar | editar código-fonte]

A fórmula de representação acima depende da função de Green . Em alguns casos esta função é conhecida. Se , então:[1]

a qual é conhecida como núcleo de Poisson para a bola . De fato, podemos mostrar que se , então:[1]

é solução do problema de Dirichlet no sentido que e:


Problema de Neumann[editar | editar código-fonte]

Quando como condição de contorno é especificado a derivada normal função incógnita sobre o contorno do domínio , esta é denominada condição de contorno de Neumann:

Neste caso o valor da derivada normal da função é especificado sobre o contorno:

Uma condição de existência pode ser encontrada integrando a equação em todo o domínio e aplicando a primeira identidade de Green:

Referências

  1. a b c d e f Evans, Lawrence C. (2010). Partial Differential Equations 2 ed. American Mathematical Society [S.l.] ISBN 978-0821849743. 
  2. Figueiredo, Djairo (1987). Análise de Fourier e equações diferenciais parciais 2 ed. IMPA [S.l.] ISBN 8524400269. 

Ver também[editar | editar código-fonte]


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