Matriz congruente

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Em matemática, matriz congruente é uma relação de equivalência no conjuntos das matrizes reais quadradas. Duas matriz e são congruentes, se existe uma matriz invertível , do mesmo tipo, tal que .[1][2]

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma matriz real quadrada é congruente à matriz real quadrada quando existe uma matriz invertível tal que .[1][2]

Observamos que esta definição exige que seja uma matriz quadrada de mesma ordem de e .

Relação de equivalência[editar | editar código-fonte]

A relação de congruência define uma relação de equivalência no conjunto das matrizes reais quadradas , i.e.:[1]

  1. (reflexividade) toda matriz é congruente a si mesma;
  2. (simetria) se é congruente a , então é congruente a ;
  3. (transitividade) se é congruente a e é congruente a , então é congruente a .

Da relação de simetria, vemos que está bem definido dizer que duas matrizes são congruentes (como exposto na introdução).

Demonstração
  1. Basta observar que , onde é a matriz identidade em .
  2. Se é congruente a , então, por definição, existe invertível tal que . Escolhendo , vemos que , i.e. é congruente a .
  3. Se é congruente a e é congruente a , então existem tais que e . Mas, então, temos , i.e. é congruente a .

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Matrizes de uma forma bilinear[editar | editar código-fonte]

Seja uma forma bilinear, onde é um espaço euclidiano de dimensão finita . Seja, ainda, e duas bases para . Então, são congruentes as matrizes e da forma bilinear nas bases e , respectivamente.[1]

Demonstração

Sejam e suas representações nas bases e :

.

Seja, agora, a matriz de mudança da base para a base , i.e.:

onde, e notação análoga para , e .

Além disso, temos:

e

donde, . O que, por sua vez, implica:

.

Como os vetores e são arbitrários, temos , i.e., e são matrizes congruentes. Isso completa a prova.

Matrizes ortogonalmente diagonalizáveis[editar | editar código-fonte]

Se a matriz é ortogonalmente diagonalizável, então exite uma matriz diagonal congruente a .[3]

Demonstração

Com efeito, uma matriz é ortogonalmente diagonalizável se, e somente se, existe uma matriz diagonal tal que:

onde, é uma matriz ortogonal, i.e. . Isto é dizer, , o que conclui a demonstração.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d CALLIOLI, C.A.; Álgebra linear e aplicações, ed. 6, 1990.
  2. a b LIPSCHUTZ, S.; Lipson, M.; Álgebra linear, Coleção Schaum, Bookman, 2011.
  3. Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086