Matriz aumentada

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Na álgebra linear, uma matriz aumentada é uma matriz obtida anexando as colunas de duas matrizes fornecidas, geralmente com o objetivo de executar as mesmas operações de linha elementares em cada uma das matrizes fornecidas.

Dadas as matrizes e , onde

a matriz aumentada é escrita como

Isso é útil ao resolver sistemas de equações lineares.

Para um determinado número de incógnitas, o número de soluções para um sistema de equações lineares depende apenas do posto da matriz que representa o sistema e do posto da matriz aumentada correspondente. Especificamente, de acordo com o teorema de Rouché-Capelli, qualquer sistema de equações lineares é inconsistente (não possui soluções) se o posto da matriz aumentada for maior que o posto da matriz do coeficiente; se, por outro lado, os postos dessas duas matrizes forem iguais, o sistema deverá ter pelo menos uma solução. A solução é única se e somente se o posto for igual ao número de variáveis. Caso contrário, a solução geral terá parâmetros livres, onde é a diferença entre o número de variáveis e o posto; portanto, nesse caso, há uma infinidade de soluções.

Uma matriz aumentada também pode ser usada para encontrar a inversa de uma matriz combinando-a com a matriz identidade.

Encontrando a matriz inversa[editar | editar código-fonte]

Seja a matriz quadrada

Para encontrar o inverso de , criamos onde é a matriz identidade . Em seguida, reduzimos a parte de correspondente a à matriz identidade usando apenas operações de linha elementares em .

,

a parte direita é o inverso da matriz original.

Seja a matriz quadrada

Para encontrar o inverso de , criamos e usamos operações elementares para escalonar a matriz

onde está a direita da matriz identidade.

Existência e número de soluções[editar | editar código-fonte]

Considere o sistema de equações

A matriz dos coeficientes é

e a matriz aumentada é

Como ambas têm o mesmo posto, ou seja, 2, existe pelo menos uma solução; e como seu posto é menor que o número de incógnitas, sendo a última 3, há um número infinito de soluções.

Por outro lado, considere o sistema

A matriz dos coeficientes é

e a matriz aumentada é

Neste exemplo, a matriz dos coeficientes possui posto 2, enquanto a matriz aumentada possui posto 3; então esse sistema de equações não tem solução. De fato, um aumento no número de linhas linearmente independentes tornou o sistema de equações inconsistente.

Solução de um sistema linear[editar | editar código-fonte]

Como usado na álgebra linear, uma matriz aumentada é usada para representar os coeficientes e o vetor de solução de cada conjunto de equações.

Para o conjunto de equações

os coeficientes e termos constantes dão as matrizes

e, portanto, resulta na matriz aumentada

.

Observe que o posto da matriz dos coeficientes, que é 3, é igual ao posto da matriz aumentada; portanto, existe pelo menos uma solução; e como esse posto é igual ao número de incógnitas, existe exatamente uma solução.

Para obter a solução, operações de linha podem ser executadas na matriz aumentada para obter a matriz identidade no lado esquerdo, produzindo

então a solução do sistema é .

Referências[editar | editar código-fonte]