Operador adjunto

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Em matemática, e, em especial, em análise funcional, um operador linear em um espaço de Hilbert pode possuir um operador adjunto. Essa relação é a generalização, para qualquer dimensão, do conceito da matriz transposta conjugada. Se pensarmos no espaço de Hilbert como uma "generalização dos números complexos", então o adjunto de um operador desempenha o papel do conjugado de um número complexo.[1]

O adjunto de um operador é, por vezes, chamado de conjugado Hermitiano de (após Charles Hermite) e é denotado por ou , sendo a última notação especialmente utilizada em conjunto com a notação Bra-ket.[2]


[3]


Definição para os operadores limitados[editar | editar código-fonte]

Suponha que é um espaço de Hilbert, com o produto interno . Considere uma operador linear contínuo (isso é o mesmo que um operador linear limitado).


Usando o teorema da representação de Riesz, pode-se mostrar que existe um operador linear contínuo único com a seguinte propriedade:

Esse operador é o adjunto de . Isto pode ser visto como uma generalização da matriz adjunta.


Propriedades[editar | editar código-fonte]

Propriedades imediatas:

  1. - Involução
  2. Se é inversível, então assim é , com
  3. , onde denota o conjugado do número complexo

Se nós definimos a norma operacional de por

então

.

Além disso,

O conjunto de operadores lineares limitados em um espaço de Hilbert juntamente com a operação adjunta e norma operacional formam um protótipo de uma álgebra .


Operador Hermitiano[editar | editar código-fonte]

Um determinado operador é chamado Hermitiano, ou auto-adjunto, se[3][4]

o qual é equivalente à

Em certo sentido, esses operadores desempenham o papel dos números reais, i.e., sendo igual ao seu próprio "conjugado".

Conjugado Hermitiano de um operador constante[editar | editar código-fonte]

Temos um operador , onde e são números reais, pela definição temos que o conjugado Hermitiano

Substituimos por ,

temos que, o conjugado de um operador hermitiano constante é o seu conjugado complexo.[5]

Adjuntos de operador antilinear[editar | editar código-fonte]

Para um operador antilinear a definição de adjunto necessita ser ajustado a fim de compensar a conjugação complexa. Um operador adjunto do operador antilinear em um espaço de Hilbert é um operador antilinear com a propriedade:

Outros adjuntos[editar | editar código-fonte]

Está Equação

é formalmente semelhantes a definição de propriedades de pares de functor adjuntos na teoria da categoria, e neste momento que functor adjunto tem seu nome retirado.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

Wikilivros
O wikilivro Álgebra linear tem uma página intitulada Transformações lineares
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