Quadrado latino
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/10_x10_lateinisches_quadrat.svg/250px-10_x10_lateinisches_quadrat.svg.png)
Um quadrado latino de ordem (ou lado) n é uma matriz n × n preenchida com um conjunto de n símbolos diferentes, cada um ocorrendo exatamente uma vez em cada linha e em cada coluna. Abaixo seguem dois exemplos:
Os quadrados latinos são objetos muito relevantes no estudo da combinatória e da teoria do design em geral. Suas primeiras ocorrências remontam a amuletos e ritos orientais do ano 1000, com outras aparições sistemáticas nos textos de Al-Buni[1] (ano 1200, aproximadamente), Choi Seok-Jeong[2][3] (por volta de 1710) e Euler[4][5] (década de 1780), a maioria inicialmente relacionada ao estudo dos quadrados mágicos. O nome "quadrado latino" foi escolhido por inspiração nos artigos matemáticos de Leonhard Euler (1707-1783), que se aprofundou no tema e usava caracteres do alfabeto latino como símbolos nos seus estudos desses dispositivos.[6] Apesar do nome, qualquer conjunto de símbolos pode ser usado para formar um quadrado latino (como observado nos exemplos acima).
História
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/AMULET_%28FindID_755270%29.jpg/250px-AMULET_%28FindID_755270%29.jpg)
Na Europa, os quadrados latinos são conceitos matemáticos atribuídos a Euler e seus estudos sobre a construção de quadrados mágicos, no século XVIII. Contudo, apesar de ter sido essa relação que impulsionou a pesquisa e sistematização da teoria dos quadrados latinos, com Euler sendo o primeiro a defini-los, formalizá-los e investigá-los matematicamente, existem registros desses objetos espalhados pelo mundo, especialmente no Oriente, datados de séculos antes. As primeiras ocorrências, na verdade, remontam a amuletos e rituais de algumas comunidades árabes e indianas, por volta do ano 1000[7][8] (ainda que nesses registros também se encontrem quadrados mágicos, em maior quantidade, inclusive), usados para combater espíritos malignos, reverenciar os deuses, celebrar o sol e os planetas, entre outros fins místicos.
Seguindo os registros, agora por volta de 1200, a história dos quadrados latinos leva ao livro Shams al-Ma'arif al-Kubra (O sol do grande conhecimento), famosa obra do sufi Ahmad ibn 'Ali ibn Yusuf Al-Buni. Ao longo do texto, o autor apresenta diversas figuras de quadrados latinos, ainda relacionadas ao misticismo, descrevendo, por exemplo, 7 quadrados associados, respectivamente, a um dia da semana e a um planeta. É importante ressaltar, contudo, que a maioria dos quadrados está incorreta[9], isto é, alguma das entradas se repete por linha e/ou coluna, embora fique evidente a estruturação como um quadrado latino. Além disso, há fortes evidências[1] de que Al-Buni também estudava métodos para a construção de quadrados mágicos a partir de quadrados latinos, antecipando (em parte) os estudos formalizados de Euler, bem como outros matemáticos fizeram. Quanto a estes últimos, os registros conhecidos incluem escritos de matemática indiana (1356)[10], trabalhos do místico e filósofo espanhol Ramón Lull[11](focados no aspecto combinatório desses objetos), artigos de La Loubère (1691), Poignard (1704), La Hire (1705) e Sauveur (1710)[12], ainda que a maioria deles tenha abordado o tema de formas abstratas e indiretas. Contudo, ao menos 67 anos antes da publicação do primeiro artigo de Euler, já existia um trabalho na área mais contundente e mais formalizado que os anteriormente citados: a monografia Koo-Soo-Ryak, escrita pelo coreano Choi Seok-Jeong (1646–1715), no qual ele, pela primeira vez no mundo, detalha um método para construir um quadrado mágico usando dois quadrados latinos de ordem 9, acrescentando, também, que não consegue fazer o mesmo com quadrados de ordem 10.[2][3]
Finalmente, a história desembarca no século XVIII, quando Leonhard Euler publica oficialmente o problema dos 36 oficiais: como alinhar em um quadrado 36 oficiais de 6 graus diferentes e 6 regimentos diferentes, de tal forma que em cada linha e coluna haja 6 oficiais de diferentes patentes e diferentes regimentos? Embora não pudesse provar, Euler pensou se tratar de um acordo impossível e, na tentativa de esclarecer essa questão, começou a generalizar esse problema, usando letras gregas e latinas (produzindo o que hoje chamamos de quadrados greco-latinos e formalizando o conceito de ortogonalidade de dois quadrados latinos). Dada essa propriedade recém observada, Euler construiu seu principal trabalho na área, o artigo “Pesquisas