Menor (álgebra linear)

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Em álgebra linear, um menor de uma matriz A é o determinante de alguma matriz quadrada, obtida a partir de A pela remoção de uma ou mais de suas linhas ou colunas. Menores obtidos pela remoção de exatamente uma linha e uma coluna de matrizes quadradas (primeiros menores) são requeridos para calcularcofatores de matrizes, que por sua vez, são úteis para calcular o determinante e a inversa de matrizes quadradas.

Definição e ilustração[editar | editar código-fonte]

Primeiros menores[editar | editar código-fonte]

Se A é uma matriz quadrada, então o menor da entrada na i-ésima linha e j-ésima coluna (também chamado de menor (i,j), ou de primeiro menor[1]) é o determinante do submatriz formada ao eliminar a i-ésima linha e a j-ésima coluna. Este número é geralmente indicado por Mi,j. O cofator (i,j) é obtido multiplicando-se o menor por

Para ilustrar essas definições, considere a seguinte matriz 3 por 3,

Para calcular o menor M23 e o cofactor C23, encontra-se o determinante da matriz que resulta ao remover a linha 2 e a coluna 3 da matriz acima.

Assim, o cofator da entrada (2,3) é

Definição geral[editar | editar código-fonte]

Seja A uma matriz m × n e k um número inteiro com 0 < km, e kn. Um menor k × k de A, também chamado de determinante menor de ordem k de A ou, se (n-k):ésimo determinante menor de A, frequentemente omitindo a palavra "determinante" e às vezes substituindo a palavra "ordem" por "grau", é o determinante de uma matriz k × k obtida de A eliminando mk linhas e nk colunas. Às vezes o termo é usado para se referir à matriz k × k obtida a partir de A como acima (excluindo mk linhas e nk colunas), mas ela deveria ser chamada apenas de submatriz (quadrada) de A, deixando o termo "menor" para se referir ao determinante desta matriz. Para uma matriz A como acima, há um total de menores de tamanho k × k. Um menor de ordem zero é muitas vezes definido como sendo 1. Para uma matriz quadrada, o zerésimo menor é apenas o determinante da matriz.[2][3]

Sejam sequências ordenadas (em ordem natural, como geralmente é assumido ao falar de menores, salvo indicação em contrário) de índices, e denote-as por e respectivamente. O menor correspondente a estas escolhas de índices é denotado por ou ou ou ou (em que o (i) denota a sequência de índices I etc.), dependendo da fonte. Também há dois tipos de notações usadas na literatura: por menor associado às sequências ordenadas de índices I e J, alguns autores[4] querem dizer o determinante da matriz que é formada como acima, pegando os elementos da matriz original das linhas cujos índices estão em I e cujas colunas estão em J, enquanto que outros autores se referem a um menor associado a I e J como sendo o determinante da matriz formada a partir da matriz original removendo as linhas em I e as colunas em J.[5] Deve-se sempre checar a fonte consultada para saber qual convenção é utilizada. Neste artigo, utiliza-se a definição inclusiva, escolhendo os elementos das linhas de I e colunas de J. A exceção é o primeiro menor ou o menor (i,j) descrito acima; neste caso, a notação exclusiva é padrão em toda a literatura e também é usada neste artigo.

Complemento[editar | editar código-fonte]

O complemento Bijk...,pqr..., de um menor, Mijk...,pqr..., de uma matriz quadrada, A, é formado pelo determinante da matriz A da qual todas as linhas (ijk...) e colunas (pqr...) associadas com Mijk...,pqr... foram removidas. O complemento do primeiro menor de um elemento aij é apenas esse elemento.[6]

Aplicações de menores e cofatores[editar | editar código-fonte]

Expansão do determinante por cofatores[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teorema de Laplace

Os cofatores aparecem com destaque na fórmula de Laplace para a expansão de determinantes, que é um método para calcular grandes maiores determinantes em função de determinantes menores. Dado uma matriz de ordem o determinante de A (representado por det(A)) pode ser escrito como a soma dos cofatores de qualquer linha ou coluna da matriz multiplicados pelas entradas que os geraram. Em outras palavras, a expansão por cofatores ao longo da jésima coluna é:

A expansão por cofatores ao longo da sima linha resulta em:

Inversa de uma matriz[editar | editar código-fonte]

Pode-se escrever a inversa de uma matriz invertível calculando-se os por meio da regra de Cramer, como segue. A matriz formada por todos os cofatores de uma matriz quadrada A é chamada de matriz de cofatores (também chamada de comatriz):

Então a inversa de A é a transposta da matriz de cofatores vezes o recíproco do determinante de A:

A transposta da matriz de cofatores é chamada de matriz adjunta (também considerada como a adjunta clássica) de A.

