Operador linear limitado

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Em matemática e, em especial, em análise funcional um operador linear limitado é um operador linear L entre espaços normados em que a norma de um vetor x está limitado (em sentido a ser definido precisamente abaixo) pela norma de x.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja L: X \to Y\, uma transformação linear entre espaços normados X e Y. Então L é um operador linear limitado se existe um número M > 0 tal que:

\forall v, \|Lv\|_Y \le M \|v\|_X.\,

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • O conjunto de todos os operadores lineares limitados de X\, em Y\, é um espaço normado, munida da norma operacional:
\|L\|_{X\to Y}=\sup_{x\in X,\|x\|_{X}=1}\|Tx\|_{Y}
  • Se X\, é um espaço de dimensão finita, então todo operador linear é limitado
  • Se X\, é um espaço de dimensão infinita, então o axioma da escolha garante a existência de operadores lineares não limitados definidos em todo o espaço.
  • Todo operador linear limitado é fechado.
  • Todo operador linear num espaço de dimensão finita é contínuo.

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