Matriz de Hurwitz

Em matemática uma matriz de Hurwitz (em inglês: Hurwitz matrix), ou matriz de Routh–Hurwitz, em engenharia matriz de estabilidade, é uma matriz quadrada real estruturada construída com coeficientes de um polinômio real.

Matriz de Hurwitz e critério de estabilidade de Hurwitz

Dado um polinômio real

$p(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}$

a matriz quadrada $n\times n$

$H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &\dots &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.$

é denominada matriz de Hurwitz correspondente ao polinômio $p$. Adolf Hurwitz estabeleceu em 1895 que um polinômio real é estável (isto é, todas suas raízes tem parte real estritamente negativa) se e somente se todos os determinantes dos menores da matriz $H(p)$ são positivos:

${\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[2mm]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\\\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}$

e assim por diante. Os menores $\Delta _{k}(p)$ são denominados determinantes de Hurwitz.

Matrizes Hurwitz estáveis

Em engenharia e teoria da estabilidade, uma matriz quadrada $A$ é denominada matriz estável se todo autovalor de $A$ tem parte real estritamente negativa, isto é,

$\mathop {\mathrm {Re} } [\lambda _{i}]<0\,$

para cada autovalor $\lambda _{i}$. $A$ é também denominada uma matriz estabilidade, porque então a equação diferencial ordinária

${\dot {x}}=Ax$

é assintoticamente estável, isto é, $x(t)\to 0$ com $t\to \infty .$

Se $G(s)$ é uma função de transferência, então $G$ é denominada Hurwitz se os polos de todos os elementos de $G$ tem parte real negativa. Notar que não é necessário que $G(s),$ para um argumento específico $s,$ seja uma matriz Hurwitz. A conexão é que se $A$ é uma matriz de Hurwitz, então o sistema dinâmico

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)+Du(t)\,$

tem uma função de transferência de Hurwitz.

Referências

• Hurwitz, A. (1895). «Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt». Mathematische Annalen, Leipzig (Nr. 46): 273–284 
• Gantmacher, F.R. (1959). «Applications of the Theory of Matrices». Interscience, New York. 641 (9): 1–8 
• Hassan K. Khalil (2002). Nonlinear Systems. Prentice Hall.
• Siegfried H. Lehnigk, On the Hurwitz matrix, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP), May 1970
• Bernard A. Asner, Jr., On the Total Nonnegativity of the Hurwitz Matrix, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 18, No. 2 (Mar., 1970)
• Dimitar K. Dimitrov and Juan Manuel Peña, Almost strict total positivity and a class of Hurwitz polynomials, Journal of Approximation Theory, Volume 132, Issue 2 (February 2005)

Este artigo incorpora material de Hurwitz matrix do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.

Ligações externas

• Hurwitz matrix, PlanetMath.org.