A fórmula acima pode ser generalizada da seguinte forma: Sejam sequências ordenadas (na ordem natural) de índices (aqui, A é uma matriz ). Então

em que denotam as sequências ordenadas de índices (os índices estão na ordem natural de magnitude como acima) complementares a de modo que cada índice aparece exatamente uma vez em ou em mas não em ambos (analogamente para e ) e denota o determinante da submatriz de A formada escolhendo as linhas do conjunto de índices e as colunas do conjunto de índices. Além disso, Uma demonstração simples é dada em termos do produto wedge. De fato,

em que são os vetores da base. Fazendo a ação de comem ambos os membros, obtém-se

Pode-se verificar que o sinal é e é determinado pela soma dos elementos em

Outras aplicações[editar | editar código-fonte]

Dada uma matriz m × n matriz com entradas reais (ou entradas em qualquer outro corpo) e posto r, então existe pelo menos um menor r × r não nulo, tal que todos os menores de ordem superior são nulos.

Será utilizada a seguinte notação para os menores: se A é uma matriz m × n, I é um subconjunto de {1,...,m} com k elementos e J é um subconjunto de {1,...,n} com k elementos, então escreve-se [A]I,J para indicar o menor k × k de A que corresponde às linhas com o índice em I e as colunas com índice em J.

  • Se I = J então [A]I,J é considerado um menor principal.
  • Se a matriz que corresponde a um menor principal é uma parte quadrada da região superior esquerda da matriz maior (ou seja, é composta de elementos da matriz com linhas e colunas de 1 a k), então o menor principal é chamado de menor principal líder (de ordem de k) ou menor (principal) de canto (de ordem de k).[7] Para uma matriz quadrada n × n, existem n menores principais líderes.
  • Um menor básico de uma matriz é o determinante de uma submatriz quadrada que é de tamanho maximal com determinante diferente de zero.[8]
  • Para matrizes Hermitiana, os menores principais líderes podem ser usados para testar se a matriz é positiva definida e os menores principais podem ser usados para testar se é positiva semidefinida. Ver critério de Sylvester para mais detalhes.

Tanto a fórmula para amultiplicação matricial ordinária e a fórmula de Cauchy-Binet para o determinante do produto de duas matrizes são casos especiais do seguinte fato geral sobre os menores de um produto de duas matrizes. Suponha que A é uma matriz m × n, B é uma matriz n × p, I é um subconjunto de {1,...,m} com k elementos e J é um subconjunto de {1,...,p}, com k elementos. Então

em que a soma se estende sobre todos os subconjuntos K de {1,...,n} com k elementos. Esta fórmula é uma simples extensão da fórmula de Cauchy-Binet.

Abordagem da álgebra multilinear[editar | editar código-fonte]

Em álgebra multilinear é dado um tratamento algébrico, mais sistemático, do conceito de menor usando produto wedge: os k-menores de uma matriz são as entradas na k-ésima aplicação potência exterior.

Se é feito um produto wedge com k colunas de uma matriz de cada vez, os menores k × k aparecem como as componentes dos k-vetores resultantes. Por exemplo, os menores 2 × 2 da matriz

são −13 (para as duas primeiras linhas), −7 (para a primeira e última linha), e 5 (para as duas últimas linhas). Agora, considere o produto wedge
em que as duas expressões correspondem às duas colunas de nossa matriz. Usando as propriedades do produto wedge, mais especificamente o fato dele de que ele é bilinear e que
e
a expressão pode ser simplificada para
em que os coeficientes coincidem com os menores calculados anteriormente.

Uma observação sobre as diferentes notações[editar | editar código-fonte]

Em alguns livros [9] é utilizado o termo adjunto em vez de cofator. Além disso, ele é indicado por Aij e definido da mesma forma que o cofator:

Usando esta notação, a matriz inversa é escrita desta forma:

Tenha em mente que o adjunto não é a adjunta. Na terminologia moderna, a "adjunta" de uma matriz se refere mais frequentemente ao operador adjunto correspondente.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Teoria de Equações: com uma Introdução à Teoria de Binário Forma Algébrica.
  2. Elementares de Álgebra Matricial (Terceira edição), Franz E. Hohn, A Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1
  3. Menor.
  4. Álgebra Linear e Geometria, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9
  5. Elementares de Álgebra Matricial (Terceira edição), Franz E. Hohn, A Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1
  6. Bertha Jeffreys, Métodos de Física Matemática, p.135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0.
  7. Menor.
  8. Menor.
  9. Felix Gantmacher, Teoria de matrizes (1ª ed., originalmente em russo), Moscou: State Publishing House de literatura técnica e teórica, 1953, p.491,

Ligações externas[editar | editar código-fonte]