sobre uma nova espécie de quadrados mágicos”,[4] de 1782, no qual, a priori, são expostos métodos de construção de quadrados mágicos por meio de dois quadrados latinos ortogonais, algoritmos dos quais os hindus se aproximaram à sua época, assim como Al-Buni e Choi Seok-Jeong. Apesar do nome, esse e outros textos de Euler[5] são focados, em sua maioria, nos quadrados latinos e, além da ortogonalidade, exploram também outras caracterizações desses objetos, como a transversal, a ciclicidade e a enumeração, enunciando, por fim, diversos resultados e desafios sobre a existência (ou não) de tais relações. Dentre esses enunciados, alguns ainda em aberto, cabe mencionar a famosa conjectura de Euler sobre quadrados latinos ortogonais, que envolveu a comunidade matemática por quase 200 anos:
“para n congruente com 2 (módulo 4), não existe par de quadrados latinos ortogonais de ordem n”
Euler provou a veracidade da afirmação para n = 2.[4] No século XIX, diversos artigos sobre a conjectura foram publicados, sem, contudo, representarem avanço concreto, até que, em 1900, Tarry encontrou uma prova para n = 6,[13] demonstrando que, de fato, o problema dos oficiais é um problema impossível. Apesar disso, durante um terço de século, a conjectura continuou aberta, até que, por fim, em 1958-59, Bose, Parker e Shrikhande deram uma conclusão ao mistério: a conjectura foi refutada para todo n>6,[14][15] em uma das primeiras resoluções de problemas combinatórios obtidas por meio de um computador digital. A essa altura, inclusive, o problema era tão famoso que sua solução foi anunciada na primeira página do The New York Times, em 26 de abril de 1959.[16].
Propriedades e Características
[editar | editar código-fonte]Forma Reduzida
[editar | editar código-fonte]Um quadrado latino é dito ser reduzido (normalizado ou na forma padrão) se tanto a primeira linha quanto a primeira coluna estão na ordem natural dos símbolos.[17] Todo quadrado latino pode ser reduzido através da permutação (isto é, reordenação) de linhas e colunas. Por exemplo, o primeiro quadrado latino abaixo não é reduzido, pois sua primeira linha é A, C, B, ao invés de A, B, C. Contudo, trocando a segunda coluna com a terceira, produzimos um quadrado reduzido, já que tanto sua primeira linha quanto sua primeira coluna são alfabeticamente ordenadas: A, B, C (segundo exemplo).
Quadrados Latinos Cíclicos
[editar | editar código-fonte]Um quadrado latino cíclico padrão pode ser definido para qualquer ordem n, construindo-o de forma que cada entrada (i,j), i sendo a linha e j a coluna, seja preenchida com o número i + j - 1 (módulo n).[18] Eles se provaram muito úteis para a investigação dos quadrados latinos transversais e para os estudos sobre ortogonalidade, sendo extensamente abordados nos trabalhos de Euler. Um exemplo simples de quadrado latino cíclico é o seguinte:
Matriz Ortogonal Associada
[editar | editar código-fonte]Se cada entrada de um quadrado latino n × n é escrita como uma tripla ordenada (linha, coluna, símbolo), obtemos um conjunto de n² triplas ordenadas chamado matriz ortogonal associada ao quadrado. Por exemplo, a matriz ortogonal associada ao quadrado latino acima é {(1,1,1), (1,2,2), (1,3,3), (2,1,2), (2,2,3), (2,3,1), (3,1,3), (3,2,1), (3,3,2)}, na qual a tripla ordenada (2,3,1) indica que na linha 2 e coluna 3 está o símbolo 1.
As matrizes ortogonais podem ser utilizadas para escrever outra definição de um quadrado latino nesses termos:
Um quadrado latino é um conjunto de n² triplas ordenadas (linha, coluna, símbolo), no qual todos os pares ordenados (linha, coluna), (linha, símbolo) e (coluna, símbolo) são distintos.
Ortogonalidade
[editar | editar código-fonte]Dois quadrados latinos de ordem n são ortogonais se, dada a união deles em um mesmo quadrado, com cada entrada formando um par ordenado (símbolo no primeiro quadrado, símbolo no segundo quadrado), não haja células com o mesmo par. A título de exemplo, os quadrados latinos 1 e 2 abaixo são ortogonais, enquanto os quadrados 1 e 3 não são.
De certa forma, podemos ver essa união de quadrados como um novo quadrado latino, agora com respeito a dois conjuntos de símbolos, e, a ele, damos o nome de quadrado greco-latino, em homenagem aos estudos de Euler sobre essa propriedade por meio de letras gregas e letras latinas.[6] Por fim, podemos estender esse conceito da seguinte forma: uma coleção de quadrados latinos é dita mutuamente ortogonal se, dados dois quadrados latinos quaisquer desta coleção, eles são ortogonais entre si.
