Equação de Laplace, em matemática, é uma equação diferencial parcial cujo nome honra seu criador, Pierre Simon Laplace. Trata-se de uma equação diferencial elíptica de alta relevância, pois é descritora de comportamentos em vários campos da ciência, como, por exemplo, a astronomia, o eletromagnetismo, a mecânica dos fluidos, formulando-lhes as funções potencial gravitacional, elétrica, fluídica, entre outras aplicações. Com efeito, a teoria geral de soluções para a equação de Laplace é conhecida como teoria do potencial.
Em um conjunto aberto
, a equação de Laplace é definida por:[1]
onde,
denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):
Aqui, a incógnita
é uma função de
em
Uma tal função
é dita ser harmônica, se é solução da equação de Laplace e é duas vezes continuamente diferenciável, i.e.
e
. Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por
. Esta notação é motivada pelo fato de que
, onde
denota o gradiente.
Definição em
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Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano
, a equação de Laplace toma a forma[2] (em coordenadas cartesianas):
Em coordenadas polares
, a equação torna-se:
Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis
,
e
.
Definição em
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Em três dimensões, o problema consiste em determinar funções reais
duplamente diferenciáveis, de variáveis reais
,
e
, tais que:
- em coordenadas cartesianas

- em coordenadas cilíndricas,

- em coordenadas esféricas,

A função
definida por:
é chamada de solução fundamental da equação de Laplace.[1] Aqui,
denota o volume da bola unitária em
. Verifica-se, por substituição direta, que
em
.
A equação de Laplace deve ser complementada com condições de contorno.
Quando como condição de contorno é especificado o valor da função sobre o contorno
do domínio
, esta é denominada condição de contorno de Dirichlet:
.
Como consequência do princípio do máximo forte para funções harmônicas, mostra-se que se
é conexo,
e
é uma função não-negativa (não-positiva), então
é não-negativa (não-positiva) em
. Como consequência, existe no máximo uma solução para o problema de Dirichlet sobre tais hipóteses.[1]
Observamos que a unicidade de solução para o problema de Dirichlet pode ser garantida mesmo sem a hipótese de conexidade sobre
. Para tanto, veja condição de contorno de Dirichlet para equação de Poisson.
Se
é solução do problema de Dirichlet acima, então:[1]

onde,
é a normal unitária exterior a
e
é a derivada normal da função de Green:

Aqui,
é a solução fundamental (veja acima) e, para cada
,
é solução de:

A fórmula de representação acima depende da função de Green
. Em alguns casos esta função é conhecida. Se
, então:[1]

a qual é conhecida como núcleo de Poisson para a bola
. De fato, podemos mostrar que se
, então:[1]

é solução do problema de Dirichlet no sentido que
e:

Quando como condição de contorno é especificado a derivada normal função incógnita sobre o contorno
do domínio
, esta é denominada condição de contorno de Neumann:
Neste caso o valor da derivada normal da função é especificado sobre o contorno:

Uma condição de existência pode ser encontrada integrando a equação em todo o domínio
e aplicando a primeira identidade de Green:

Referências
- ↑ a b c d e f Evans, Lawrence C. (2010). Partial Differential Equations 2 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0821849743
- ↑ Figueiredo, Djairo (1987). Análise de Fourier e equações diferenciais parciais 2 ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 8524400269