Equação de Laplace

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Equação de Laplace, em matemática, é uma equação diferencial parcial cujo nome honra seu criador, Pierre Simon Laplace. Trata-se de uma equação diferencial elíptica de alta relevância, pois é descritora modelar de comportamentos em vários campos da ciência, como, por exemplo, a astronomia, o eletromagnetismo, a mecânica dos fluidos, formulando-lhes as funções potencial gravitacional, elétrica, fluídica, entre outras aplicações. Com efeito, a teoria geral de soluções para a equação de Laplace é conhecida como teoria do potencial.

Definição[editar | editar código-fonte]

Em um conjunto aberto '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"', a equação de Laplace é definida por[1]:

'"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"'

onde, '"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"' denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):

'"`UNIQ--postMath-00000004-QINU`"'

Aqui, a incógnita '"`UNIQ--postMath-00000005-QINU`"' é uma função de '"`UNIQ--postMath-00000006-QINU`"' em '"`UNIQ--postMath-00000007-QINU`"' Uma tal função '"`UNIQ--postMath-00000008-QINU`"' é dita ser harmônica, se é solução da equação de Laplace e é duas vezes continuamente diferenciável, i.e. '"`UNIQ--postMath-00000009-QINU`"' e '"`UNIQ--postMath-0000000A-QINU`"'. Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por '"`UNIQ--postMath-0000000B-QINU`"'. Esta notação é motivada pelo fato de que '"`UNIQ--postMath-0000000C-QINU`"', onde '"`UNIQ--postMath-0000000D-QINU`"' denota o gradiente.

Definição em '"`UNIQ--postMath-0000000E-QINU`"'[editar | editar código-fonte]

Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano '"`UNIQ--postMath-0000000F-QINU`"', a equação de Laplace toma a forma[2] (em coordenadas cartesianas):

'"`UNIQ--postMath-00000010-QINU`"'

Em coordenadas polares '"`UNIQ--postMath-00000011-QINU`"', a equação torna-se:

'"`UNIQ--postMath-00000012-QINU`"'

Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis '"`UNIQ--postMath-00000013-QINU`"', '"`UNIQ--postMath-00000014-QINU`"' e '"`UNIQ--postMath-00000015-QINU`"'.

Definição em '"`UNIQ--postMath-00000016-QINU`"'[editar | editar código-fonte]

Em três dimensões, o problema consiste em determinar funções reais '"`UNIQ--postMath-00000017-QINU`"' duplamente diferenciáveis, de variáveis reais '"`UNIQ--postMath-00000018-QINU`"', '"`UNIQ--postMath-00000019-QINU`"' e '"`UNIQ--postMath-0000001A-QINU`"', tais que:

- em coordenadas cartesianas

'"`UNIQ--postMath-0000001B-QINU`"'

- em coordenadas cilíndricas,

'"`UNIQ--postMath-0000001C-QINU`"'

- em coordenadas esféricas,

'"`UNIQ--postMath-0000001D-QINU`"'

Solução fundamental[editar | editar código-fonte]

A função '"`UNIQ--postMath-0000001E-QINU`"' definida por:

'"`UNIQ--postMath-0000001F-QINU`"'

é chamada de solução fundamental da equação de Laplace.[1] Aqui, '"`UNIQ--postMath-00000020-QINU`"' denota o volume da bola unitária em '"`UNIQ--postMath-00000021-QINU`"'. Verifica-se, por substituição direta, que '"`UNIQ--postMath-00000022-QINU`"' em '"`UNIQ--postMath-00000023-QINU`"'.

Condições de contorno[editar | editar código-fonte]

A equação de Laplace deve ser complementada com condições de contorno.

Problema de Dirichlet[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Problema de Dirichlet

Quando como condição de contorno é especificado o valor da função sobre o contorno '"`UNIQ--postMath-00000024-QINU`"' do domínio '"`UNIQ--postMath-00000025-QINU`"', esta é denominada condição de contorno de Dirichlet:

'"`UNIQ--postMath-00000026-QINU`"'.

Unicidade[editar | editar código-fonte]

Como consequência do princípio do máximo forte para funções harmônicas, mostra-se que se '"`UNIQ--postMath-00000027-QINU`"' é conexo, '"`UNIQ--postMath-00000028-QINU`"' e '"`UNIQ--postMath-00000029-QINU`"' é uma função não-negativa (não-positiva), então '"`UNIQ--postMath-0000002A-QINU`"' é não-negativa (não-positiva) em '"`UNIQ--postMath-0000002B-QINU`"'. Como consequência, existe no máximo uma solução para o problema de Dirichlet sobre tais hipóteses.[1]

Observamos que a unicidade de solução para o problema de Dirichlet pode ser garantida mesmo sem a hipótese de conexidade sobre '"`UNIQ--postMath-0000002C-QINU`"'. Para tanto, veja condição de contorno de Dirichlet para equação de Poisson.

Representação da Solução[editar | editar código-fonte]

Se '"`UNIQ--postMath-0000002D-QINU`"' é solução do problema de Dirichlet acima, então:[1]

'"`UNIQ--postMath-0000002E-QINU`"'

onde, '"`UNIQ--postMath-0000002F-QINU`"' é a normal unitária exterior a '"`UNIQ--postMath-00000030-QINU`"' e '"`UNIQ--postMath-00000031-QINU`"' é a derivada normal da função de Green:

'"`UNIQ--postMath-00000032-QINU`"'

Aqui, '"`UNIQ--postMath-00000033-QINU`"' é a solução fundamental (veja acima) e, para cada '"`UNIQ--postMath-00000034-QINU`"', '"`UNIQ--postMath-00000035-QINU`"' é solução de:

'"`UNIQ--postMath-00000036-QINU`"'
Fórmula de Poisson para a bola[editar | editar código-fonte]

A fórmula de representação acima depende da função de Green '"`UNIQ--postMath-00000037-QINU`"'. Em alguns casos esta função é conhecida. Se '"`UNIQ--postMath-00000038-QINU`"', então:[1]

'"`UNIQ--postMath-00000039-QINU`"'

a qual é conhecida como núcleo de Poisson para a bola '"`UNIQ--postMath-0000003A-QINU`"'. De fato, podemos mostrar que se '"`UNIQ--postMath-0000003B-QINU`"', então:[1]

'"`UNIQ--postMath-0000003C-QINU`"'

é solução do problema de Dirichlet no sentido que '"`UNIQ--postMath-0000003D-QINU`"' e:

'"`UNIQ--postMath-0000003E-QINU`"'


Problema de Neumann[editar | editar código-fonte]

Quando como condição de contorno é especificado a derivada normal função incógnita sobre o contorno '"`UNIQ--postMath-0000003F-QINU`"' do domínio '"`UNIQ--postMath-00000040-QINU`"', esta é denominada condição de contorno de Neumann:

Neste caso o valor da derivada normal da função é especificado sobre o contorno:

'"`UNIQ--postMath-00000041-QINU`"'

Uma condição de existência pode ser encontrada integrando a equação em todo o domínio '"`UNIQ--postMath-00000042-QINU`"' e aplicando a primeira identidade de Green:

'"`UNIQ--postMath-00000043-QINU`"'

Referências

  1. a b c d e f Erro Lua em Módulo:Citação/CS1/COinS na linha 131: attempt to index field 'stripmarkers' (a nil value).
  2. Erro Lua em Módulo:Citação/CS1/COinS na linha 131: attempt to index field 'stripmarkers' (a nil value).

Ver também[editar | editar código-fonte]


Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.