Alguns resultados interessantes envolvendo ortogonalidade são:
- Para n par, o cíclico de um quadrado latino de ordem n não tem ortogonal (demonstrado por Euler);[4]
- Existem quadrados latinos ortogonais de todas as ordens ímpares (demonstrado por Euler);[4]
- Existem quadrados latinos ortogonais de todas as ordens n divisíveis por 4 (demonstrado por Euler);[4]
- Conjectura de Euler: para n congruente a 2 (módulo 4), não existem quadrados latinos ortogonais de lado n (verdadeira para n=2 (Euler)[4], n=6 (Tarry)[13] e refutada para n>6 (Bose, Parker e Shrikhande)[14][15]);
- O número N(n) de quadrados latinos ortogonais de ordem n tende ao infinito quando n tende ao infinito (demonstrado por Chowla, Erdös e Straus);[19]
- Dado n uma potência prima, existem n-1 quadrados latinos de ordem n mutuamente ortogonais entre si (demonstrado por Moore).[20]
Transversais
[editar | editar código-fonte]A transversal em um quadrado latino é uma escolha de n entradas distintas ocorrendo em linhas distintas e em colunas distintas. Observe que isso é possível se, e somente se, existem quadrados latinos ortogonais de ordem n. Além disso, dizemos que um quadrado latino é simétrico se sua diagonal principal for uma transversal. Note que, nos exemplos da seção acima, os quadrados latinos 1 e 2 são simétricos, ao passo que o quadrado 3 não possui transversal. Abaixo, seguem mais dois exemplos: o primeiro não possui transversal, enquanto o segundo possui, mas não é simétrico. É interessante observar que, no primeiro quadrado, cada célula (i,j) vale i+j (mod n) e, sempre que n é par, esse quadrado latino n × n não possui transversal (é o caso do quadrado 3 da seção acima, com n=4).
Outra possível definição de uma transversal latina utiliza de conceitos da Teoria dos Grafos: tome um quadrado latino como um grafo bipartido completo, no qual as linhas são vértices de uma parte, as colunas são vértices da outra parte, cada célula é uma aresta (entre sua linha e sua coluna) e os símbolos são cores. Sendo assim, as regras de construção do quadrado latino implicam que essa é uma coloração própria das arestas do grafo, logo, uma transversal é um emparelhamento no qual cada aresta tem uma cor diferente, chamado de emparelhamento arco-íris. Por conseguinte, é possível encontrar muitos artigos que apresentam resultados sobre quadrados latinos sob o termo “emparelhamento arco-íris” no título e vice e versa.[21]
Como observado nos exemplos, alguns quadrados latinos não têm transversal, o que motivou Euler (e outros matemáticos depois dele) a estudar possíveis métodos para a procura dessas estruturas. Segue um dos resultados que vieram desses estudos, bem como algumas conjecturas em aberto:
- Para n par, o cíclico de um quadrado latino de ordem n não tem transversal (demonstrado por Euler);[4]
- Todo quadrado latino de ordem ímpar tem uma transversal (conjectura em aberto, proposta por H.J. Ryser, em 1967);[22]
- Todo quadrado latino de ordem n tem uma transversal parcial de tamanho n-1 (conjectura em aberto, proposta por S.K. Stein e Brualdi, em 1975[23]. É provada apenas para n suficientemente grande (2023)[24] e, para todo n, a cota mais aproximada já encontrada é n − O(log n/loglog n) (2022)[25], embora outras cotas mais fracas tenham sido provadas anteriormente[26][27][28][29]).
Enumeração
[editar | editar código-fonte]Euler pontuou em seus trabalhos que considerava o problema da enumeração dos quadrados latinos uma questão muito complicada. De fato, mais de 200 anos depois, não se sabe uma fórmula computacional simples para calcular o número Ln de quadrados latinos n × n, ao passo que as cotas superiores e inferiores mais precisas conhecidas (para n grande) são muito distantes. Apesar disso, segue abaixo um resultado clássico.[30]
Ademais, uma fórmula explícita para o número de quadrados latinos foi publicada em 1992, entretanto, não é facilmente computável, em razão do aumento exponencial no número de termos. Tal fórmula para o número Ln de quadrados latinos n × n é
na qual Bn é o conjunto de todas as (0,1)-matrizes n × n, σ0(A) é o número de entradas 0 da matriz A e per(A) é o permanente[31] da matriz A.[32]
A tabela abaixo contém todos os valores conhecidos de Ln, os quais, inclusive, Euler calculou até n = 5.[4] É perceptível que os números crescem extremamente rápido. Para cada n, o número total de quadrados latinos de ordem n (sequência A002860 na OEIS) é n! (n − 1)! vezes o número de quadrados latinos reduzidos (sequência A000315 na OEIS).
