Wronskiano

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Em matemática, wronskiano é uma função aplicada especialmente no estudo de equações diferenciais. O nome dessa função é uma homenagem ao matemático polonês Josef Wronski.

Dado um conjunto de funções f1, f2, ... fn, define-se o Wronskiano de acordo com o determinante:

.

Este determinante é construído pondo as funções na primeira linha, as primeiras derivadas de cada função na segunda linha, assim procedendo até a derivada de ordem (n-1), formando assim um arranjo quadrado denominado matriz fundamental.

Wronskiano e independência linear[editar | editar código-fonte]

O Wronskiano é utilizado para determinar se um conjunto de funções diferenciáveis são linearmente dependentes ou independentes, em um dado intervalo. Caso o Wronskiano seja diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes.

Este conceito é muito útil em diversas situações, por exemplo na verificação se duas funções que são soluções de uma EDO de segunda ordem são linearmente dependentes ou independentes. Um erro muito comum é falar que as funções são linearmente dependentes quando W=0. Giuseppe Peano foi um dos primeiros a apontar a inconsistência desse fato ao mostrar que as funções f(x) = x² e g(x) = x|x|, que são linearmente independentes, tem o W=0. Algum tempo depois, Maxime Bôcher mostrou que existem infinitas funções que possuem essa mesma propriedade. Uma mostra de tal é dada no exemplo 3.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Considere as funções e definido para o conjunto dos números reais. O Wronskiano correspondente é:
Pode-se notar que W é diferente de zero para qualquer número real. Portanto, essas funções certamente são linearmente independentes.
  • Considere as funções , e . Existe uma clara dependência linear entre essas funções, já que Logo, o Wronskiano associado deve ser igual a zero:
  • Como foi dito acima, W=0 não quer dizer que as funções são linearmente dependentes. Considere as funções e (valor absoluto de ), que pode ser escrita como:
Pode-se perceber que essas funções são linearmente independentes, pois não existem constantes e diferentes simultaneamente de 0 tais que para qualquer valor de x. Entretanto, seu Wronskiano é zero:

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]