Matriz circulante

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Em matemática, uma matriz circulante é uma matriz quadrada em que cada linha i é formada por um deslocamento cíclico de i posições de uma mesma lista de elementos {a0,a1,a2 ... an-1}, ou seja



que é um caso especial de matriz de Toeplitz. Toda matriz circulante é um quadrado latino. Uma definição alternativa e equaivalente a (1a) é

onde mod é a função módulo e n é o número de linhas de A[1] [2] [3] .

Autovalores e autovetores[editar | editar código-fonte]

Os autovalores λ e autovetores v de A são facilmente calculados:

A equação (2a) indica que os autovalores de uma matriz circulante qualquer são a transformada discreta de Fourier (DFT) do vetor a = [a0,a1,a2 ... an-1]. Por isso vale também a relação inversa

Em suma, a sequência dos autovalores de uma matriz circulante são iguais à DFT da primeira linha dessa matriz, e essa primeira linha da matriz é igual à DFT inversa da sequência dos autovalores.

A propriedade elementar dos autovalores λ e dos autovetores v de uma matriz qualquer B

pode ser escrita de forma alternativa e equivalente como

onde V é a matriz composta pelos autovetores dispostos verticalmente

e Λ é a matriz diagonal formada pelos autovalores

A equação (2b) garante que, para toda matriz circulante, V é uma matriz unitária e que

onde o asterisco (*) denota a matriz transposta conjugada e I é a matriz identidade de n linhas. Substituindo (2f) em (2c), temos que, para uma matriz circulante qualquer A

A equação (2g) indica que toda matriz circulante é uma matriz normal[4] [nota 1] .

Propriedades algébricas[editar | editar código-fonte]

Se A e C são matrizes circulantes, então valem as seguintes propriedades:

Produto[editar | editar código-fonte]

onde L é a matriz diagonal cujos elementos são o produto dos respectivos autovalores de A e de C. D é também uma matriz circulante.

Adição[editar | editar código-fonte]

onde L é a matriz diagonal cujos elementos são a soma dos respectivos autovalores de A e de C. D é também uma matriz circulante.

Inversa[editar | editar código-fonte]

Se nenhum autovalor for nulo, então A é inversível e

A-1 é também uma matriz circulante[5] [3] .

Linearidade[editar | editar código-fonte]

Se a e b são escalares, então D = aA + bC é também uma matriz circulante[3] .

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Como V é unitária, V* = V-1, (2g) e (2h) podem ser escritas também assim:


Referências

  1. Gray, R. - Toeplitz and Circulant Matrices: A review, cap. 1, pág. 3, disponível em http://ee.stanford.edu/~gray/toeplitz.pdf, acessado em 06/05/2014
  2. MathWorld: Circulant Matrix, disponível em http://mathworld.wolfram.com/CirculantMatrix.html, acessado em 06/05/2014
  3. a b c Bronson, R. - Matrix Operations, cap. 18, pág. 160, 1989, McGraw-Hill, ISBN 0-07-007978-1
  4. Gray, R. - op. cit., cap. 3, pp. 32 a 34
  5. Gray, R. - op. cit., cap. 3, pp. 34 a 35