n | quadrados latinos reduzidos de ordem n (sequência A000315 na OEIS) |
todos os quadrados latinos de ordem n (sequência A002860 na OEIS) |
---|---|---|
1 | 1 | 1 |
2 | 1 | 2 |
3 | 1 | 12 |
4 | 4 | 576 |
5 | [33][34]56 | 161,280 |
6 | [35][13][36]9,408 | 812,851,200 |
7 | [35][37][38][39]16,942,080 | 61,479,419,904,000 |
8 | [40]535,281,401,856 | 108,776,032,459,082,956,800 |
9 | [41]377,597,570,964,258,816 | 5,524,751,496,156,892,842,531,225,600 |
10 | [42]7,580,721,483,160,132,811,489,280 | 9,982,437,658,213,039,871,725,064,756,920,320,000 |
11 | [43]5,363,937,773,277,371,298,119,673,540,771,840 | 776,966,836,171,770,144,107,444,346,734,230,682,311,065,600,000 |
12 | [42]1.62 × 1044 | |
13 | [42]2.51 × 1056 | |
14 | [42]2.33 × 1070 | |
15 | [42]1.50 × 1086 |
Aplicações
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/37/Fisher-stainedglass-gonville-caius.jpg/170px-Fisher-stainedglass-gonville-caius.jpg)
Os quadrados latinos encontram aplicações em diversas áreas, por vezes sem a nomenclatura oficial, em especial dentro da matemática, da estatística e do design de experimentos.
Estatística e Design de Experimentos
[editar | editar código-fonte]O uso dos quadrados latinos para otimizar a organização e apresentação de experimentos e dados estatísticos não é uma conquista exclusiva do século XX. O exemplo mais antigo conhecido é do investigador agrícola francês François Cretté de Palluel, que, em 31 de Julho de 1788, apresentou um artigo à Real Sociedade Agrícola de Paris, com objetivo de argumentar pelas vantagens de alimentar ovelhas com raízes no inverno, por meio de um experimento de alimentação com 16 ovelhas em dietas diferentes. O layout dos resultados do experimento, apesar da falta de intenção do autor, forma claramente um quadrado latino 4x4, com quatro raças de ovinos em linhas, quatro dietas diferentes em colunas e quatro tempos de abate diferentes como símbolos.[45]
Apesar disso, foi somente em 1920 que o uso de quadrados latinos em projetos experimentais foi extensamente impulsionado, liderado pelos trabalhos do estatístico R.A. Fisher, em especial o artigo "Design de Experimentos", de 1926, que trata exclusivamente do uso de quadrados latinos mutuamente ortogonais.[46]
Matemática
[editar | editar código-fonte]Dentro da Matemática, os quadrados latinos são associados tanto à áreas da Matemática Pura, quanto ao âmbito da Matemática Recreativa. Quanto à esta primeira, esses objetos estão presentes, por exemplo, nos caminhos da álgebra, por meio da generalização de grupos e da correlação deles com as tabelas de Cayley, homem que, inclusive, fez importantes contribuições para a teoria dos quadrados latinos em seus estudos. Além disso, ainda dentro da álgebra, quadrados latinos mutuamente ortogonais são uma das ferramentas utilizadas pelos códigos corretores de erros, especificamente em situações onde há perturbação generalizada de ruídos na transmissão da mensagem.[47][48][49][50] Por fim, as aplicações e aparições dos quadrados latinos na Combinatória e na Teoria dos Grafos também são extensas, englobando principalmente os emparelhamentos arco-íris e problemas relacionados, como citado anteriormente.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Kamisado-board1.jpg/250px-Kamisado-board1.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Ramanujan_magic_square_construction.svg/250px-Ramanujan_magic_square_construction.svg.png)
No mundo da Matemática Recreativa, por outro lado, os quadrados latinos encontraram aplicações muito mais populares: os quebra-cabeças sudoku, que nada mais são do que quadrados latinos de ordem 9, com a regra adicional de que cada um dos 9 subquadrados naturais 3 × 3 também contenha todos os 9 símbolos. Além dele, outros jogos semelhantes também envolvem o contexto dos quadrados latinos, como KenKen[51], Futoshiki e Strimko[52], cujos objetivos consistem em preencher uma matriz n × n como um quadrado latino, seguindo ainda outras regras adicionais relacionadas à operações matemáticas ou repetições de símbolos. Outro desafio é o chamado quebra cabeça do quadrado greco-latino, no qual é preciso encaixar as peças nos espaços disponíveis, evitando repetições de cor e formato por linha, coluna e diagonal, disponível em variadas ordens (o modelo 4x4 com 16 peças é o mais comum). Ademais, indo mais fundo, é possível encontrar até mesmo jogos de tabuleiro baseados na teoria dos quadrados latinos, como o jogo de conquista Kamisado.[53] Finalmente, outra aplicação muito popular desses objetos matemáticos são os próprios quadrados mágicos, que fomentaram grande parte do avanço na teoria dos quadrados latinos. Evidentemente, estes também representam uma grande fatia da Matemática Recreativa, permeando desafios e matemágicas das mais variadas, a maioria envolvendo direta ou indiretamente a construção de um quadrado latino. O quadrado mágico de aniversário de Ramanujan é um exemplo clássico.
Quadrados Latinos nas Artes
[editar | editar código-fonte]O valor decorativo dos quadrados latinos parece ter inspirado alguns artistas ao longo da história, aparições que vão desde amuletos ancestrais (como os da Figura 2), até exibições arquitetônicas do século XX (janela da Figura 3). Além destes, no entanto, não faltam exemplos com outros propósitos e formatos, desde o acadêmico (Figura 6, ao lado), ao religioso. Esse último se caracteriza pelo curioso poema ode à Hanniball Basset, um camponês do condado de Mawgan, que foi enterrado em sua paróquia, a Igreja St. Mawgan, na Inglaterra, com o seguinte escrito sob sua lápide:[54]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Scientific_American_November_1959_Graeco_Latin_square.svg/250px-Scientific_American_November_1959_Graeco_Latin_square.svg.png)
Hanniball Basset here Inter'd doth lye Who dying lives to all Eternitye hee departed this life the 17th of Ian 1709/8 in the 22th year of his age ~ A lover of learning Shall wee all dye Wee shall dye all All dye shall wee Dye all wee shall
Cabe, ainda, mencionar dois exemplos de quadrados latinos presentes em símbolos atuais de Heráldica: o brasão da Sociedade de Estatística do Canadá[56] e a logo da Sociedade Biométrica Internacional.[57]
Ver também
[editar | editar código-fonte]- Amostragem por hipercubo latino, técnica de amostragem que se baseia em uma generalização do quadrado latino, para um número qualquer de dimensões.
- Quadrados Mágicos
- Problema das Oito Damas
- Sudoku
Notas
[editar | editar código-fonte]- ↑ a b Ährens, W. (1922). «Die »magischen Quadrate« al-Būnī's.». Der Islam (3-4). ISSN 0021-1818. doi:10.1515/islm.1922.12.3-4.157. Consultado em 24 de agosto de 2024
- ↑ a b Kim, Sung-Sook & Khang, Mee-Kyung. (2010). Orthogonal Latin squares of Choi Seok-Jeong. Journal for History of Mathematics. 23. Apresentado na History and Pedagogy of Mathematics 2012.
- ↑ a b Lih, Ko-Wei (junho de 2010). «A Remarkable Euler Square before Euler». Mathematics Magazine (em inglês) (3): 163–167. ISSN 0025-570X. doi:10.4169/002557010X494805. Consultado em 24 de agosto de 2024
- ↑ a b c d e f g h i Euler, Leonhard, "Recherches sur un nouvelle espèce de quarrés magiques" (1782). Euler Archive - All Works. 530.
- ↑ a b Euler, Leonhard, "De quadratis magicis" (1849). Euler Archive - All Works. 795.
- ↑ a b Wallis & George 2011, p. 212
- ↑ Duncan B. MacDonald, Description of a silver amulet, Zeitschrift für Assyriologie und Verwandte Gebiete 26, 1912, pp. 267-269
- ↑ Andersen 2007, p. 2-3
- ↑ Andersen 2007, p. 4
- ↑ Narayana Pandit, Ganita-kaumudi, 1356. Republished in The Princess of Wales Saravati Bhavana Sanskrit Series, No. 57, Part II.
- ↑ KNOBLOCH, EBERHARD, 'Chapter 5 Renaissance combinatorics', in Robin Wilson, and John J. Watkins (eds), Combinatorics: Ancient and Modern (Oxford, 2013; online edn, Oxford Academic, 26 Sept. 2013)
- ↑ Joseph Sauveur, Construction générale des quarrés magiques, Mémoires de l’Academie Royales des Sciences, 1710, pp. 92-138.
- ↑ a b c M. G. Tarry. LE PROBLÈME DES 36 OFFICIERS. Association française pour l'avancement des sciences. Congrès (029 ; 1900 ; Paris).
- ↑ a b Bose, R. C.; Shrikhande, S. S.; Parker, E. T. (janeiro de 1960). «Further Results on the Construction of Mutually Orthogonal Latin Squares and the Falsity of Euler's Conjecture». Canadian Journal of Mathematics (em inglês): 189–203. ISSN 0008-414X. doi:10.4153/CJM-1960-016-5. Consultado em 24 de agosto de 2024
- ↑ a b Bose, R. C.; Shrikhande, S. S. (maio de 1959). «ON THE FALSITY OF EULER'S CONJECTURE ABOUT THE NON-EXISTENCE OF TWO ORTHOGONAL LATIN SQUARES OF ORDER 4t + 2». Proceedings of the National Academy of Sciences (em inglês) (5): 734–737. ISSN 0027-8424. PMC 222625
. PMID 16590435. doi:10.1073/pnas.45.5.734. Consultado em 24 de agosto de 2024
- ↑ Osmundsen, John A. (26 de Abril 1959). «Major Mathematical Conjecture Propounded 177 Years Ago Is Disproved». The New York Times. Consultado em 22 de agosto de 2024
- ↑ Dénes & Keedwell 1974, p. 128
- ↑ Andersen 2007, p. 27
- ↑ Chowla, S.; Erdös, P.; Straus, E. G. (janeiro de 1960). «On the Maximal Number of Pairwise Orthogonal Latin Squares of a Given Order». Canadian Journal of Mathematics (em inglês): 204–208. ISSN 0008-414X. doi:10.4153/CJM-1960-017-2. Consultado em 24 de agosto de 2024
- ↑ Moore, Eliakim Hastings (1896). «Tactical Memoranda I-III, (Continued)». American Journal of Mathematics (4): 291–303. ISSN 0002-9327. doi:10.2307/2369860. Consultado em 24 de agosto de 2024
- ↑ Gyarfas, Andras; Sarkozy, Gabor N. (2012). «Rainbow matchings and partial transversals of Latin squares». arXiv:1208.5670
[CO math. CO]
- ↑ Ryser, H.J.: Neuere Probleme der Kombinatorik, pp. 69–91. Oberwolfach, Matematisches Forschungsinstitut (Oberwolfach, Germany), July, Vorträge über Kombinatorik (1967)
- ↑ Stein, Sherman (1 de agosto de 1975). «Transversals of Latin squares and their generalizations». Pacific Journal of Mathematics (2): 567–575. ISSN 0030-8730. Consultado em 24 de agosto de 2024
- ↑ Montgomery, Richard (2023). «A proof of the Ryser-Brualdi-Stein conjecture for large even n». arXiv:2310.19779
[math.CO]
- ↑ Keevash, Peter; Pokrovskiy, Alexey; Sudakov, Benny; Yepremyan, Liana (15 de abril de 2022). «New bounds for Ryser's conjecture and related problems». Transactions of the American Mathematical Society, Series B (em inglês). 9 (8): 288–321. ISSN 2330-0000. doi:10.1090/btran/92
. hdl:20.500.11850/592212
- ↑ Aharoni, Ron; Berger, Eli; Kotlar, Dani; Ziv, Ran (1 de outubro de 2017). «On a conjecture of Stein». Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (em inglês) (2): 203–211. ISSN 1865-8784. doi:10.1007/s12188-016-0160-3. Consultado em 24 de agosto de 2024
- ↑ Koksma, Klaas K. (1 de julho de 1969). «A lower bound for the order of a partial transversal in a latin square». Journal of Combinatorial Theory. 7 (1): 94–95. ISSN 0021-9800. doi:10.1016/s0021-9800(69)80009-8
- ↑ Woolbright, David E (1 de março de 1978). «An n × n Latin square has a transversal with at least n−n distinct symbols». Journal of Combinatorial Theory, Series A. 24 (2): 235–237. ISSN 0097-3165. doi:10.1016/0097-3165(78)90009-2
- ↑ Hatami, Pooya; Shor, Peter W. (1 de outubro de 2008). «A lower bound for the length of a partial transversal in a Latin square». Journal of Combinatorial Theory, Series A. 115 (7): 1103–1113. ISSN 0097-3165. doi:10.1016/j.jcta.2008.01.002
- ↑ van Lint, J. H.; Wilson, R. M. (1992) A Course in Combinatorics. Cambridge University Press, p. 161-162. ISBN 0-521-42260-4
- ↑ Marcus, M., & Minc, H. (1965). Permanents. The American Mathematical Monthly, 72(6), 577–591.1965.11970575
- ↑ Shao, Jia-yu; Wei, Wan-di (11 de dezembro de 1992). «A formula for the number of Latin squares». Discrete Mathematics (1): 293–296. ISSN 0012-365X. doi:10.1016/0012-365X(92)90722-R. Consultado em 24 de agosto de 2024
- ↑ Cayley, A. "On Latin Squares." Oxford Cambridge Dublin Messenger Math. 19, 135-137, 1890.
- ↑ MacMahon, P. A. Combinatory Analysis, Vol. 1. London: Cambridge University Press, 1915. (Resultado Incorreto)
- ↑ a b Frolov, M. "Sur les permutations carrés." J. de Math. spéc. 4, 8-11 and 25-30, 1890. (Correto para n=6 e incorreto para n=7).
- ↑ Saxena, P. N. "A Simplified Method of Enumerating Latin Squares by MacMahon's Differential Operators; I. The 6×6 Latin Squares." J. Indian Soc. Agricultural Statist. 4, 161-188, 1950.
- ↑ Norton, H. W. (agosto de 1939). «THE 7 × 7 SQUARES». Annals of Eugenics (em inglês) (3): 269–307. ISSN 2050-1420. doi:10.1111/j.1469-1809.1939.tb02214.x. Consultado em 24 de agosto de 2024.
Resultado Incompleto
- ↑ Sade, A. "Enumération des carrés latins. Application au 7ème ordre. Conjectures pour les ordres supérieurs." 8 pp. Marseille, France: Privately published, 1948.
- ↑ Saxena, P. N. "A Simplified Method of Enumerating Latin Squares by MacMahon's Differential Operators; II. The 7×7 Latin Squares." J. Indian Soc. Agricultural Statist. 3, 24-79, 1951.
- ↑ Wells, M. B. "The Number of Latin Squares of Order Eight." J. Combin. Th. 3, 98-99, 1967.
- ↑ Bammel, Stanley E.; Rothstein, Jerome (1 de janeiro de 1975). «The number of 9 × 9 latin squares». Discrete Mathematics (1): 93–95. ISSN 0012-365X. doi:10.1016/0012-365X(75)90108-9. Consultado em 24 de agosto de 2024
- ↑ a b c d e McKay, Brendan D.; Rogoyski, Eric (25 de agosto de 1995). «Latin Squares of Order 10». The Electronic Journal of Combinatorics (em inglês): N3–N3. ISSN 1077-8926. doi:10.37236/1222. Consultado em 24 de agosto de 2024
- ↑ McKay, Brendan D.; Wanless, Ian M. (2005). «On the Number of Latin Squares». Annals of Combinatorics (3). 335 páginas. ISSN 0218-0006. Consultado em 24 de agosto de 2024
- ↑ Busby, Mattha (27 Junho 2020). «Cambridge college to remove window commemorating eugenicist». The Guardian. Consultado em 24 de agosto de 2024
- ↑ Francois Cretté de Palluel, Sur les avantages et l’economie que procurent les raciness employees a l’engrais des moutons a l’étable, Mémoires d’Agriculture, trimester d’éte, pp.17-23. English translation, On the advantage and economy of feeding sheep in the house with roots, Annals of Agriculture 14, 1790, pp. 51-55.
- ↑ Fisher, R. A. 1926. The arrangement of field experiments. Journal of the Ministry of Agriculture. 33, pp. 503-515.
- ↑ Anderson, Ian. “Block Designs and Error-correcting Codes.” A First Course in Combinatorial Mathematics. Oxford: Clarendon Pr., 1985. 82-104.
- ↑ Colbourn, C.J.; Klove, T.; Ling, A.C.H. (junho de 2004). «Permutation Arrays for Powerline Communication and Mutually Orthogonal Latin Squares». IEEE Transactions on Information Theory (em inglês) (6): 1289–1291. ISSN 0018-9448. doi:10.1109/TIT.2004.828150. Consultado em 24 de agosto de 2024
- ↑ Huczynska, Sophie (15 de dezembro de 2006). «Powerline communication and the 36 officers problem». Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences (em inglês) (1849): 3199–3214. ISSN 1364-503X. doi:10.1098/rsta.2006.1885. Consultado em 24 de agosto de 2024
- ↑ Stewart, Ian (24 de março de 2007). «Euler's revolution». New Scientist (2596): 48–51. ISSN 0262-4079. doi:10.1016/S0262-4079(07)60746-5. Consultado em 24 de agosto de 2024
- ↑ «KenKen Puzzle Official Site - Free Math Puzzles That Make You Smarter!». www.kenkenpuzzle.com. Consultado em 25 de agosto de 2024
- ↑ The Grabarchuk Family. (2017) Strimko Book 1: 150 Easy-to-Master Number Logic Puzzles. Independently published.
- ↑ "Solving Kamisado - Bachelor Thesis" (PDF)
- ↑ Ross, David A. «Mawgan-in-Meneage, St Mawgan's Church». Britain Express. Consultado em 22 de agosto de 2024
- ↑ «Scientific American Volume 201, Issue 5». Scientific American (em inglês). 1 de novembro de 1959. Consultado em 24 de agosto de 2024
- ↑ «Letters Patent Confering the SSC Arms - Statistical Society of Canada - SSC». web.archive.org. 22 de julho de 2013. Consultado em 24 de agosto de 2024
- ↑ «Home». biometrics.biometricsociety.org. Consultado em 24 de agosto de 2024
Referências
[editar | editar código-fonte]- Andersen, L. D. (2007), Chapter on The history of latin squares, Department of Mathematical Sciences, Aalborg University.(Research Report Series; No. R-2007-32)
- Wallis, W. D.; George, J. C. (2011), Introduction to Combinatorics, ISBN 978-1-4398-0623-4, CRC Press
- Dénes, J.; Keedwell, A. D. (1974). Latin squares and their applications. New York-London: Academic Press. 547 páginas. ISBN 0-12-209350-X. MR 351850
- Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2 Novembro 2006). Handbook of Combinatorial Designs (2nd ed.). CRC Press. p. 12. ISBN 9781420010541.
Outras Leituras
[editar | editar código-fonte]- Jacobson, M. T.; Matthews, P. (1996). «Generating uniformly distributed random latin squares». Journal of Combinatorial Designs. 4 (6): 405–437. doi:10.1002/(sici)1520-6610(1996)4:6<405::aid-jcd3>3.0.co;2-j
- Rosemary A. Bailey (2008), «6 Row-Column designs and 9 More about Latin squares», Design of Comparative Experiments, ISBN 978-0-521-68357-9, Cambridge University Press, MR 2422352
- Shah, Kirti R.; Sinha, Bikas K. (1989), «4 Row-Column Designs», Theory of Optimal Designs, ISBN 0-387-96991-8, Lecture Notes in Statistics, 54, Springer-Verlag, pp. 66–84, MR 1016151
- C. Colbourn (1984). «The complexity of completing partial latin squares». Discrete Applied Mathematics. 8: 25–30. doi:10.1016/0166-218X(84)90075-1
- The application of Latin square in agronomic research
- Dénes, J. H.; Keedwell, A. D. (1991). Latin squares: New developments in the theory and applications. Col: Annals of Discrete Mathematics. 46. Paul Erdős (foreword). Amsterdam: Academic Press. ISBN 0-444-88899-3. MR 1096296
- Hinkelmann, Klaus; Kempthorne, Oscar (2008). Design and Analysis of Experiments. I, II Second ed. [S.l.]: Wiley. ISBN 978-0-470-38551-7. MR 2363107
- Hinkelmann, Klaus; Kempthorne, Oscar (2008). Design and Analysis of Experiments, Volume I: Introduction to Experimental Design Second ed. [S.l.]: Wiley. ISBN 978-0-471-72756-9. MR 2363107
- Hinkelmann, Klaus; Kempthorne, Oscar (2005). Design and Analysis of Experiments, Volume 2: Advanced Experimental Design First ed. [S.l.]: Wiley. ISBN 978-0-471-55177-5. MR 2129060
- Knuth, Donald (2011). The Art of Computer Programming, Volume 4A: Combinatorial Algorithms, Part 1. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-03804-0
- Laywine, Charles F.; Mullen, Gary L. (1998). Discrete mathematics using Latin squares. Col: Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-24064-8. MR 1644242
- Shah, K. R.; Sinha, Bikas K. (1996). «Row-column designs». In: S. Ghosh and C. R. Rao. Design and analysis of experiments. Col: Handbook of Statistics. 13. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. pp. 903–937. ISBN 0-444-82061-2. MR 1492586
- Raghavarao, Damaraju (1988). Constructions and Combinatorial Problems in Design of Experiments corrected reprint of the 1971 Wiley ed. New York: Dover. ISBN 0-486-65685-3. MR 1102899
- Street, Anne Penfold; Street, Deborah J. (1987). Combinatorics of Experimental Design. New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-853256-3. MR 908490
- Berger, Paul D.; Maurer, Robert E.; Celli, Giovana B. (Novembro 28, 2017). Experimental Design with Applications in Management, Engineering, and the Sciences 2nd edition (November 28, 2017) ed. [S.l.]: Springer. pp. 267–282
Ligações externas
[editar | editar código-fonte]- Weisstein, Eric W. «Quadrado Latino». MathWorld (em inglês)
- Quadrado latino na Enciclopédia de matemática, em inglês.
- Quadrados Latinos na Enciclopédia Online dos Números Inteiros
- Latin Squares in Java no cut-the-knot
- Infinite Latin Square (Java) no cut-the-knot
- Quadrado mágico dentro do Quadrado latino